2025-2026学年福建省泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z=（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，四边形O'A'B'C'是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中O′A′∥B′C′，O′A′=2，O′C′=1，B′C′=1.则四边形OABC的面积是（）

A.3 B. C.6 D.43.已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

B.若m∥α，n⊂α，则m∥n

C.若n∥m,m⊄α，n⊂α，则m∥α

D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n4.在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，3）则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，已知A=30°，，b=2，则角C为（）A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105°6.如图，在△ABC中，，，且BF与CE交于点M，设，则2x-y=（）A.-1

B.

C.

D.7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，AA1，BB1，CC1，DD1都垂直于底面ABCD，且，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则截面四边形BED1F的周长的最小值为（）A.

B.5

C.

D.108.在△ABC中，AB=1，sin2A+sin2B=4sinAsinBcosC，则△ABC的面积的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.设z1为复数，则下列结论中正确的是（）A.

B.复数6+5i与-3+4i分别表示向量与，则表示向量的复数为9+i

C.若为虚数，则z1也为虚数

D.若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为π10.下列关于向量的命题正确的是（）A.向量，共线的充要条件是存在实数λ，使得=λ成立

B.对任意向量，，|-|≤|||-|||恒成立

C.非零向量，，，满足∥，∥，则∥

D.在△OAB中，C为边AB上一点，且AC：CB=2：3，则=+11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为DD1的中点，动点P在侧面BCC1B1内（包含边界），则下列结论正确的是（）A.若P是线段BC1的中点，则四面体QPBC的体积为

B.若，则点P的轨迹长度是

C.若存在点P，使PQ∥平面B1AD1，则PQ长度的最小值是

D.若E为棱AB的中点，三棱锥B-C1CE的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为9π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为25π，则圆台的体积为

.13.如图，测量河对岸塔楼的高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得α=75°，β=45°，CD=20米，在点C测得塔顶A的仰角θ=60°，则塔高AB为

米.

14.已知△ABC三边的垂直平分线交于点O，且AB2+AC2-2AC=0，则的取值范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知i为虚数单位，复数z=m2-2m-3+m（m+1）i.

（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；

（2）当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.16.(本小题15分)

已知平面向量.

（1）若，且，求的坐标；

（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.

（1）求证：点Q，N，C，D四点共面

（2）求证：平面MNQ∥平面PCD.

（3）在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.(本小题17分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足bcosA=（2c-a）cosB.

（1）求角B的大小；

（2）若b=2，求△ABC周长的最大值；

（3）若，D为线段AC上一点，满足BD=CD=2AD，求△ABC的面积.19.(本小题17分)

设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种新运算“⊗”：⊗=||||tanθ.

（1）已知向量||=2，||=3，•=2，求⊗；

（2）设向量=（x1，y1），=（x2，y2），且•≠0，证明：⊗=；

（3）已知向量=（cosβ，sinβ），=（cosγ，sinγ），•≠0，若⊗=2，求cos（2β-2γ）的值.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】CD

11.【答案】ABD

12.【答案】28π

13.【答案】20

14.【答案】．

15.【答案】解：（1）若复数z是纯虚数，

则，解得m=3．

（2）当m=1时，z=-4+2i,

把z=-4+2i代入方程x2+px+q=0得：（-4+2i）2+p（-4+2i）+q=0，

整理得：12-4p+q+（2p-16）i=0，

所以，解得p=8，q=20．

16.【答案】解：（1）设，，且，

∴，

∴x=2y,且，

∴x2+y2=4y2+y2=5y2=5，解得y=±1，∴或，

∴或（2，1）；

（2），

∵与的夹角为锐角，

∴，且与不共线，

∴，解得且λ≠0，

∴λ的取值范围为．

17.【答案】证明：在四棱锥P-ABCD中，N，Q分别为PA，PB的中点，所以NQ∥AB，

因为底面ABCD是平行四边形，所以AB∥CD．

所以NQ∥CD，

所以点Q，N，C，D四点共面

证明：由（1）知NQ∥AB，因为NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以NQ∥平面