苏教版五年级数学下册《因数与倍数》单元核心概念建构教案

苏教版五年级数学下册《因数与倍数》单元核心概念建构教案

一、顶层设计理念与思想

本教案的构建，立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，超越传统的知识点传授模式，致力于引领学生经历一次完整的数学概念“再创造”过程。我们以数论启蒙为学科定位，将“因数与倍数”置于“数与代数”领域承上启下的关键节点进行审视。教学设计的核心思想是：从乘法意义这一本源出发，通过结构化、序列化的数学任务与活动，引导学生在具身体验、自主探究与深度思辨中，主动建构一对相互依存的数学概念——因数与倍数，理解其本质内涵、掌握其求法、探寻其联系与区别，并初步感悟数论世界的奇妙与秩序，发展学生的抽象能力、推理意识和模型观念。

本设计强调“大单元”教学视角，将本课时视为整个“因数与倍数”知识体系的“种子课”，其概念建构的深度与稳固性，将直接决定后续关于2、5、3的倍数特征，质数与合数，最大公因数与最小公倍数等内容的学习质量。因此，教学过程不追求速度与容量，而追求理解的深度与思维的广度，致力于为学生打开一扇窥见整数内在规律的大门。

二、教材深度解构与学情精准分析

（一）教材纵向贯通与横向关联分析

1.纵向知识脉络：

在本单元之前，学生已经系统掌握了整数的认识（包括万级、亿级的扩展）、四则运算的意义及其关系，尤其是对乘除法的意义及乘、除法算式中各部分的名称有扎实基础。这是理解“因数与倍数”概念的知识原点。同时，学生具备利用乘法口诀寻找积的对应乘数的经验，这是探究因数的前认知。学完本单元后，学生将运用因数和倍数的概念去探索数的整除特征、数的分类（质数、合数），并最终解决实际问题（如最大公因数、最小公倍数在铺砖、排队等问题中的应用）。因此，本课时是连接算术基础与数论初步的枢纽。

