2026版高考数学复习专题突破：4.4 正余弦定理（精练）（题组版）（解析版）

4.4正余弦定理（精练题组版）

题组一边角互换

AB

1．（2025·安徽·模拟预测）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3asincsinA，则（）

2

π

A．CB．c2a2b2ab

6

5π

C．CD．c2a2b2ab

6

【答案】B

ABAB

【解析】由3asincsinA和正弦定理，可得3sinAsinsinCsinA，

22

πCCCC

因0Aπ，则sinA0，故得3sinsinC，即3cos2sincos，

22222

CπCC3Cπ2π

因0，则cos0，故得sin，解得，故C，故A，C错误；

22222233

由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b2ab，故B正确，D错误.

故选：B.

2.（24-25浙江·期中）已知锐角ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

c2sinAsinB3sinC3bsinBasinA，A=

π

【答案】

3

【解析】因为c2sinAsinB3sinC3bsinBasinA，所以2bcsinA3c23b23a2，

2

2222222bcsinA

即bcsinAbca，由余弦定理bca3，

3cosA

2bc2bc

π

所以tanA3，又A0,π，所以A；

3

3．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3asinCacosCcb

则A=

2π

【答案】A

3

【解析】因为3asinCacosCcb，

由正弦定理得3sinAsinCsinAcosCsinCsinB，

则3sinAsinCsinAcosCsinCsinACsinCsinAcosCcosAsinC，

即3sinAsinCcosAsinCsinC，

π1

又sinC0，所以3sinAcosA1，所以sinA，

62

ππ7π

又A0,π，所以A,，

666

π5π2π

所以A，所以A；

663

3c

4．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足sinBtanAcosB.

a

角A=

π

【答案】

3

3sinC3sinCsinBsinA

【解析】由正弦定理得，sinBtanAcosB，所以，

sinAsinAcosBcosBcosA

3sinCsinAsinBsinAcosBcosAsinBsinABsinC

即，

sinAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosB

sinA

化简得：3，即tanA3，

cosA

π

又A0,π，所以A.

3

BBB

5.（2025·北京）在ABC中，23cos22sincos3，则B=

222

2π

【答案】；

3

BBB1cosB

【解析】在ABC中，∵23cos22sincos3，∴23sinB3，∴3cosBsinB0，

2222

2π

∴tanB3，∵B0,π，∴B；

3

题组二判断三角形的形状

b2tanB

1．（2025广东广州·期中）在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则ABC的形状是（）

c2tanC

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

【答案】C

sinB

2sin2B

btanBcosB

【解析】在ABC中，由及正弦定理得2，而sinA0,sinB0，

c2tanCsinCsinC

cosC

整理得sinBcosBsinCcosC，即sin2Bsin2C，而0Bπ,0Cπ，

π

则02B2π,02C2π，因此2B2C或2B2Cπ，即BC或BC，

2

所以ABC是等腰三角形或直角三角形.

故选：C

2Abc

2．（2025重庆·阶段练习）在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若cos，则ABC的

22c

形状为（）

A．正三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

【答案】B

Abc1cosAbcb

【解析】因为cos2，所以，整理得到cosA，

22c22cc

abcsinB

又由正弦定理，得到cosA，

sinAsinBsinCsinC

所以sinCcosAsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，得到sinAcosC0，

π

又A(0,π)，所以sinA0，得到cosC0，又C(0,π)，所以C，

2

故选：B.

2ACa

3．（2025·甘肃酒泉·三模）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin()1，则ABC

2c

的形状为（）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．直角或钝角三角形D．钝角三角形

【答案】D

ACaAC1cos(AC)1cosBaa

【解析】因为2sin2()1，sin2()，所以1cosB1，即cosB0，

2c222cc

aa2c2b2a2c2b2a2c2b2

所以0，即0，所以a2c2b20，所以cosC0，

c2ac2ac2ab

π

又因为C(0,π)，所以C(,π)，所以ABC为钝角三角形.故选：D.

2

4．（2025·安徽）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若acosAbcosAC0，则ABC为（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】由acosAbcosAC0，得acosAbcosB0，

由正弦定理得sinAcosAsinBcosB0，所以sin2Asin2B，

因为02A2π,02B2π，所以2A2B或2A2Bπ，

π

所以AB或AB.即ABC是等腰或直角三角形.

2

故选：D.

