2025-2026学年北京市顺义区第一中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市顺义区第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共9小题，共36分。1.已知点A（1，-2），B（2，3），则向量=（）A. B.（1，5） C.（3，1） D.（-1，-5）2.在复平面内表示复数（3+4i）i的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在直角△ABC中，斜边AC=3，直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（）A. B. C. D.4.已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是（）A.若l∥α，l⊥m，则m⊥α B.若α∥β，m∥α，则m∥β

C.若l⊥α，l∥β，则α⊥β D.若l∥α，m∥α，则l∥m5.在△ABC中，，则∠B=（）A. B. C. D.6.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体FE-ABCD的形状（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB=CD=2EF=2BC=8，EA=ED=FB=FC=3，则五面体FE-ABCD的表面积为（）

A.48 B. C. D.7.设为非零向量，则“”是“存在正数λ，使得”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面DEC1交棱BB1于点G，则下列结论中正确的是（）A.直线A1F与直线C1E异面

B.平面AB1D1∥平面DEC1

C.截面DEGC1是梯形

D.直线C1F⊥平面DEC1

9.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（）A.[-5，0] B.[-3，0] C.[0，3] D.[0，5]二、多项选择题：本大题共1小题，共4分。10.已知向量，则下列向量与平行的是（）A.（0，2） B.（-1，3） C. D.（6，2）三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知，则=

.12.如图，△A′O′B′为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O′A′=2，O′B′=3，则△AOB的周长为

.13.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为______．14.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45°，则棱AA1的长为

，二面角B-DD1-C的大小为

.

15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列命题：

①；

②；

③在上的投影向量为；

④若点P为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.

其中正确命题的序号是

.四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知，求：

（1）；

（2）；

（3）与的夹角θ的余弦值.17.(本小题14分)

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1​​​​​​​棱长为2.

（1）证明：B1C∥平面A1BD；

（2）证明：BD⊥A1C；

（3）求三棱锥B-A1B1C的体积.18.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若B=2A，a=3，.

（1）求cosA的值；

（2）求c边及△ABC的面积.19.(本小题14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=a,AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD.

（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；

（2）设平面PBC∩平面PAD于直线l,证明：BC∥l；

（3）若在线段BC上是否存在点F，使得EF∥平面PAB，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为45°.20.(本小题14分)

已知在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a,b,c,.

（1）求A的大小；

（2）若c=8，判断下列三个条件是否能使△ABC存在且唯一，并对满足条件的求出△ABC的周长.

①AB边上的高线CD长为，②，③

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分21.(本小题15分)

如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{-1，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）.

记向量，若，则称与为正交向量.若对任意不同的i,j∈{1，2，…，n}，都有与为正交向量，则称A为正交数表.

（1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）；

（2）当n=6时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；

（3）求证：对任意k∈N*，当n=4k+2时，A不是正交数表.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】CD

11.【答案】-1-i

12.【答案】12

13.【答案】3

14.【答案】45°

15.【答案】②③④

16.【答案】5

35

17.【答案】证明：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，交BA1于E，连接AC交BD于O，连接OE，

则OE∥CB1，

因为CB1⊄平面A1BD，OE⊂平面A1BD，

所以B1C∥平面A1BD；

证明：（2）因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以AA1⊥BD，

因为BD⊥AC，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACA1，

所以BD⊥平面ACA1，又A1C⊂平面ACA1，

所以BD⊥A1C；

解：（3）因为====．

18.【答案】解：（1）因为，∠B=2∠A，

所以在△ABC中，由正弦定理得，

所以，

故；

（2）方法一：

由（1）知，所以，

所以，

又因为∠B=2∠A，所以，可得，

所以，

在△ABC中，，

所以，；

方法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA，

，c2-8c+15=0，c=3或c=5，

当c=3时，即B为钝角，

因为B=2A，所以，与B为钝角矛盾，

所以c=3舍，即c=5，

因为，所以，可得，

所以．

19.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，

又因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD，

又因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又因为BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC

证明：在正方形ABCD中，则BC∥AD，

因为BC⊄平面P