2026版高考数学复习专题突破：4.3 三角函数的性质（精练）（题组版）（解析版）

4.3三角函数的性质（精练题组版）

题组一周期

π

1．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数f(x)cosx的最小正周期是（）

4

ππ

A．B．C．πD．2π

42

【答案】D

2π

【解析】依题意，fx的最小正周期T2π.故选：D

1

2．（24-25北京海淀）下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数是（）

A．ysinxB．ycosxC．ysinxD．ytan2x

【答案】C

【解析】ysinx是偶函数，但不是周期函数，故A错误；

ycosx是偶函数，最小正周期为2π，故B错误；

ysinx是偶函数，最小正周期为π，故C正确；

π

ytan2x是奇函数，最小正周期为，故D错误.

2

故选：C

π

3．（24-25山东聊城·期中）下列函数中，以为最小正周期的奇函数为（）

2

A．ysinxB．ytan2xC．ysin2xD．ycos4x

【答案】B

【解析】对于A，ysinx是偶函数，故不成立，

π

对于B，ytan2x是奇函数，且最小正周期T，故成立，

2

2π

对于C，ysin2x是奇函数，且最小正周期为Tπ，故不成立，

2

对于D，ycos4x是偶函数，故不成立.

故选：B

4．（24-25北京·阶段练习）最小正周期为π的偶函数是（）

A．ysinxB．ysin2x

C．ysinxD．ycos2x

【答案】A

【解析】A．ysinx是最小正周期为π的偶函数，符合题意；

B．ysin2x是最小正周期为π的奇函数，不符合题意；

C．ysinx是偶函数，但不是周期函数，不符合题意；

π

D．ycos2x是最小正周期为的偶函数，不符合题意；

2

故选：A．

5．（24-25辽宁沈阳·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又是周期为π的函数为（）

xπ

A．ysinB．ycos2x

22

C．ytan2xD．ytanx

【答案】B

2π

xT4π

【解析】对于A，ysin是奇函数，周期为1，故A错误；

2

2

π2π

对于B，ycos2xsin2x是奇函数，周期为Tπ，故B正确；

22

π

对于C，ytan2x是奇函数，周期为T，故C错误；

2

对于D，ytanx是偶函数，周期为Tπ，故D错误；

故选：B．

5

6．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数f(x)sin2xcos4x(0)的最小正周期为10，则f（）

2

537

A．B．C．D．1

848

【答案】C

2

【解析】f(x)sin2xcos4xsin2x1sin2x

2

2

42213123

sinxsinx1sinx12sinx

2444

1311317

cos22xcos4x1cos4x，

4442488

2ππ

又f(x)的最小正周期为10，所以T10，解得，

420

1π751π577

则fxcosx，则fcos.

858285288

故选：C.

π

7．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以π为周期，且其图象关于点,0对称的是（）

4

A．ytanxB．y|sinx|C．y2cos2x1D．ysinxcosx

【答案】C

kπ

【解析】对于A：ytanx的最小正周期为π，对称中心为,0kZ，故A错误；

2

对于B：ysinx的图象是由ysinx将x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴上方及x轴部分不变，

所以ysinx的最小正周期为π，没有对称中心，故B错误；

2π

对于C：y2cos2x1cos2x，则最小正周期Tπ，

2

πππ

且当x时ycos20，所以函数图象关于点,0对称，故C正确；

444

π

对于D：ysinxcosx2sinx，最小正周期T2π，故D错误.

4

故选：C

2tanx

8．（2025·四川成都）函数f(x)的最小正周期是（）

1tan2x

ππ

A．B．C．πD．2π

42

【答案】C

2tanxπ

【解析】f(x)tan2x，xkπkZ，

1tan2x2

πk

又tanx1，可得xπkZ，

42

ππk

即f(x)tan2x，且xkπkZ、xπkZ，故Tπ.

242

故选：C.