5．（广东期中）在中，a,b,c分别是内角的对边，若3222（其中S表

24-25·ABCA,B,CSABCabcABC

4

ABAC

示ABC的面积），且BC0，则ABC的形状是（）

sinCsinB

A．有一个角是30°的等腰三角形B．等腰直角三角形

C．有一个角是30°的直角三角形D．等边三角形

【答案】D

31

【解析】222，又222，

SABCabcabsinCabc2abcosC

42

31π

所以2abcosCabsinC，解得tanC3，因为C0,π，所以C.

423

ABACbcbACcAB

又BC0，由2R，可得sinB，sinC，

sinCsinBsinBsinC2R2R2R2R

ABACABAC

则BCBC0，

sinCsinB

ABAC

ABAC

如图所示，在边AB、AC上分别取点D、E，使AD，AE，

ABAC

以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则四边形ADFE为菱形，

ABAC

连接AF，DE，AFDE，且AF，

ABAC

ABAC

BC0，，AFBC，又DEAF，

AFBC0

ABAC

DE//BC，且ADAE，ABAC，即bc，

π

又C，ABC是等边三角形.

3

故选：D.

6．（2025·湖南·一模）（多选）ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“ABC是直角三角形”

的充分条件是（）

A．sinAcosBB．acosBcC．acosAbcosBD．sin2Asin2Bsin2C

【答案】BD

π

【解析】A：sinAcosB0，且A(0,π),B(0,π)，则B(0,)，

2

πππ

若A为锐角，则sinAcosBsin(B)且B(0,)，

222

ππ

此时AB，即AB；

22

πππ

若A为钝角，则sinAcosBsin(B)且B(,π)，

222

ππ

此时AB，即AB；

22

综上，ABC为直角三角形或钝角三角形，故A不满足题意；

B：acosBc，由正弦定理得sinAcosBsinCsin(AB)，

即sinAcosBsinAcosBsinBcosA，得sinBcosA0，

π

由sinB0，解得cosA0，又0Aπ，所以A，

2

即ABC为直角三角形，故B符合题意；

b2c2a2a2c2b2

C：由acosAbcosB，得ab，

2bc2ac

整理得(a2b2)(a2b2c2)0，所以ab或a2b2c2，

即ABC为等腰三角形或直角三角形，故C不符合题意；

D：sin2Csin2Asin2B，

sin2Csin[(AB)(AB)]sin[(AB)(AB)]

sin(AB)cos(AB)sin(AB)cos(AB)sin(AB)cos(AB)sin(AB)cos(AB)

2sin(AB)cos(AB)2sinCcos(AB)，

即sinCcosCsinCcos(AB)，由sinC0，得cosCcos(AB)，

即cos(AB)cos(AB)，

cosAcosBsinAsinBcosAcosBsinAsinB，

ππ

得cosAcosB0，所以cosA0或cosB0，解得A或B，

22

即ABC为直角三角形，故D符合题意.

故选：BD

7．（2024·江西·模拟预测）（多选）设ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列条件能判定ABC是等腰

三角形的是（）

A．acosAbcosBB．asinBbsinC

C．cos(AC)cosBD．c2acosB

【答案】BD

【解析】解：对于A，由正弦定理可知sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，

π

所以AB或AB，

2

所以ABC是等腰三角形或直角三角形，不符合题意；

对于B，由正弦定理可知sinAsinBsinBsinC，

又因为sinB0，所以sinAsinC，

所以ac，

所以ABC是等腰三角形，符合题意；

对于C，因为cos(AC)cosBcosB，解得cosB0，

π

所以B，ABC是直角三角形，不符合题意；

2

对于D，由正弦定理可知sinC2sinAcosB，

所以sin(AB)2sinAcosB，

即sinAcosBcosAsinB2sinAcosB，

sinAcosBcosAsinB0，

即sin(AB)0，

所以AB，ABC是等腰三角形，符合题意.

故选：BD.

8．（2025山东临沂·阶段练习）（多选）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正

确的是（）

A．若acosAbcosB，则ABC一定是等腰三角形

B．若cos(AB)cos(BC)1，则ABC一定是等边三角形

C．若acosCccosAc，则ABC一定是等腰三角形

D．若cos(2BC)cosC0，则ABC一定是钝角三角形

【答案】BCD

【解析】对于A：因为acosAbcosB，由正弦定理得：sinAcosAsinBcosB，

所以sin2Asin2B.

因为A，B为ABC的内角，所以2A2B或2A2Bπ，

π

所以AB或AB.所以ABC是等腰三角形或直角三角形.错误；

2

对于B：由余弦函数的有界性可知：若1cosAB1,1cosBC1.

因为cosAB·cosBC1，所以cosAB1,cosBC1或cosAB1,cosBC1.

π

当cosAB1,cosBC1时，有AB且BC，所以ABC，

3

所以ABC是等边三角形.

