广东2026年高考考前数学模拟预测试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省江门市省实江门学校2026届第三次模拟考试数学卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．已知复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．3．已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（）A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大5．在中，，，，则的面积为（

）A．6 B． C．3 D．6．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．27．已知，，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（）A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．设事件，满足，，则下列结论正确的是（）A． B．若，互斥，则C．若，独立，则 D．若，则，独立10．已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（

）A．B．的最小值为C．如果，则直线BC与x轴的公共点为D．如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为11．已知数列满足（是自然对数的底数），且，则（）A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．回归方程在样本处的残差为________.13．已知二项式展开式中，项的系数为80，则______.14．已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，a3=7，an=2an-1+a2-2(n≥2).(I)证明：{an+1）为等比数列；(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，S是否成等差数列？17．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.18．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．(1)求的标准方程；(2)设，是上关于轴对称的两点，是上一点，直线，与轴分别交于，两点．（i）设为坐标原点，证明：为定值；（ii）若，求的面积的最大值．19．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链下垂部分所形成的曲线是悬链线，通过建立适当坐标系，悬链线可为函数的图象，我们称这个函数为“双曲余弦函数”，记为，把称为“双曲正弦函数”，记，易知.(1)求证：（i）当时，；（ii）；(2)求证：若，，则.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】由题意得：，又∴∴中元素的个数为3个故选C2．C【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解．【详解】由，可得,所以的虚部为，故选：C3．A【分析】借助投影向量定义计算即可得.【详解】，故向量在向量方向上的投影向量为.4．C【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小．【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4，所以甲队进攻能力比乙队强，又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2，所以乙队进球数波动较大．5．D【分析】应用三角形面积公式求面积即可.【详解】由题设.故选：D6．C【解析】根据圆的垂径定理，结合点到直线距离公式、重要不等式进行求解即可.【详解】由直线与圆相交所得的弦长为2，圆的半径为2，由垂径定理可知：圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得：＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立.所以|mn|≤，又A，B，所以AOB的面积S＝≥3，故AOB面积的最小值为3.故选：C7．A【详解】因为，所以，两边同除以，得，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最大值为．8．D【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值.【详解】取的中点，连接，；，，即点在线段上，.过点作，分别交，于点，.平面是过点，，三点的平面.设，直三棱柱的高为..，，；；直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小），，则；.9．BC【分析】根据对立事件的概率公式即可判断A；由概率的加法公式即可判断B；由独立事件的乘法公式即可判断C；由条件概率公式即可判断D．【详解】对于A，，，所以，故A错误；对于B，若，互斥，则，所以，故B正确；对于C，若，独立，则，故C正确；对于D，，因为，所以，因为，所以，不独立，故D错误．10．BCD【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径;对于C，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可.【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：，则，故A不正确；对于B：根据抛物线定义，等于点到准线​的距离，要求的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径,即，所以的最小值为，故B正确；对于C，显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由，得，所以，所以，所以，解得：或，当时，直线过原点，不满足题意，舍去，所以，即直线BC与x轴的公共点为，故C正确；对于D，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确.11．ABD【分析】根据数学归纳法判断B；利用函数的单调性判断A；根据数列前3项和可判断C；利用作差法结合条件判断D.【详解】对于B，因为，假设当时，则，即当时，成立，所以可得，故B正确.对于A，设，则，当时，当时，所以在上的单调递减，在上单调递增，则，则恒成立，即.由，可得，故A正确.对于C，因为，，，所以，而，所以，故C错误.对于D，因为，令，由，可得，则，即，故D正确.12．【分析】根据残差的定义直接计算即可.【详解】由题当x=4时，，故所以回归方程在样本处的残差为.故答案为：【点睛】本题主要考查了残差的概念，考查了运算能力，属于容易题.13．2【分析】根据二项展开式的通项公式，将项的系数表达式求出等于，再求解关于的方程即可．【详解】的展开式的通项为，令，得，则项的系数，解得；故答案为：．14．【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案.【详解】因为，构造函数，因为，所以函数是增函数，因为，所以，因为，所以原不等式即，解得，所以不等式的解集为.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明出四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解．【详解】（1）设的中点为，连接，，因为，是，的中点，所以在中，，，因为为正方形，为中点，所以，，所以，，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，，平面，所以，，在正方形中，，所以以为正交基底建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以.设平面的一个法向量为，所以即解得，取，得，所以，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．16．（1）证明见解析；（2），，，成等差数列．【分析】（1）由题意求得，进而利用等差数列的定义可判定是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，求得，由等比数列的求和公式和等差数列的求和公式，可得，再由等差数列中项公式，即可判定.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，，∴是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，∴，∴，即，，成等差数列．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的定义的应用，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，其中熟记等差、等比数列的定义和通项公式，以及前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.17．(1)(2)该球取自乙箱的可能性更大【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率；（2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论.【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则，由全概率公式得：.（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球是取自甲箱的概率该球取自乙箱的概率因为所以该球取自乙箱的可能性更大.18．(1)(2)（i）证明见解析（ii）【分析】（1）根据长轴与短轴的关系及焦距，结合即可求解；（2）（i）设，，表示出直线方程，进而表示出，计算即可证明；（ii）法一：由已知得出和y1=−35y0，再由及基本不等式即可证明；法二：设与交于点，由几何关系得出和y1=−35y0，再由及基本不等式即可求解．【详解】（1）依题意，，即，又焦距为，所以，解得，，所以的标准方程为．（2）（i）证明：由椭圆的对称性，不妨设，，0≤y0<1设，，则直线方程为，令得，yM=x1因为，，所以，所以为定值．（ii）法1：因为，所以，又因为，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，显然，所以，所以y1=−所以，（当且仅当，即时，等号成立），所以的面积的最大值为．法2：设与交于点，由椭圆的对称性知，因为，所以BP⋅QB又因为，，所以.所以，所以，显然，所以，所以y1=−所以，（当且仅当，即时，等号成立），所以的面积的最大值为．19．(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）(i)利用函数的单调性即可证明；(ii)将不等式移到一边构造新的函数，对导数进行求导，利用函数的单调性即可证明；（2）由题即证，即，构造函数