2021-2022学年广东省深圳市福田区高二上期末数学试卷

2021-2022学年广东省深圳市福田区XXX中学高二上期末数学试卷（2021·深圳市福田区·期末）复数2i1−i A．i−1 B．1−i C．1+i （2021·深圳市福田区·期末）双曲线x23− A．2 B．4 C．3 D．23（2021·深圳市福田区·期末）下列求导运算正确的是   A．cosxʹ=sinx C．lgxʹ=1x（2021·深圳市福田区·期末）函数fx=x A． B． C． D．（2021·深圳市福田区·期末）六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有   A．60种 B．120种 C．240种 D．480种（2021·深圳市福田区·期末）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2， A．63 B．102 C．105 （2021·深圳市福田区·期末）若函数fx=lnx+ax2−2x A．−∞,38 B．38,12 C．（2021·深圳市福田区·期末）已知fx是定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数，且当x>0时，xfʹx+2fx>0 A．−∞,−1∪1,+∞ B． C．−1,0∪1,+∞ D．（2021·深圳市福田区·期末）下列四个命题中，为假命题的是   A．∃x∈0,1，2 B．“∀x∈R，x2+x−1>0”的否定是“∃x∈ C．“函数fx在a,b内fʹx>0”是“f D．已知fx在x0处存在导数，则“fʹx0=0（2021·深圳市福田区·期末）下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为   A．设A，B为两个定点，K为非零常数，若∣PA∣−∣PB∣=K，则动点P的轨迹是双曲线 B．方程2x C．双曲线x227− D．已知抛物线y2=2pxp>0（2021·深圳市福田区·期末）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的命题为   A．AC⊥BD B．AC∥ C．AC=BD D．异面直线PM与BD所成的角为45∘（2021·深圳市福田区·期末）如图，已知直线y=kx+m与曲线y=fx相切于两点，则Fx=f A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个零点 C．0个零点 D．2个极小值点，无极大值点（2021·深圳市福田区·期末）如果复数m2−3m+m2（2021·深圳市福田区·期末）曲线y=2x−1ex在点0,−1（2021·深圳市福田区·期末）电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是．（2021·深圳市福田区·期末）已知F是抛物线x2=4y的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为32,−1，则（2021·深圳市福田区·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos(1)求角A的大小；(2)若a=3，c=2，求△ABC（2021·深圳市福田区·期末）已知数列an为等差数列，前n项和为Sn，公差d>0，且a1(1)求数列an(2)令bn=1an⋅a（2021·深圳市福田区·期末）已知函数fx=x3+a(1)求a，b的值．(2)若x∈−3,2都有fx>（2021·深圳市福田区·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=1，AD=BC=2，E为AB上的点且AE=1，将△AED沿DE折起到A1(1)求证：A1(2)求二面角B−A（2021·深圳市福田区·期末）已知椭圆x2a2+y2b(1)求椭圆方程．(2)Rt△ABC以A0,b为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC（2021·深圳市福田区·期末）已知函数fx(1)若曲线y=fx+ba,b∈R在x=1处的切线方程为x+y−3=0，求(2)求函数gx(3)设hx=1afx+a

答案1.【答案】A【解析】由题可知2i【知识点】复数的乘除运算2.【答案】D【解析】根据题意，双曲线x23−y24=1则该双曲线与x轴的交点为3,0与−则实轴长2a=23【知识点】双曲线的简单几何性质3.【答案】C【解析】A选项：cosxB选项：3xC选项：lgxD选项：x−2【知识点】导数的计算4.【答案】A【解析】因为f−x故fx又当x>0时，fx【知识点】函数图象5.【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有A2②将这个整体与其余4人全排列，有A5则甲和乙两位同学相邻的排法有2×120=240种．【知识点】排列6.【答案】C【解析】由题意，连接A1C1，交B因为长方体ABCD−A1B所以C1所以C1在Rt△BOC1中，C1所以直线BC1和平面DBB【知识点】线面角7.【答案】D【解析】由函数fx=ln若fx在区间1,2则fʹx≥0在即a≥1x−令gx由1x所以gx故a≥1即实数a的取值范围是12【知识点】利用导数研究函数的单调性8.【答案】D【解析】由题可知，当x>0时，xfʹx令gx=x则gʹx所以gx在0,+∞因为fx是定义在−∞,0∪0,+∞所以g−x得gx也是定义在−∞,0所以gx在−∞,0和0,+∞又f−1=0，则所以g1所以可知gx<0时，解得：x<−1或则fx<0，即fx所以gx<0的解集为：即fx<0的解集为：【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的单调性9.