2.横向学科关联：

1.与科学学科的联系：周期性现象（如蝉的“质数年”生命周期）背后隐藏着倍数的规律；物质的最小构成单元（分子、原子）与“因数”分解思想有内在相通之处。

2.与信息技术学科的融合：可通过简单的编程（如Scratch）演示枚举法找因数、倍数，或验证某个数的倍数特征，初步体验算法思想。

3.与文化价值的渗透：介绍“完美数”（如6）、“亲和数”等数学文化知识，激发学生对数论之美的欣赏与探究欲。

（二）学情前测与认知节点分析

五年级学生的思维正由具体运算阶段向形式运算阶段过渡，具备一定的归纳、概括和抽象能力，但仍需依托直观操作和具体实例。通过课前访谈与前置性任务分析，预设学情如下：

1.已有经验：

1.2.能熟练进行整数乘除法计算。

2.3.理解“倍数”的生活化含义（如“你的钱是我的3倍”），但尚未数学化定义为“一个整数能被另一个整数整除”。

3.4.在解决“平均分”、“包含除”问题时，潜意识中运用了因数和倍数的思想。

5.潜在困惑与迷思概念：

1.6.概念依存关系混淆：极易将“因数”与“倍数”视为两个孤立概念，难以理解“X是Y的因数，那么Y就是X的倍数”这种相互依存关系。

2.7.概念适用范围模糊：易产生“因数、倍数可以是小数、分数吗？”的疑问。对“在整数除法中”这一前提条件的重要性认识不足。

3.8.寻找方法单一僵化：找因数时可能遗漏，找倍数时认为有最大倍数。

4.9.语言表述不严谨：常会说“3是因数”、“12是倍数”，忽略“谁的”这一关键限定。

10.认知发展节点：教学的关键在于引导学生完成从“乘除法算式各部分名称”到“因倍数关系”的认知飞跃，从“计算导向”转向“关系导向”。

三、素养导向的教学目标与重难点

（一）教学目标

1.知识与技能：

1.结合具体情境和操作活动，理解因数和倍数的意义，明确因数和倍数是表示两个整数之间的一种相互关系。

2.掌握求一个数的因数和倍数的方法，能有序地找出一个数的全部因数和指定范围内的倍数。

3.知道一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。

2.过程与方法：

1.经历“观察算式——分类归纳——抽象概括——应用拓展”的概念形成过程，发展抽象概括和归纳推理能力。

2.通过用小正方形拼长方形的操作活动，感悟因数与长方形边长、面积之间的几何关联，建立数形结合思想。

3.在探究因数和倍数特点的过程中，学会有序思考，培养思维的条理性和严密性。

3.情感、态度与价值观：

1.在探究活动中体验数学学习的乐趣和成功的喜悦，增强学好数学的自信心。

2.感受数学知识的内在联系和逻辑之美，初步体会数论的神奇与奥妙。

3.养成乐于思考、言必有据、合作交流的良好学习习惯。

（二）教学重难点

1.教学重点：理解因数和倍数的意义，掌握求一个数的因数和倍数的方法。

2.教学难点：理解因数和倍数这两个概念的相互依存关系；能够有序、完整地求出一个数的所有因数。

四、教学准备与资源环境设计

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（包含动态演示、探究任务单、数学文化微视频）。

2.3.12个完全相同的小正方形磁贴或学具卡片。

3.4.设计分层探究任务单、课堂练习卡片。

4.5.准备“数学家的故事——完美数”拓展阅读材料。

6.学生准备：

1.7.每人一套学具（12个小正方形、20个小正方形各一套）。

2.8.课堂练习本、彩笔。

3.9.前置思考任务：“用12个同样大的正方形拼长方形，有几种不同的拼法？画一画，并用乘法算式表示。”

10.教学环境：具备多媒体交互功能的教室，学生以4-6人合作小组形式就坐，便于开展操作、讨论与交流。

五、教学过程实施与深度学习引导

第一环节：情境孕伏，链接旧知——从“形”与“式”中催生概念萌芽

活动一：操作导入，激活经验

1.呈现任务，动手操作：回顾前置任务：“用12个同样大的正方形拼成一个长方形（包括正方形），可以怎样拼？每行摆几个？摆了几行？请用乘法算式记录你的拼法。”

2.小组交流，全班汇总：学生在小组内展示自己的拼法和算式。教师邀请小组代表上台，利用磁贴展示并说明。

1.3.预计出现：摆1行，每行12个，1×12=12。

2.4.摆2行，每行6个，2×6=12。

3.5.摆3行，每行4个，3×4=12。

4.6.（可能补充：摆4行，每行3个……引导学生发现这与3×4=12实质相同，只是方向不同，初步渗透有序思考。）

7.板书核心算式：将反映不同拼法的乘法算式有序地板书：1×12=12，2×6=12，3×4=12。

设计意图：从操作性、趣味性的拼图活动切入，将抽象的“数”与直观的“形”紧密结合。学生通过“做数学”，在回顾乘法意义的同时，为理解“因数”是能“整除”或“构成”一个数的“零件”这一几何直观埋下伏笔。有序的板书为后续有序找因数提供暗示。

活动二：聚焦关系，初识概念

1.引导观察，建立关联：教师指着算式“3×4=12”，提问：“在这个乘法算式中，3、4和12分别叫什么数？（乘数、积）今天，我们从一种新的关系来认识它们。”

2.揭示概念，初步表述：“因为3×4=12，我们就可以说：3是12的因数，4也是12的因数。反过来，12是3的倍数，12也是4的倍数。”教师用规范的语言缓慢陈述，并板书关键词：“因数”、“倍数”。

3.模仿表述，即时巩固：指着“2×6=12”和“1×12=12”，引导学生模仿刚才的说法进行表述。（“因为2×6=12，所以2和6是12的因数，12是2和6的倍数。”）

4.小试牛刀，强化感知：出示算式：5×7=35，8×9=72。让学生独立说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

设计意图：从学生最熟悉的乘法算式各部分名称自然过渡到新的关系表述，降低了概念引入的突兀感。通过模仿和即时练习，让学生初步熟悉概念的语言外壳，并聚焦于“关系”的表述。

第二环节：深度探究，自主建构——在辨析与求索中明晰概念本质

活动一：深化理解，明确前提

1.抛出关键问题，引发认知冲突：教师提问：“根据刚才的学习，能不能说0.5×24=12，所以0.5是12的因数，12是0.5的倍数？”

