2026年北京市昌平区中考数学一模试卷（含解析）

2026年北京市昌平区中考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）.1．如图，下列图形中是如图空心圆柱的俯视图的是（）A． B． C． D．2．为推动数字经济高质量发展，我国大模型应用规模不断扩大年3月24日国家数据局在国新办举行的新闻发布会上表示，到2026年3月，我国大模型日均词元调用量已超过1400000亿．将1400000用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．4．如图，直线，，是直线上两点，，是直线上两点，于点，若，则的大小为（）A． B． C． D．5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A．1 B． C．4 D．6．京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（）A． B． C． D．7．如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（）A． B． C． D．8．如图，矩形的对角线，相交于点，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．顺次连接，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各边所在直线的距离都相等；④该八边形为正八边形时，矩形的长宽比为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为．10．分解因式：．11．方程的解为．12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，．13．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为．14．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为．15．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则16．某校开展了“校园小管家资产配置养成计划”实践活动，初始总资产为20，参与活动的同学可将资产配置到储蓄、基金、股票、保险四类项目中．活动通过三次随机掷骰子（六面分别标有的数字）得到三次点数，分别对应三年项目的收益乘数，最终计算出每类项目的总收益．游戏规则如下：①储蓄的收益乘数：无论点数为何值，每年固定为②基金的收益乘数：1或2点为0；3或4点为；5或6点为③股票的收益乘数：1点为；2点为；3或4点为0；5点为；6点为④保险的收益乘数：1或2或3点为；4或5或6点为⑤单类项目总收益初始配置金额三年收益乘数之和储蓄基金股票保险初始配置金额第1年收益乘数0第2年收益乘数0第3年收益总乘数三年收益总乘数单类项目总收益四类项目配置金额均为非负整数，三次掷骰子点数分别是2点，1点，点．（1）若，保险初始配置金额不得超过基金与储蓄初始配置金额之和，则该方案下四类项目总收益最大值为；（2）若保险初始配置金额为0，且基金和股票初始配置金额之和不低于11，则股票初始配置金额最多为时，无论为何值，都存在一种配置方案使得总收益不低于初始总资产的．三、解答题（本题共12道小题，第17-19，21-23每小题5分，第20，24-26每小题5分，第27，28题每小题5分，共68分）.17．计算：．18．解不等式组：．19．已知，求代数式的值．20．如图，在△中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长．21．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长．22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围．23．2025年，某市空气质量法到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物”年均浓度降至27微克立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超八成，重污染天数基本清零．某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图：．丙区域12个月的月均浓度：323229282724212028293031．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）甲乙丙丁平均数23.623.627.623.6中位数22.524.024.0方差30.815.930.8根据以上信息，回答下列问题：（1）表中的值为；（2）表中30.8（填“”“”或“”；（3）为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）①全年月均浓度的平均数尽可能低；②全年月均浓度的波动幅度尽可能小；③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多．评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为．24．如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接．（1）求证：；（2）作射线交，分别于点，，若，求的半径的长．25．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，，，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件，得到数据如下：012345678910的的值（件0816244046545656进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，，如图所示．（1）观察曲线，上件分拣后，当第个周期时，首次超过35；（2）表中，，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线；（3）①若选用，开机后至少分钟后，值基本恒定；②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，，，结合题目所给信息，将，，进行排序（用“”连接）．26．在平面直角坐标系中，抛物线，经过点．（1）用含的式子表示；（2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，，则；②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围．27．已知，如图△，，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点．