当cosAB1,cosBC1时，有ABπ且BCπ，不符合题意.

所以ABC一定是等边三角形.正确；

a2b2c2c2b2a2

对于C：因为acosCccosAc，由余弦定理得：acc，

2ab2bc

所以2b22bc，所以bc，则ABC一定是等腰三角形.正确；

对于D：在ABC中，ABCπ，所以cos2BCcosBπAcosBA

cosCcosπABcosAB.

所以cos2BCcosCcosBAcosBA0，

所以cosBAcosBA0，即2cosBcosA0，所以cosB0或cosA0.

所以ABC一定是钝角三角形，正确.故选：BCD

题组三三角形的外接圆

24

1．（2024·四川·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosAcosBC，且bc，

33

则ABC的外接圆的周长为．

【答案】2π

222

【解析】由cosAcosBC可得cosBCcosA，即cosBCcosBC，

333

21

展开得cosBcosCsinBsinCcosBcosCsinBsinC，即sinBsinC．

33

4bc

又因为bc，由正弦定理2R（其中R为ABC的外接圆的半径）可得

3sinBsinC

44

bc4R2sinBsinCR2，解得R1，则ABC的外接圆的周长为2πR2π．

33

故答案为：2π.

2

2．（2024·辽宁·一模）在ABC中，BC26，SABAC，则ABC外接圆半径为.

△ABC2

【答案】3

212

【解析】因为SABAC，故ABACsinAABACcosA,

△ABC222

6

故tanA2，故A为锐角，故sinA，

3

261

3

故外接圆的半径为62，

3

故答案为：3.

2π

3．（2025·陕西·三模）在圆内接梯形ABCD中，AB//CD，ADC，BC2，CD1，则其外接圆的半径

3

为

【答案】21

3

【解析】

如图，梯形ABCD内接于圆O，则ADCABCπ，

2ππ

因ADC，则DABABC，

33

故梯形ABCD为等腰梯形，则ADBC2，

所求即△ADC的外接圆的半径．

在ACD中，由余弦定理可得

2221

ACADCD2ADCDcosADC412217，

2

AC7221

2R21

则AC7，又由正弦定理，2π33，即R．

sin3

32

故选：B．

4．（2024·山西晋城·一模）在ABC中，AB33，AC53，BC73．

(1)求A的大小；

(2)求ABC外接圆的半径与内切圆的半径．

2π

【答案】(1)A

3

3

(2)

2

AB2AC2BC21

【解析】（1）由余弦定理得cosA，

2ABAC2

2π

因为0Aπ，所以A．

3

BC73

2R14

（2）设ABC外接圆的半径与内切圆的半径分别为R，r，由正弦定理得sinA3，则R7．

2

1453

ABC的面积SABACsinA，

24

12S3

由r(ABACBC)S，得r．

2ABACBC2

BC

5．（2025海南）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，csinasinC.

2

(1)求A的值；

π

(2)若C,b2，求ABC外接圆的半径.

4

π

【答案】(1)A

3

(2)62

BCπA

【解析】（1）csinasinC,csinasinC，

22

AA

ccosasinC，边化角可得sinCcossinAsinC，

22

AAA

0Cπ,sinC0,cossinA2sincos，

222

AA1π

0Aπ,cos0,sin,A.

2223

ππππππ26

（2）由题意得，sinBsinACsinsincoscossin，

4343434

1b

ABC外接圆的半径为62.

2sinB

6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

2acsinAsinCb(sinC2sinB）.

(1)求sinA的值；

(2)若bc6，且ABC的面积为15，求ABC外接圆的面积.

15

【答案】(1)

4

32π

(2)

5

【解析】（1）因为2acsinAsinCbsinC2sinB，所以2acacbc2b，

即2b2c2a2bc，

b2c2a21

则cosA.

2bc4

15

因为0Aπ，所以sinA1cos2A.

4

115

（2）因为ABC的面积为15，所以bcsinAbc15，则bc8.

28

33

由余弦定理可得a2b2c22bccosA(bc)2bc36824，

22

则a26.

a810410

设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R，则R，

sinA55

32π

故ABC外接圆的面积为πR2.

5

题组四三角形的面积公式

1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A105，B45，b2，

则ABC的面积为（）

6231

A．62B．C．31D．

22

【答案】D

c2

【解析】在ABC中，C30，由正弦定理得，解得c2，

sin30sin45

212362

sinAsin(4560)，

22224

116231

所以ABC的面积为SbcsinA22.