9．（2025·甘肃白银·三模）函数fxcos24x3sin24x的最小值和最小正周期分别为（）

ππππ

A．3,B．1,C．3,D．1,

8448

【答案】C

【解析】因为fxcos24x3sin24xcos24x31cos24x

4cos24x322cos24x112cos8x1，

所以当cos8x1时，函数fx取最小值3，

2ππ

函数fx的最小正周期为T．

84

故选：C

10．（2025·贵州黔东南·一模）若fx是最小正周期为6π的偶函数，则fx的解析式可以为（）

πxxx

A．fxtanB．fxsinC．fxtanD．fxcos

6333

【答案】D

π

【解析】对于A，fx1tanfx为常函数，故最小正周期为6π错误；

6

xx

对于B，fxsinsinfx，奇函数，故错误；

33

π

x3π

对于C，由周期公式可知：gxtan的最小正周期为：1，

3

3

x3πxx

所以fx3πtantanπtanfx，故周期为3π，故错误；

333

2π

xx6π

对于D，fxcoscosfx，偶函数，由周期公式可得最小正周期为1，故正确；

33

3

故选：D

题组二单调性

π1

1．（2025·陕西渭南·二模）下列函数中，最小正周期为，且在0,上单调递增的是（）

22

1

A．ysin2xB．ycosx

4

C．ycos4xD．ytan2x

【答案】C

2πππ

【解析】选项A中Tπ，选项B中T8π，选项C中T，选项D中T，排除AB，

422

1

x(0,)时，2x(0,2)(0,π)，ycos2x递减，则ycos2x递增，

2

1π

x(0,)时，2x(0,1)(0,)，ytan2x递增，则ytan(2x)tan2x递减，

22

故选：C．

π

2．（2025·浙江宁波·三模）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,π上单调递减的是（）

2

x

A．ycosxB．ysinxC．ytanxD．ysin

2

【答案】B

x

【解析】由ycosx的最小正周期为2π，ysin的最小正周期为4π，A、D不符；

2

π

由ytanx在,π上单调递增，C不符；

2

π

ysinx以π为最小正周期，且在区间,π上单调递减，B符合.

2

故选：B

ππππ

3．（2025·山东·二模）已知函数f(x)sin(x)(0)在(,)上单调递增，且其图象关于点(,0)对称，则

6363

2π

f()（）

3

3113

A．B．C．D．

2222

【答案】C

πππ2ππ

【解析】由函数f(x)sin(x)(0)在(,)上单调递增，得2[()]π，

63663

πππ

解得02，由f(x)的图象关于点(,0)对称，得kπ,kN，

336

111π

解得3k,kN，于是k0,，f(x)sin(x)，

2226

12πππ1

所以f(x)sin()sin.

23662

故选：C

π2ππ

4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数fxsinx0的图象关于点,0对称，且在0,上

332

为增函数，则的值为（）

13

A．B．1C．D．2

22

【答案】A

2ππ2ππ

【解析】将,0代入fxsinx，得0sin，

3333

2ππ3k1

所以kπ,kZ，得,kZ．

3322

ππππππ

因为函数fxsinx(0)在0,上为增函数，此时x,，

323323

πππ5

所以，解得0，

2323

1

所以当k0时，，

2

故选：A.

5ππππ

5．（2025高三·全国·专题练习）已知当x,时，函数y2tanx2mtanx不单调，其中m1，

6633

则实数m可能的取值有（）

1

A．2B．3C．2D．

2

【答案】D

ππ

【解析】y2tanx2mtanx，

33

5πππππ

当x,时，y2tanx2mtanx22mtanx，

63333

πππππ

当x,时，y2tanx2mtanx22mtanx，

36333

5ππππππ

当x,时，x,，ytanx单调递增，

663223

ππ

且函数y2tanx2mtanx不单调，结合m1,

33

22m22m0，1m1，

故选：D

ππ

6．（2025·湖南湘潭·三模）已知函数f(x)sin(2x)(||)在区间0,上单调，则的取值范围为（）

26

ππππππππ

A．,B．,C．,D．,

23263366

【答案】B

ππ

【解析】已知x0,，令t2x，则t,，

63

πππ

因为||，所以,．

222

π

故原条件等价于已知函数ysint在区间,上单调，

3

π

ππ2ππ

而函数ysint在区间,上单调，所以，解得-＃j，

22ππ

26

32

ππππ

又因为,，故,，

2226

故选：B．

ππ2

7．（2025·江西赣州·二模）若函数f(x)sin(x)在区间,上单调，且fff，则正

62326

数的值为．

【答案】2

ππ2

【解析】由函数在,上单调，且fff，

62326

7T7

所以函数的一条对称轴x，一个对称点为(,0)，且，

12341234

2

所以T，可得||2，故正数的值为2.

||

故答案为：2

题组三奇偶性

ππ

1．（2025·四川德阳·三模）已知函数fxsin2x的图象向右平移个单位长度后，得到gx的

26

图象，若gx是奇函数，则（）

ππππ

A．B．C．D．

6633

【答案】C

ππ

【解析】由题意知gxsin2xsin2x，

63

ππππ

因为gx是奇函数，则kπ,kZ，所以kπ,kZ，因为，所以.

