2022-2023学年人教B版（2019）高中数学必修第四册 10.1.1复数的概念课件3

10.1.1复数的概念数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x+4=3的方程在整数范围内有解；因为类似2x=5的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x=5的方程在有理数范围内有解；因为类似x2=7的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数,使得类似x2=7的方程在实数范围内有解.我们已经知道，类似x2=-1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样,引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？

人们早在16世纪就发现，可以通过公式来求方程x3=px+q(p,q均为正实数)的正根。例如，方程x3=9x+28的正根为如果方程是x3=15x+4，则由公式可得当时人们已经知道x=4是x3=9x+28的唯一正根，因此应该成立。

表示的是平方为-1的数，实数范围内这样的数是不存在的，这该如何解释呢？如果规定，并将按照类似实数的运输安法则进行形式计算，则可以给上述结论一个圆满的解释：所以可以认为类似地，可以认为从而形式上就有这里的历史上被认为是一个“虚幻”的数。欧拉首先提出用i表示极大的方便了计算。一般地，为了使得方程x2=一1有解,人们规定i的平方等于一1.即i2=-1并称i为虚数单位.

虚数单位i与上述

表示的意义是一样的.但是，为了避免混淆.如不特别声明.以后我们不再使用类似

这样的表达式.也就是说，在中.还是要求a≥0,请大家务必注意这一点.（1）

你认为可以怎样表示2与i的和？又该怎样表示3减去i?（2）

你认为5与i的乘积可以怎样表示？这个数具有什么性质？实数a与i的和记作a+i.复数：形如a+bi的数（a,b是实数），复数一般用小写字母z表示.

即z=a+bi(a,bϵR).其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.复数全体组成的集合叫复数集，记作：CC={z|z=a+bi,a,bϵR}实数0与i的和为

i;实数b与i的积记作bi

实数0与i的积为0,实数1与i的积为i.3.复数的分类与数系表复数z=a+bi(a,b∈R)核心互动探究探究点一复数的有关概念与表示【典例1】1.下列复数中虚数的个数为 (

)1+2i,1+2i2,2i+

,πi.A.1 B.2 C.3 D.42.已知虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,则实数a,b满足的条件是________.

【思维导引】1.利用复数的概念进行判断.2.根据复数的概念与表示⇒复数的实部+虚部=0.【解析】1.选C.1+2i,πi,2i+是虚数,1+2i2=-1是实数.2.虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,得(a+b)+(a-b)=0,得a=0,b∈R,且b≠0.所以实数a,b满足的条件是a=0,b∈R,且b≠0.答案:a=0,b∈R,且b≠0易错点2

错将复数大小比较与实数大小比较相混淆典例2求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值情况.方法点睛不要想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大,而忽视了只有实数才能比较大小的前提,因此本题中的复数应为实数.1.设i是虚数单位,m,n为实数,复数z=m+ni为虚数,则(

)A.m=0 B.n≠0C.m=0且n≠0 D.mn≠0答案:B解析:若复数是虚数,则n≠0,故选B.2.复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是(

)A.1 B.i C.-1 D.-i答案:C解析:复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是-1.故选C.3.已知m∈R,设复数z=(m2-2m-3)+(m2-