湖南2026年高考考前数学模拟预测试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高三模拟卷（三）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集均为的子集，且，则（

）A． B． C． D．2．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（

）A． B．C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．25．某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知抽取的袋面粉的样本均值（单位：千克）服从正态分布，若，则的最小值为[参考数据:若，则].（

）A．100 B．60 C．6 D．16．设数列{}的前n项和为且则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（

）A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得8．已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂的半球，且球心在圆锥底面上，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知方程的复数解为，，则（

）A．B．C．若，其中，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限D．若，则的最小值是10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值为4，以下说法正确的是（

）A．抛物线C的方程为B．C．若为等边三角形，则直线AB的斜率为D．若则△BFN的面积与的面积的比值为11．已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（

）A．B．C．函数的图象关于点对称D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若定义在上的函数为奇函数，则__13．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则________．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.(1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.(2)当取何值时，有个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?16．椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是.(1)求椭圆C的方程；(2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围.17．如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，.(1)若平面，求二面角的大小；(2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由.18．已知函数，．(1)证明：有唯一零点；(2)记的零点为．（i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；（ii）证明：．19．已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合：①定义域为；②；③，其中对给定的整数m，n（其中记(1)当时，求集合(2)若且不是3的倍数，证明：；(3)从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分，所以．2．D【详解】已知渐近线为，即，可设双曲线方程为：，把点代入方程得：，该双曲线的方程为．3．B【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可.【详解】令，，则，令，则所以故选：B.4．C【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可．【详解】由可变形为，则该直线过定点，又可变形为，该圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，所以当直线与直线垂直，即最大时，最小，又的最大值为,所以，故的最小值为．5．B【分析】根据正态分布的原则，通过区间包含关系列不等式求解的最小值.【详解】由题意，随机变量服从正态分布，因此均值，标准差，根据参考数据，，要满足，需满足区间包含关系，将代入，可得，即，将代入不等式得：，对不等式变形求解：，两边取倒数（不等号方向反向）得，两边平方得，解得，因此的最小值为60.6．C【详解】因为，所以，所以，所以，所以，根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，又，所以的最小值为.7．C【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D.【详解】因为向量，，则，，对于A，当且仅当，即，即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误；对于B，当且仅当，即，即，当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得，当时，此时，由此可知存在实数对，使得，当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误；对于C，当且仅当，解得，故C正确；对于D，，即，进而可得故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误.故选：C.8．A【分析】先根据圆锥和半球的体积公式表示为，然后通过导数求出其最大值.【详解】设圆锥底面半径为，高为，半球半径为，圆锥体积，半球体积，体积比为因为底面中点（球心）到母线HM的距离等于半球半径，由等积法可得，令（），则，则，将代入体积比，设（），令，则，f令，解得（即，），当,，单调递增，当,，单调递减，所以当，取得最大值，此时取得最大值：.9．AD【分析】先求解方程得到，，再代入计算即可判断选项A，B；根据复数的几何意义即可判断选项C，D．