3323

故选：C

π

2．（24-25上海·阶段练习）ysinsinx的奇偶性是（）

2

A．偶函数B．奇函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数

【答案】A

π

【解析】令fxsinsinxcossinx，xR，

2

又fxcossinxcossinxcossinxfx，

所以函数fx是偶函数.

故选：A.

3．（2025·安徽·模拟预测）函数f(x)(x2)3cosx．若存在aR，使得f(xa)为奇函数，则实数的值可

以是（）

π3πππ

A．B．C．D．

4423

【答案】C

【解析】函数f(x)(x2)3cosx的定义域为R，f(xa)(xa2)3cos(xa)，

存在aR，函数f(xa)为奇函数，则a2或cosa0，

当a2时，f(x2)x3cos(x2)为奇函数，则函数ycos(x2)是偶函数，

kππ

于是2kπ,kZ，解得,kZ，当k1时，，C符合，ABD不符合；

22

π

当cosa0时，akπ,kZ，此时f(xa)(xa2)3sinx

2

或f(xa)(xa2)3sinx，当且仅当0时为奇函数，与cosa0矛盾，

π

所以实数的值可以是.

2

故选：C

2axcosx

4．（2025·天津南开·一模）已知fx是奇函数，则a（）

22x1

A．1B．0C．1D．2

【答案】C

2axcosx

【解析】fx是奇函数，

22x1

2axcos(x)2axcosx

由fxf(x)得，

22x122x1

2(2a)xcosx2axcosx

所以恒成立，则2aa，解得a1.

122x122x

故选：C

5．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（）

．2．x2．2．

AycosxxByexCylog2x1xDysinx4x

【答案】A

【解析】fxcosxx2的定义域为R，

2

且fxcosxxcosxx2fx，

故fxcosxx2为偶函数，A正确；

21

B选项，gxexx2的定义域为R，gxexxx2，

ex

gxgx，故gxexx2不为偶函数，B错误；

选项，2的定义域为，

Chxlog2x1xR

2222

hxhxlogx1x+logx1xlogx1x0，

222

故2是奇函数，错误；

hxlog2x1xC

D选项，txsinx4x的定义域为R，

且txsinx4xsinx4xtx，

故txsinx4x为奇函数，D错误.

故选：A

6．（2025·广西·三模）已知函数fxsin2xcos2x，若函数yfx为偶函数，则的最大负值是.

3π

【答案】

8

ππ

【解析】由fx2sin2x，则fx2sin2x2，

44

由函数yfx为偶函数，则y轴为该函数图象的对称轴，

πππk

即2kπ，kZ，化简可得π，kZ，

4282

3π3π

当k1时，取得最大负值为.故答案为：

88

题组四伸缩平移

1．（2025·天津和平·二模）函数fxAsinx（A0，0，π）的部分图象如图所示，要得到

y2sinx的图象，只需将函数fx的图象上所有的点（）

π

A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

3

2π

B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

3

1π

C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

23

12π

D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

23

【答案】A

T7ππ

【解析】由图可知，A2,，得Tπ，

4123

2πππ

又T，由0解得2；将点(,0)代入f(x)，得02sin(2)，

33

ππππ

(,0)在函数单调减区间上，则2π2kπ，kZ，解得2kπ,kZ，又π，所以，.

3333

ππ

得f(x)2sin(2x).将f(x)的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动

33

个单位长度，得y2sinx的图象.故选：A

1

2．（24-25广东佛山·阶段练习）将函数ysinx图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到

2

π

函数yfx的图象.再将yfx的图象向右平移个单位长度，得到ygx的图象，则函数gx的解析式

6

为（）

1π1π

A．gxsinxB．gxsinx

26212

ππ

C．gxsin2xD．gxsin2x

63

【答案】D

【解析】函数ysinx图象上各点的横坐标缩短到原来的1倍，得到fxsin2x，

2

πππ

再向右平移个单位长度，得到gxsin2xsin2x.

