高中奥赛复赛试题及答案

高中奥赛复赛试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设集合\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}\)，\(B=\{x|ax-1=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(0,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\)D.以上都不对2.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的一条对称轴方程是（）A.\(x=\frac{\pi}{12}\)B.\(x=\frac{\pi}{6}\)C.\(x=\frac{\pi}{3}\)D.\(x=\frac{5\pi}{12}\)3.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.28B.42C.56D.144.若复数\(z=\frac{2i}{1+i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)是（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)5.已知直线\(l_1:ax+2y+6=0\)与直线\(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0\)平行，则\(a\)的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-26.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加某项活动，则至少有\(1\)名女生的选法有（）种A.36B.56C.64D.967.已知函数\(f(x)=\lnx-x+1\)，则函数\(f(x)\)的单调递增区间是（）A.\((0,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-\infty,0)\)8.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{7}{4}\)9.若\(\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{3}{5}\)，则\(\sin2\alpha=（）\)A.\(\frac{7}{25}\)B.\(\frac{1}{5}\)C.\(-\frac{1}{5}\)D.\(-\frac{7}{25}\)10.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(-1)=（）\)A.-3B.-1C.1D.3二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于函数性质的说法正确的有（）A.若\(f(x)\)为偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)B.若\(f(x+2)\)是偶函数，则\(f(x)\)图象关于\(x=2\)对称C.若\(f(x)\)为奇函数，则\(f(0)=0\)（定义域包含\(0\)）D.若\(f(x+2)\)是奇函数，则\(f(x)\)图象关于点\((2,0)\)对称2.已知\(a,b,c\)为非零实数，且\(a\gtb\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac^2\gtbc^2\)C.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.\(a-c\gtb-c\)3.下列函数中，既是偶函数又在\((0,+\infty)\)上单调递增的有（）A.\(y=x^4\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)4.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(x,1)\)，若\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)夹角为锐角，则\(x\)的取值范围可能是（）A.\((-\frac{1}{2},+\infty)\)B.\((-\frac{1}{2},2)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\frac{1}{2},2)\cup(2,+\infty)\)5.对于数列\(\{a_n\}\)，下列说法正确的有（）A.若\(a_{n+1}=2a_n\)，\(n\inN^\)，则\(\{a_n\}\)为等比数列B.若\(a_n=n^2+1\)，则\(\{a_n\}\)为递增数列C.若\(a_n=2^n+1\)，则\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=2^{n+1}+n-2\)D.若\(a_n=\log_2(n+1)\)，则\(\{a_n\}\)为等差数列6.已知圆\(C:(x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直线\(l:mx-y+1-m=0\)，则下列说法正确的有（）A.直线\(l\)恒过定点\((1,1)\)B.圆\(C\)被\(y\)轴截得的弦长为\(4\sqrt{6}\)C.直线\(l\)与圆\(C\)一定相交D.直线\(l\)被圆\(C\)截得弦长最短时，直线\(l\)的方程为\(x-y=0\)7.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的图象相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，且\(f(0)=\frac{1}{2}\)，则下列说法正确的有（）A.函数\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)对称C.函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{3}\)对称D.函数\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上单调递增8.已知\(A,B,C\)是球\(O\)的球面上三点，\(AB=2\)，\(AC=2\sqrt{3}\)，\(\angleABC=60^{\circ}\)，且棱锥\(O-ABC\)的体积为\(\frac{4\sqrt{6}}{3}\)，则下列说法正确的有（）A.\(\triangleABC\)的外接圆半径为\(2\)B.球\(O\)的半径为\(4\)C.球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离为\(2\)D.\(\angleAOC=90^{\circ}\)9.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)，则下列说法正确的有（）A.函数\(f(x)\)的极大值为\(\frac{8}{3}\)B.函数\(f(x)\)的极小值为\(-8\)C.函数\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上单调递增D.函数\(f(x)\)在\((3,+\infty)\)上单调递减10.已知\(a=\log_23\)，\(b=\log_34\)，\(c=\log_45\)，则下列大小关系正确的有（）A.\(a\gtb\)B.\(b\gtc\)C.\(a\gtc\)D.\(c\gta\)三、判断题（每题2分，共20分）1.若\(a\gtb\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)。（）2.函数\(y=\sinx\)与\(y=\cosx\)的图象有无数个交点。（）3.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}\lt0\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为钝角。（）4.等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1\lt0\)，\(q\gt1\)，则\(\{a_n\}\)为递减数列。（）5.直线\(x+y-1=0\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切。（）6.函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（）7.若\(f(x)\)是周期函数，则\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\)为周期）。（）8.若\(A,B\)是互斥事件，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）9.已知\(a,b\)是异面直线，直线\(c\)平行于直线\(a\)，则\(c\)与\(b\)不可能是平行直线。（）10.若\(f(x)\)是奇函数，则\(f(x)\)的图象关于原点对称。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定义域。答：要使根式有意义，则\(x-1\geq0\)，即\(x\geq1\)；要使分式有意义，则\(x-2\neq0\)，即\(x\neq2\)。所以定义域为\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-3,4)\)，求\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)的余弦值。答：根据向量点积公式\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times\cos\theta\)。\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times(-3)+2\times4=5\)，\(|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(|\vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)，则\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\times|\vec{b}|}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)。3.求等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=3\)时，\(a_{10}\)的值。答：根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，当\(n=10\)，\(a_1=2\)，\(d=3\)时，\(a_{10}=2+(10-1)\times3=2+27=29\)。4.已知圆\(C:(x-2)^2+(y-3)^2=4\)，求过点\(P(1,1)\)的圆的切线方程。答：当直线斜率不存在时，\(x=1\)与圆相切。当直线斜率存在时，设切线方程\(y-1=k(x-1)\)，即\(kx-y-k+1=0\)。由圆心到直线距离等于半径得\(\frac{|2k-3-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=2\)，解得\(k=0\)或\(k=-\frac{4}{3}\)，切线方程为\(y=1\)或\(4x+3y-7=0\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=x^2-2ax+1\)在区间\([0,2]\)上的单调性。答：函数\(f(x)\)对称轴为\(x=a\)。当\(a\leq0\)时，\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递增；当\(0\lta\lt2\)时，\(f(x)\)在\([0,a]\)上单调递减，在\([a,2]\)上单调递增；当\(a\geq2\)时，\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递减。2.讨论等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。答：设等比数列\(\{a_n\}\)首项\(a_1\)，公比\(q\)。当\(q=1\)时，\(S_n=na_1\)；当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。3.讨论直线\(y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)的位置关系。答：圆心\((0,0)\)到直线\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距离\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。