2027届新高三数学热点复习利用导数研究函数的零点

2027届新高三数学热点复习利用导数研究函数的零点命题点一讨论函数零点的个数例1：(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x＋2)ex.(1)求f(x)的单调区间及最值；

(2)设g(x)＝f(x)－k，讨论g(x)在区间[－1，1]上的零点个数．

学霸笔记：函数的零点个数即函数图象与x轴交点的个数，借助数形结合思想，可通过函数图象判断函数的零点个数．(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f(x)的大致图象，然后根据图象判断零点个数．(2)若函数f(x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点个数．跟踪训练

(衔接·人教A版选修二P95例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；解析：∵f(x)＝(x＋1)ex，∴f(x)＝(x＋2)ex，令f(x)＝0，可得x＝－2，∴当x∈(－∞，－2)时，f(x)<0，f(x)在(－∞，－2)上单调递减；当x∈(－2，＋∞)时，f(x)>0，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值为f(－2)＝－e-2，无极大值．综上，f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，f(x)的单调递增区间为(－2，＋∞)，f(x)的极小值为－e-2，无极大值．(2)画出函数f(x)的大致图象；解析：当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0，并结合上面的单调性与极值可得大致图象如图所示．(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．解析：方程f(x)＝a的解的个数，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a交点的个数．由上图可知，当a<－e-2时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a没有交点，方程f(x)＝a无解；当a≥0或a＝－e-2时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有1个交点，则方程f(x)＝a有1个解；当－e-2<a<0时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有2个交点，则方程f(x)＝a有2个解．综上，当a<－e-2时，方程f(x)＝a的解的个数为0；当a≥0或a＝－e-2时，方程f(x)＝a有1个解；当－e-2<a<0时，方程f(x)＝a有2个解．命题点二根据函数零点情况确定参数例2：(2026·宁波模拟)已知函数f(x)＝xlnx.(1)若f(x)在区间(a，＋∞)上单调，求实数a的取值范围；

(2)若函数g(x)＝f(x)－bx2有两个不同的零点，求实数b的取值范围．

学霸笔记：(1)分离参数法：从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．跟踪训练

(衔接·人教A版选修二P104T19)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)，若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上可得，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．

(2)判断f(x)的零点个数，并说明理由．

2．(15分)(2026·烟台一模)已知函数f(x)＝x(x＋c)2在x＝1处有极大值．(1)求实数c的值；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋a有三个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由(1)可得函数f(x)＝x(x－3)2，求导可得f′(x)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或3，可得下表：所以函数f(x)的极大值为f(1)＝4，极小值为f(3)＝0，函数g(x)＝f(x)＋a存在三个零点，等价于函数f(x)图象与直线y＝－a存在三个交点，如图，由图可得0<－a<4，则－4<a<0.x(－∞，1)1(1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

4.(17分)已知函数f(x)＝x＋asinx－xcosx.(1)当a＝1时，求f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；解析：因为a＝1，所以f(x)＝x＋sinx－xcos