【详解】由的复数解为，，解得，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，若，其中，则，所以，所以z在复平面内对应的点在第四象限，故C错误；对于D，由，又表示z在复平面上以原点为圆心的单位圆，则表示单位圆上的点到点的距离，所以最小值为，故D正确．10．ABD【分析】先由过焦点弦长的最小值确定抛物线参数，从而判断A项.再根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，并结合焦点弦中相关三角形的角度关系判断B项.对于C、D项，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系.【详解】选项A，因为，故，得，抛物线方程为，A正确.选项B，因为，所以，同理，所以，故，即，故B正确；选项C，为等边三角形，由抛物线定义，故只需.设，则，，由：又，代入得，解得，.直线过和，斜率为：，题目只给出了，忽略了，故C错误.选项D，设，，由，得：(1-x1,-设直线，与联立得，故.代入，得-32y22=-4 ⇒ 所以，又，故，，所以，D正确.11．BD【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D．【详解】是偶函数，则，两边对求导得，则导函数关于点中心对称，令，得，为偶函数，则，则导函数关于轴对称，故，由中心对称性，，联立可得，令，则，则，故是周期为4的周期函数；选项A：由，令得，已知，故，故A错误；选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确；选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误；选项D：，，，，一个周期内的和为：，又，，故，故D正确．12．【详解】由题可知，，所以，又，即，即对任意恒成立，所以，所以13．【分析】由题可得服从超几何分布，进而即得.【详解】由题意知服从超几何分布，则，所以．故答案为：.14．【分析】先利用三角恒等变换化简目标式，结合正弦定理、余弦定理，依据已知条件将式子统一为关于的函数，再借助二次函数性质求出最值，并验证取等条件.【详解】在中，已知，.因为，，所以.设外接圆半径为，由正弦定理可得，，，所以，且，所以.由余弦定理，代入以及，化简得，即.所以，于是.，结合，可得.联立化简.将代入，，则，原目标式化为.令，由边长约束得.函数是开口向下的二次函数，对称轴为，当时，取得最大值，此时取得最小值.因此.当即时，，，三边满足三角形三边关系，等号成立.综上，原式的最小值为.15．(1)分布列见解析，数学期望为(2)故当或6时，概率最大，最大概率为【分析】（1）每个坑中种3粒种子，每粒种子发芽概率为，且相互独立，一个坑需要补播种的条件是发芽种子数少于2，即发芽数为0或1，需要补种的概率为，用X表示要补播种的坑的个数，各个坑之间相互独立，每个坑补种的概率为,则,用二项分布的数学期望即可计算;（2）先计算有3个坑要补播种的概率，再利用的单调性求出最大概率值.【详解】（1）当时,的可能取值为，那么，得到，分布列如下：0123故.（2）由（1）可知，用X表示要补播种的坑的个数，则，当时，，设，则，令，得；令，得,，故,所以当时，单调递增；当时，单调递减，故当或6时，概率最大，最大概率为.16．(1)(2)【分析】（1）利用离心率可以得到的关系，再利用左焦点到点的距离是，计算出；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，把通过转化为，韦达定理表示出，从而求出k的取值范围.【详解】（1）由于椭圆的离心率，则，  a=2由于，故2c)2=b2所以，由于椭圆的左焦点为，已知点，且到的距离为，则，即，,因为，所以2+c=3  ，，故，，所以椭圆的方程为：；（2）由（1）可知，左焦点，设过且斜率为的直线方程为，、，联立，得，经检验，根据韦达定理，可知，由于，则，即，即，即，整理，得，将和代入，得，化简得，解得，所以的取值范围为.17．(1)(2)存在，点位于线段的延长线上，且满足.理由如下：设，则，设平面的法向量为，，由（1）知，由，故可取.因为平面，，由，可得，解得，即.因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面．【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角，进而可得二面角的大小；（2）先假设存在点，先求平面的法向量为，再由平面可得，从而可得，进而可得点的位置.【详解】（1）因为，为的中点，所以，且．又因为平面，平面，平面，所以，．故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图：由题意可得，，，，．因为，即，所以，即．易知平面的一个法向量为．设平面的法向量为，因，．由，故可取故可取．设二面角的大小为，由图可知为锐角，则．所以，即二面角的大小为．（2）略18．(1)证明见解析(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，即可判断零点；（2）（ⅰ）由方程两边取对数，转化为，再构造函数在上单调递增，结合等比数列的性质，即可判断证明；（ⅱ）根据不等式时，，得到不等式，得到不等式，再根据数列求和即可证明.【详解】（1）当时，，所以在上无零点，因为，所以在上单调递增，所以在上至多一个零点，当时，有唯一零点1．当时，因为，，所以函数有唯一零点，得证，（2）（i）由（1）知，，且，两边取自然对数，得，（*）所以，两式相减，得，所以．因为函数在上单调递增，所以，所以数列单调递增．假设数列中存在，，成等比数列，则，所以．由（*）式得，，代入上式，得，．（**）因为，所以，又，所以方程（**）无解．所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列．（ii）先证明：时，，（***）设，则，所以当时，，单调递减：当时，，单调递增，所以，当且仅当时，等号成立．由（***）式知，，所以，所以，所以．在（***）式中，令，得，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，，当且仅当时等号成立．当时，在（***）式中，令，得，所以时，．当时，成立．所以，得证．19．(1)(2)若，则所求证结论显然成立；若，则对任意的，由题意得且，则．设中有个等于，有个等于2，则．因此所以若不是3的倍数则即．(3)记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为，则.下面计算：由题意得，集合中共有个不同函数，设中有个