【答案】B；C【解析】A选项：设fx=2因为fʹx所以fx在0,1而f12=所以f1即∃x∈0,1，使得fx=0B选项：“∀x∈R，x2+x−1>0”的否定是“∃x∈C选项：“函数fx在a,b内fʹx>0”是“fD选项：因为fx在x0处存在导数，根据极值点的定义可知，“x0是函数fx的极值点”可以推出“fʹx0=0比如函数fx=x3在x=0处有fʹ0【知识点】命题的概念与真假判断10.【答案】B；D【解析】A选项：当∣∣PA∣−∣PB∣∣=K且K<∣AB∣，点P的轨迹是双曲线，故A错误；B选项：方程2x2−5x+2=0分别为1故两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B正确；C选项：双曲线x227−椭圆x235+所以焦点坐标不一样，故C错误；D选项：设弦AB的中点为O，过A，B，O分别作抛物线准线的垂线，垂足为Aʹ，Bʹ，Oʹ，则OOʹ=AAʹ+BBʹ所以以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切，故D正确．【知识点】椭圆的几何性质、双曲线的简单几何性质、抛物线的简单几何性质11.【答案】A；B；D【解析】A选项：截面PQMN为正方形，则有QM⊥PQ且PQ∥所以PQ∥平面DAC所以PQ∥AC，同理可证，所以AC⊥BD成立，故A正确；B选项：因为PQ∥AC且所以AC∥C选项：由题意可知，AC和BD也可以不相等，故C错误；D选项：因为PN∥所以异面直线PM与BD成角等于PN与PM等于∠NPM=45【知识点】异面直线所成的角12.【答案】A；C【解析】设直线y=kx+m与y=fx相切于x,fx1过点x3,fxFxFʹx由图可知，当x<x1时，fʹx当x1<x<x3时，当x3<x<x4时，当x>x4时，fʹx所以Fx在−∞,x1x3x4所以Fx有1个极大值点，2由图可知m>0，所以fx所以Fx有0【知识点】利用导数研究函数的图象与性质13.【答案】0【解析】因为复数m2所以m2−3m=0，所以m=0，m=3，m≠2，m≠3，因此m=0．【知识点】复数的代数形式14.【答案】y=x−1【解析】因为曲线y=2x−1所以yʹ=2e当x=0时，yʹ=e则曲线y=2x−1ex在点0,−1【知识点】利用导数求函数的切线方程15.【答案】16【解析】根据题意，将两名家长、孩子全排列，有A4其中两个孩子相邻且在两端的情况有A2则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24−8=16种．【知识点】条件排列模型16.【答案】55【解析】由题意可得，抛物线x2=4y的焦点为A的坐标为32准线方程为y=−1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得PF=则PFPA=PM故当∠PAM最小时，PFPA故当PA和抛物线相切时，PFPA设切点P−2a,a，y=则PA的斜率为−1求得a=14，可得所以PM=54则PFPA的最小值是：5【知识点】利用导数求函数的切线方程17.【答案】(1)由题可知：acossinAsinA+C因为sinA+C故有sinB=2即1=2cos又因为b<A<π，故A=(2)由a=3，c=2，A=asinA=C∈0,故C=π△ABC为直角三角形，B=π故S△ABC【知识点】正弦定理18.【答案】(1)由题可知a1S4故有a1解得a1=3,d=2或a因此an(2)因为bnTn【知识点】等差数列的前n项和、裂项相消法19.【答案】(1)fʹx因为函数在x=1，x=−2时都取得极值，所以1，−2是3x1−2=−2a−2=b所以a=32，(2)fʹx=3x2+3x−6=3x+2x−1，x所以要使fx要则只c−7即c2解得−1<c<3．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的最值20.【答案】(1)由题意，可知在等腰梯形ABCD中，DE⊥AB，所以A1又平面A1ED⊥平面BCDE所以A1又因为BE⊂平面BCDE，故(2)由（1），可知EA1，EB，故以E为原点，分别以EA1，EB，ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A11,0,0，B0,2,0，CA1B=−1,2,0，BC=设平面A1BC的一个法向量则有n1⋅A1B令z=3，得n设平面A1CD的一个法向量则有n2⋅A1D令z=1，得n2设二面角B−A1C−D的大小为θ所以n1故cosθ=−【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21.【答案】(1)由e=223把点22,1所以椭圆方程为：x2(2)不妨设AB的方程y=kx+1k>0，则AC的方程为y=−由y=kx+1,x29k用−1k代入，可得从而有AB=1+k于是S△ABC令t=k+1k≥2当且仅当t=83>2【知识点】椭圆中的弦长与面积22.【答案】(1)由fx=x−aln所以yʹ=fʹx由已知可得：fʹ1=−1,f所以a=2，b=1．(2)gx所以gʹx所以：当a+1≤0，即a≤−1时，gʹx>0，gx当a+1>0，即a>−1时，则有：当0<x<a+1时，gʹx<0，当x>a+1时，所以gx在0,a+1上为减函数，在a+1,+∞所以，x=a+1是gx综上可知：当a≤−1时，函数gx当a>−1时，函数gx的极小值点是a+1(3)方法一：hx由题意知：当x>a时，ae又不等式aex−lnx+即xe方法（一）：①式等价于xe由x>a>0知：xa>1，令φx=xe又φx=xe所以，原不等式等价于：x≥ln又②式等价于ex≥x方法（二）：由x>a>0知：xa>1，知：①式等价于lnx即：x+ln设φx=x+ln又φx=x+ln所以，原不等式等价于：x≥ln又②式等价于ex≥x设Fx=x所以Fx在0,1上为增函数，在1,+∞又x>a>0，所以当0<a<1时，Fx在a,1上为增函数，在1,+∞所以Fx要使原不等式恒成立，须使1e当a≥1时，则Fx在a,+∞上为减函数，F要使原不等式恒成立，须使a≥1所以a≥1时，原不等式恒成立，