广东省珠海市2025-2026学年高二数学上学期第二次月考试卷【含答案】

珠海市2024级高二数学上学期第二阶段考试一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，代入各选项直接得出答案.【详解】由题意得，令，A选项：，不合题意；B选项：，不合题意；C选项：，不合题意；D选项：，符合题意故选：D.2.已知，，若，则实数λ的值为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得，据此可得答案.【详解】由题可得.注意到，则.故选：A3.是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（）A.9或1 B.1 C.9 D.9或2【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】是双曲线上一点，所以，所以，由双曲线定义可知，所以或者，又，所以，故选：C4.为加强学生身体健康，惠州一中对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.7，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算机产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2表示没有及格，3，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（）A.0.65 B.0.7 C.0.75 D.0.8【答案】C【解析】【分析】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可.【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在3，4，5，6，7，8，9中，即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次，经统计，20组中一共有15组符合要求，有：759，143，345，257，704，066，186，037，624，616，045，366，959，742，428，故甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为．故选：C．5.若两平行直线与之间的距离是，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可.【详解】因为直线与平行，所以有，所以有，又因为这两条平行线间距离为，所以有，或舍去，所以.故选：D.6.已知实数，满足方程，则下列说法不正确的个数（）①的最大值为②的最大值为③的最大值为④的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断①；同理可判断④；设，利用几何意义求得t的范围判断②；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断③.【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为，对于①，设，则只需直线与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，①正确；对于②，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，而上点到原点距离的最大值为，即t的最大值为，故的最大值为，②正确；对于③，设，则，则直线和圆有公共点，则，解得，即的最大值为，③错误；对于④，设，则直线与圆有公共点，则，解得，即的最大值为，④错误；故选：B.7.已知直四棱柱的底面是边长为6的菱形，，，点P满足，其中．若，则的最小值为（）A. B. C.14 D.16【答案】B【解析】【分析】根据已知分析得P在平面上，且，应用向量数量积的运算律及已知可得，且，再由，即可求目标式最值.【详解】由题设，易得点P在平面上，且，则，得．由直四棱柱的性质，得平面，平面，所以，则．因为，所以的最小值为．故选：B8.如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则可表示出，进而可得，可求得，进而求得的范围即可求得答案.【详解】由题意得双曲线的焦距，实轴长,设，，，，则，在△与△中：，即：，，假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，则，在△中：，则可得；假设直线l的斜率为0，此时，由此结合题意可得，则，.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下选项正确是（）A.在空间直角坐标系中，，点到直线的距离为B.若，则在方向上的投影向量为C.事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥D.“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率相等【答案】AC【解析】【分析】根据点到直线的距离公式判断A，根据投影向量的定义判断B，由对立事件、互斥事件的概念判断C，根据古典概型判断D.【详解】，所以点到直线的距离为：，故A正确；因为，所以在方向上的投影向量为：，故B错误；事件与事件互为对立事件，所以事件不能同时发生，则事件与事件一定互斥，故C正确；记正面向上为1，方面向上为0，掷2次硬币的样本点共有个，有1次正面向上的样本点有，所以概率为，掷4次硬币的样本点共有个，有2次正面向上的样本点有，所以概率，故D错误.故选：AC10.已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（）.A. B.最小 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.【详解】因为，所以，所以，即，故正确；当时，无最小值，故错误；因为，所以，故正确；因为，故正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.11.已知双曲线与双曲线，其中，则下列说法中正确的是（）A.双曲线的焦距之比为B.双曲线的离心率相同，渐近线也相同C.过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点D.斜率为的直线与，的右支由上到下依次交于点，则【答案】BCD【解析】【分析】由题意、，根据双曲线的几何意义即可判断AB；设切线方程为，分别联立、，利用韦达定理计算即可，结合中点坐标即可判断C；由选项C的分析，结合弦长公式即可判断D.【详解】A：的焦距为，的焦距为，所以两双曲线的焦距之比为，故A错误；B：的渐近线方程为，离心率为，的渐近线方程为，离心率为，所以两双曲线的渐近线方程相等，离心率也相等，故B正确；C：设切线方程为，联立，，得，又直线与相切，所以；联立，，得，所以，所以，即为的中点，故C正确；D：由选项C的分析知，，所以，得，又，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知抛物线上一点，则点到该抛物线焦点的距离为___________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程得抛物线标准方程，从而得抛物线焦准距的值，再根据抛物线的定义得所求即可.【详解】抛物线的标准方程为：，则抛物线中，由抛物线的定义可得抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为.故答案为：.13.如下的一列数据中，，对于，正整数出现了次，则这一列数据的中位数是___________．【答案】【解析】【分析】分析数组的规律：个，个，个，个，…，个，从而根据等差数列求和公式可求数据的总个数，再根据中位数的概念求出中位数即可.【详解】该列数据的总个数：，则中位数是第项与第8146项的平均值；令，则，当时，最后一个127是第项，则第项和第项都是，则中位数是故答案为：14.，，有零点，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】将方程看成关于的二元一次方程，转化为原点到直线的距离的平方，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意可知，方程有实数根，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，所以距离的平方，，令，则，因为，所以，当且仅当，即时取等号，则，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是方程主次元的转化，构造的几何意义.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式；（2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，∴，解得，∴.（2）由（1）知：，则，得，又，∴时，，而，，∴数列的前项和，而，，∴，故.16.已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为.（1）求圆方程；（2）过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为，由垂径定理结合弦长即可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可.【小问1详解】设圆心，则圆的方程为，或舍去，圆的方程为.【小问2详解】由题意得，则点到直线的距离，①当斜率不存在时，此时直线l方程，原点到直线的距离为，满足题意.此时直线方程为②当斜率存在时，设直线l的方程为，原点到直线l的距离，解得，此时直线方程为，即.综上所述，直线的方程为或.17.为进一步优化云南省旅游业，云南文旅针对来滇游客发起了关于大理、丽江的旅游满意度调查，满意度评分采用百分制，根据调查数据得到如图的频率分布直方图：（1）分别求出频率分布直方图中的；（2）求出大理旅游满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组数据的中点值来代表）；（3）若采用按比例分层随机抽样的方法从丽江旅游满意度在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人满意度分别在和内的概率．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有小矩形面积之和为1，求解a、b；（2）每组数据中点值乘以该组频率再求和即可得解；（3）先根据分层抽样确定两组抽取人数，再用古典概型求解即可.【小问1详解】，得，，得.【小问2详解】大理旅游满意度评分的平均数为：（分）【小问3详解】由分层抽样知，满意度在的两组中分别抽取人，人，不妨设满意度在中抽取的3人为，满意度在中抽取的2人为，从这5人中随机抽取2人所得基本事件为：，共10个，其中选取的2人满意度分别在和内的基本事件为：，共6个，所以.18.如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与四棱锥的棱交于点，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明出平面，进而根据线面垂直的性质推断出，然后根据线面垂直的判定定理，证明出平面，所以；（2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面法向量，再结合线面角的向量求法，即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）设，由（2）所建的直角坐标系，得，因为点是平面与四棱锥的棱的交点，所以，即可求得的值.【小问1详解】因为底面，底面，所以，又底面为矩形，所以，又平面，平面，且，所以平面，又平面，所以，又，为棱的中点，所以，又平面，平面，且，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】由（1）可得,所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面的法向量为，则，令，解得，即平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则【小问3详解】因为平面与四棱锥的棱交于点，设，则，设，则，则，所以，所以，由（2）得，平面的法向量为，所以，即，解得，所以的值为.19.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值；（3）过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可；（2）