ABC2242

故选：D

2．（2025·云南·模拟预测）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinBbcsinCasinA．

(1)求A；

(2)若a7，bc8，求ABC的面积．

2π

【答案】(1)

3

153

(2)

4

22

【解析】（1）由bsinBbcsinCasinA及正弦定理可得bbcca，即b2c2a2bc，

b2c2a21

由余弦定理可得cosA，

2bc2

2π

因为0Aπ，故A.

3

2

（2）因为b2c2a2bc，即bcbca2827215，

113153

所以ABC的面积为SbcsinA15.

ABC2224

3

3．（2025·辽宁·三模）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若26b227ab20a20,sinA,c1.

5

(1)求cosB；

(2)求ABC的面积.

5

【答案】(1)cosB=

13

26

(2)或

711

【解析】（1）对26b227ab20a20进行因式分解得到(13b20a)(2ba)0，

20a

由于边长为非负数，则13b20a0，即b.

13

2012

由正弦定理得到sinBsinA.

1313

133

又<sinA，且BA,则A为锐角，B可以锐角也可以钝角.

252

25

当B可以锐角，则cosB1sinB.

13

25

当B可以钝角，则cosB1sinB.

13

5

综上说得，cosB.

13

24

（2）由（1）知道A为锐角，则cosA1sinA，

5

3

1

5123512463csinA13

当cosB，则sinB，sinCsin(AB)，则a5，此时

131351313565sinC6321

65

1113122

SacsinB1

ABC2221137

3

1

5123512433csinA13

当cosB，则sinB，sinCsin(AB)()，则a5，此时

131351313565sinC3311

65

1113126

SacsinB1.

ABC22111311

26

则ABC的面积为或.

711

4．（2024·广东河源·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

2

a2b23abbcosAacosB．

(1)求角C；

(2)若b43，c4，求ABC的面积．

π

【答案】(1)C；

6

(2)答案见解析.

b2c2a2a2c2b2

【解析】（1）在ABC中，bcosAacosBbac，

2bc2ac

2

又a2b23abbcosAacosB，所以a2b23abc2，

a2b2c23ab3

由余弦定理得cosC，又0Cπ，

2ab2ab2

π

则C.

6

π

（2）在ABC中C，c4，b43，

6

由余弦定理，得c2a2b22abcosC，即a212a320，解得a4或a8．

111

当a4，b43，c4时，可构成三角形，此时ABC的面积为absinC44343；

222

111

当a8，b43，c4时，可构成三角形，此时ABC的面积为absinC84383．

222

题组五三角形个数的判断

π

1．（2024·湖北黄冈·一模）已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A,b3，下面可使得ABC有

3

两组解的a的值为（）

33

A．B．3C．4D．e

2

【答案】D

π33

【解析】要使得ABC有两组解，则bsinAab，又A,b3，得到a3，

32

故选：D.

1

2．（2024·宁夏银川·三模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4，sinC，若ABC有两

4

解，则c的取值可能为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【解析】由题意可得asinCca，即1c4.

故选：A.

3．（2025河南）设在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足a3,bm,B的ABC不

6

唯一，则m的取值范围为（）

3

A．,3B．(0,3)

2

131

C．,D．,1

222

【答案】A

3m

ab3

【解析】由正弦定理，即sinA1，所以m，

sinAsinB2sinA

2

51

因为ABC不唯一，即ABC有两解，所以A且A，即sinA1，

6622

113

所以12sinA2，所以1，即m3；

22sinA2

故选：A

1

4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）在ABC中，sinA，AB2，BCm，则“ABC有唯一解”的充

2

分条件可以是（）

3

A．m1B．mC．m2D．m3

2

【答案】AC

sinCsinA1

【解析】由正弦定理可得，即sinC．

ABBCm

π

对于A，当m1时，sinC1，可得C，故得AC3，解唯一，故A正确；

2

32

对于B，当m时，sinC，因ABBC，则CA，角C有两解，解不唯一，故B错误；

236

π2π

对于C，当m2时，则ABBC2，则CA，故AC，则B，解唯一，故C正确；

63

3

对于D，当m3时，sinC，因ABBC，则CA，角C有两解，解不唯一，故D错误.

36

故选：AC．

题组六正余弦定理在几何中的应用

1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBDCA45，BDC30，BCA15，

AB55，则CD的长为（）

A．53B．55C．103D．105

【答案】C

【解析】因为BDC30，BCD154560，则CBD90，

设BCx，则CD2x，BD3x，

在ACD中，ACD45，ADC304575，故CAD60，

ADCDCDsin4526

由正弦定理可得，则ADx，

sin45sin60sin603

在△ABD中，由余弦定理可得AB2AD2BD22ADBDcos45，

8