663

故选：D

π

3．（2025·甘肃白银·三模）将函数fxsinx0的图象向左平移个单位长度，得到函数gx的图象，

12

π

且gx的图象关于点,0对称，则的最小值为（）

6

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

ππ

【解析】gxfxsinx，

1212

π

又gx的图象关于点,0对称

6

ππππ

g0，即sinsin0，

66124

π

kπkZ，即4kkZ，

4

0，

的最小值为4．

故选：B.

ππ

4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数f(x)sin(3x)，将f(x)的图象向右平移(||)个单位后，得到函

42

数g(x)的图象，若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，则的值为（）

ππππ

A．B．C．D．

12643

【答案】B

π

【解析】依题意，g(x)f(x)sin(3x3)，

4

由g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，得g(x)f(x)对任意xR恒成立，

ππ3π

即sin(3x3)sin(3x)sin(3x)对任意xR恒成立，

444

π3ππ2kππ

因此32kπ,kZ，解得,kZ，而||，

44632

π

则k0,.

6

故选：B

3

5．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数fxsinxcosxcos2x，将fx的图象向左平移0个

2

单位后，得到函数gx的图象．若gx的图象与fx的图象关于y轴对称，则的最小值为（）

ππππ

A．B．C．D．

12643

【答案】B

313π

【解析】由题意得fxsinxcosxcos2xsin2xcos2xsin2x，

2223

ππ

所以gxsin2xsin2x2，

33

因为gx的图象与fx的图象关于y轴对称，

ππ

所以gxfx，即sin2x2sin2x，

33

ππππ

所以2x22xπ2kπkZ或2x22x2kπkZ（不合题意），

3333

ππ

解得：kπkZ，又因为0，所以的最小值为.

66

故选：B

题组五最值

1．（2024·湖北·二模）函数fx3cosx4sinx，当fx取得最大值时，sinx（）

4433

A．B．C．D．-

5555

【答案】B

34

【解析】fx3cosx4sinx5cosxsinx5cosx，

55

34

其中cos,sin，

55

而fx3cosx4sinx5cosx5，

4

等号成立当且仅当x2kπkZ，此时sinxsinsin.

5

故选：B.

ππ

2．（2025·福建宁德·三模）若函数fx2sinx在区间a,a1上的最小值为m，最大值为M，则（）

24

2

A．2mB．2m2

2

2

C．2M2D．M2

2

【答案】B

ππππππ

【解析】AB选项，xa,a1时，xa,a，

242424

πππππ

其中aa，

24242

πππππ

显然的最小值为，只需内有即可，

m-2a,a2k1π,k1Z

24242

πππ

a2kπ,kZ

24422

当时，m取得最大值，最大值为2，

ππ3π

a2kπ,kZ

24422

故2m2，A错误，B正确；

πππππ

选项，同理的最大值为，只需内有即可，

CDM2a,a2k3π,k3Z

24242

ππ3π

a2kπ,kZ

24444

当时，M取得最小值，最小值为2，

πππ

a2kπ,kZ

24444

故2M2，CD错误；

故选：B

π

3．（2025·重庆·三模）函数ysin6x3cos6x在0,上的值域为.

18

【答案】3,2

π

【解析】由题意可得：ysin6x3cos6x2sin6x，

3

πππ2π

因为x0,，则6x,，

18333

π3π

可得sin6x,1，即y2sin6x3,2，

323

所以所求函数的值域为3,2.

故答案为：3,2.

4．（2025·上海青浦·模拟预测）函数y2sinx3cosx的值域是.

【答案】13,13

23

【解析】y2sinx3cosx13sinxcosx13sinx13,13，

1313

3

其中tan，则其值域为13,13故答案为：13,13.

2

5．（23-24上海奉贤·期中）已知函数yasinx2cosx,a0的最大值为3，则实数a的值为.

【答案】5

【解析】yasinx2cosxa24sinx，

因为函数yasinx2cosx,a0的最大值为3，

所以a243a5，a5（舍去），

所以实数a的值为5.

故答案为：5.

6．（24-25上海长宁·期中）函数fx2sinxcosxsinxcosx，xR的值域是．

5

【答案】12,

4

2

【解析】因为sinxcosx12sinxcosx，

π

设t