（1）求证：；（2）连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：将线段绕点顺时针旋转可以得到线段，，分别是，的对应点），点为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点为中心关于“”的“关联线段”．（1）若．①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点为中心关于“”的“关联线段”是；②当时，且在直线上（点在点左侧），线段是的以点为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点横坐标的取值范围；（2）若，，，点在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点为中心关于“”的“关联线段”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1．如图，下列图形中是如图空心圆柱的俯视图的是（）A． B． C． D．解：从上面看，是两个同心圆（里面的圆画成实线）．故选：．2．为推动数字经济高质量发展，我国大模型应用规模不断扩大年3月24日国家数据局在国新办举行的新闻发布会上表示，到2026年3月，我国大模型日均词元调用量已超过1400000亿．将1400000用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．解：．故选：．3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．解：由所给数轴可知，，则，，，显然只有选项符合题意．故选：．4．如图，直线，，是直线上两点，，是直线上两点，于点，若，则的大小为（）A． B． C． D．解：，，，，，故选：．5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）A．1 B． C．4 D．解：根据题意得△，解得，即的值为1，故选：．6．京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（）A． B． C． D．解：列表如下：生旦净丑生（生，生）（生，旦）（生，净）（生，丑）旦（旦，生）（旦，旦）（旦，净）（旦，丑）净（净，生）（净，旦）（净，净）（净，丑）丑（丑，生）（丑，旦）（丑，净）（丑，丑）共有16种等可能的结果，其中两人恰好体验同一行当的结果有4种，两人恰好体验同一行当的概率为．故选：．7．如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（）A． B． C． D．解：由题意可知，，，是的垂直平分线，，，因此选项不符合题意，选项不符合题意；，，，因此选项不符合题意；当为钝角时，如图，此时，因此选项符合题意，故选：．8．如图，矩形的对角线，相交于点，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．顺次连接，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各边所在直线的距离都相等；④该八边形为正八边形时，矩形的长宽比为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解：结论①：由题意可知八边形的边长受矩形长、宽关系的影响，如图1所示，显然八边形的各边并不相等，故结论①错误；结论②：如图1，由条件易知四边形是正方形，进而可证△，△，△，△为4个全等的等腰直角三角形，由此可知八边形的各个内角均为，故结论②正确；结论③：如图2，连接，过点分别作，，由条件易知△，△均为等腰三角形，且，在△和△中，，，由结论①易知和不一定相等，因此和也不一定相等，故结论③错误；结论④：如图3，结合结论②，设，则，当八边形为正八边形时，则，所以，所以矩形的长宽比为，所以结论④正确．综上，所有正确结论的序号是②④．故选：．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为．解：二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，，，故答案为：．10．分解因式：．解：，，．11．方程的解为．解：原方程去分母可得：，，，，经检验，原方程的解为．故答案为：．12．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，．解：当，时，，而，说明命题“若，则”是假命题，故答案为：；（答案不唯一）．13．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为十二．解：由题意可得：，解得．故多边形是十二边形．故答案为：十二．14．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为．解：点坐标为，且在正比例函数的图象上，，，，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点与点关于原点成中心对称，．故答案为：．15．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则解：连接，四边形是正方形，，，，，将线段绕点逆时针旋转得到，，，，，在△与△中，，△△，，，，，，点为中点，，是△的中位线，，，方法二：过作于，，，，，，，设，，，，，，，，点为中点，，，，△△，，，，，故答案为：．16．某校开展了“校园小管家资产配置养成计划”实践活动，初始总资产为20，参与活动的同学可将资产配置到储蓄、基金、股票、保险四类项目中．活动通过三次随机掷骰子（六面分别标有的数字）得到三次点数，分别对应三年项目的收益乘数，最终计算出每类项目的总收益．游戏规则如下：①储蓄的收益乘数：无论点数为何值，每年固定为②基金的收益乘数：1或2点为0；3或4点为；5或6点为③股票的收益乘数：1点为；2点为；3或4点为0；5点为；6点为④保险的收益乘数：1或2或3点为；4或5或6点为⑤单类项目总收益初始配置金额三年收益乘数之和储蓄基金股票保险初始配置金额第1年收益乘数0第2年收益乘数0第3年收益总乘数三年收益总乘数单类项目总收益四类项目配置金额均为非负整数，三次掷骰子点数分别是2点，1点，点．（1）若，保险初始配置金额不得超过基金与储蓄初始配置金额之和，则该方案下四类项目总收益最大值为70；（2）若保险初始配置金额为0，且基金和股票初始配置金额之和不低于11，则股票初始配置金额最多为时，无论为何值，都存在一种配置方案使得总收益不低于初始总资产的．解：设储蓄、基金、股票、保险初始配置金额分别为，，，，由题意得，，，，为非负整数，（1）当，计算各项目三年收益乘数总和：储蓄每年固定，故；基金：第一年2点对应0，第二年1点对应0，第三年5点对应，故；股票：第一年2点对应，第二年1点对应，第三年5点对应，故；保险：第一年2点对应，第二年1点对应，第三年5点对应，故；总收益，其表达式与的取值无关，约束条件为，但，，，的总和固定为20，为使可能取得最大值，应将资本金尽量分配给收益乘数和为正的，，，故应取的最小值，即，可得，，代入约束得，即，整理得，，因为，故越大越大，最大取10，此时，最大取10，，得；故答案为：70；（2）由题意，故，约束，即，，要求总收益，对任意，2，3，4，5，6成立，求最大的，恒成立，对任意，为关于的一次函数，系数均为负，故最大在取最小值时取得，当时，，，，若，，代入得最大，解得；若，得，，矛盾，验证其余，，，，若，，最大，得，满足；，4，，，，若，，最大，得，满足；，，，，若，，最大，得，满足；，，，，若，，最大，得，满足，为非负整数，故最大．故答案为：4．三、解答题（本题共12道小题，第17-19，21-23每小题5分，第20，24-26每小题5分，第27，28题每小题5分，共68分）.17．计算：．解：．18．解不等式组：．解：解不等式得，解不等式得，所以不等式组的解集是．19．已知，求代数式的值．解：由题知，．因为，则，所以．20．如图，在△中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长．【解答】（1）证明：，为中点，，，，，，分别为，中点，是△的中位线，，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形；（2）解：过作于，则，，设，，，，，，，．21．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长．解：设，则，，，，比长度多．，解得，，即这个雨伞的伞柄的长为．22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围．解：（1）把，分别代入得，解得，一次函数解析式为；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值即时，且恒成立，对于，恒成立，，，，此时，，解得，此时的范围为；对于，恒成立，，，，此时，，，综上所述，的取值范围为．23．2025年，某市空气质量法到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物”年均浓度降至27微克立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超八成，重污染天数基本清零．某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图：．丙区域12个月的月均浓度：323229282724212028293031．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）甲乙丙丁平均数23.623.627.623.6中位数22.524.024.0方差30.815.930.8根据以上信息，回答下列问题：（1）表中的值为28.5；（2）表中30.8（填“”“”或“”；（3）为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）①全年月均浓度的平均数尽可能低；②全年月均浓度的波动幅度尽可能小；③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多．评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为．解：（1）丙区域12个月的月均浓度从小到大排列：20，21，24，27，28，28，29，29，30，31，32，32，中位数是第6个数和第7个数的平均数，，故答案为：28.5；（2）乙区域12个月月均浓度：16，18，20，22，24，24，24，26，27，27，27，28，，，故答案为：；（3）由表中数据可知，全年月均浓度的平均数：甲乙丁丙；全年月均浓度的波动幅度的方差从小到大排序：乙甲丁；全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多是乙，故答案为：乙、甲、丁、丙．24．如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接．（1）求证：；（2）作射线交，分别于点，，若，求的半径的长．【解答】（1）证明：连接，如图1所示：为直径，，与相切，切点分别为，，，，，在△和△中，，△△，，平分，在△中，，平分，，，，；（2）解：连接，，如图2所示：由（1）可知：，，，与相切相切于点，由弦切角定理得：，，为直径，，△是直角三角形，在△和△中，，△△，，，，又，，，在△中，，与相切相切于点，，△是直角三角形，在△中，，，，的半径的长为5．25．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，，，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件，得到数据如下：012345678910的的值（件0816244046545656进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，，如图所示．（1）观察曲线，上件分拣后，当第5个周期时，首次超过35；（2）表中，，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线；（3）①若选用，开机后至少分钟后，值基本恒定；②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，，，结合题目所给信息，将，，进行排序（用“”连接）．解：（1）由图可知，当第5个周期时，首次超过35，故答案为：5；（2）进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长8件，（件；5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件，第5个周期到第9个周期增加量依次为6件，5件，3件，2件才符合题意，；作图如下：故答案为：32；51；（3）①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定，故答案为：7；②由图可知开机前5分钟，曲线在最下方，在最上方，在中间，，故答案为：．26．在平面直角坐标系中，抛物线，经过点．（1）用含的式子表示；（2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，，则1；②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围．解：（1）由题意，抛物线经过点，．；（2）①由题意，，，结合（1）可得，，抛物线，．又，，，．故答案为：1；②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，，．分两种情况：情况1：当时，当时，，．函数的图象开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．，当时符合题意，时不符合题意．；（ⅱ）当时，，．函数的图象开口向上，对称轴为直线．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．，时符合题意．．情况2：当时，，．．函数的图象开