2.小组辩论，澄清范围：学生产生分歧。教师引导学生回归“拼长方形”的情境：“我们用0.5个小正方形能拼吗？我们所说的‘几个’、‘几行’是什么数？”（整数）进而明确：我们今天研究的因数和倍数，是基于整数乘法（可自然延伸到整数除法）来讨论的，涉及的数都是自然数（一般不包括0）。课件出示并强调概念中的关键限定：“在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。”并与乘法定义勾连，说明一致性。

3.对比辨析，巩固认知：出示判断题，要求说明理由：

1.4.12÷2=6，所以12是倍数，2是因数。（错误，未指明相互关系）

2.5.1.5×8=12，所以1.5是12的因数。（错误，不是整数）

3.6.因为48÷6=8，所以48是6和8的倍数。（正确）

设计意图：通过设置认知冲突，引导学生主动思考概念适用的范围，深刻理解“整数”这一前提的重要性，避免后续出现概念泛化的错误。从乘法定义自然延伸到除法定义，帮助学生多角度理解概念本质。

活动二：探究方法，归纳特点——以“12”和“3”为例

探究一：如何有序地找出一个数的所有因数？（以12为例）

1.独立思考，尝试寻找：“除了1、2、3、4、6、12，12还有别的因数吗？怎样才能一个不漏地找出12的所有因数？”

2.策略分享，优化方法：

1.3.方法A（乘法）：想哪两个整数相乘得12。从1开始，1×12=12，找到1和12；2×6=12，找到2和6；3×4=12，找到3和4；接下来想4，已经出现。按顺序找，成对记录。

2.4.方法B（除法）：用12依次除以1，2，3，…，看商是否为整数且没有余数。12÷1=12，找到1和12；12÷2=6，找到2和6；12÷3=4，找到3和4；12÷4=3（重复）停止。

5.教师引导，归纳有序策略：课件动态演示“成对寻找”的过程，强调从1开始，按顺序试验，找到的因数“成对出现”，写到中间接近时即可停止。板书12的因数：1,2,3,4,6,12。并用集合图圈出，表示这是一个整体。

6.即时迁移，巩固方法：让学生用有序的方法找出“20”的所有因数，并请学生板演，讲解思考过程。

7.观察比较，发现特点：引导学生观察12和20的因数，提问：“一个数的因数，最小是几？最大是几？个数是无限的还是有限的？”学生归纳：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。

探究二：如何求一个数的倍数？（以3为例）

1.唤醒经验，初步寻找：“我们已经知道12是3的倍数，3还有哪些倍数？你是怎么想的？”

2.自主生成，总结方法：学生可能会说：用3依次乘1、2、3、4…即3的1倍、2倍、3倍…教师肯定：求一个数的倍数，就是用这个数依次乘1、2、3、4…板书3的倍数：3,6,9,12,…

3.明确表示，理解无限：提问：“能写完3的倍数吗？”学生意识到写不完。教师说明：一个数的倍数是无限的，所以我们在表示时通常写几个后加省略号。或在指定范围内找（如50以内3的倍数）。

4.对比归纳，深化认知：比较求因数与求倍数的方法与结果特点，形成清晰对比：

1.5.因数：用除法或乘法（想配对），有限个，有最小和最大。

2.6.倍数：用乘法，无限个，有最小（本身），没有最大。

7.即时练习，内化方法：写出5的倍数（前5个）和8的倍数（30以内）。

设计意图：本环节是概念建构的核心。将“求法”与“特点”的探究融为一体，让学生在解决问题的过程中自己“创造”方法，并通过对比分析，深刻把握因数与倍数各自的内涵与外延特征。教师的角色是组织者、引导者和提炼者，将学生的思维成果系统化、规范化。

第三环节：分层应用，拓展升华——在挑战与关联中形成知识结构

活动一：基础巩固，辨析关系

1.“找朋友”游戏：教师出示数字卡片（如4、9、15、18、20、36等），学生判断哪两个数之间存在因倍数关系，并完整表述。

2.综合判断题：

1.3.一个数的倍数一定比它的因数大。（考虑它本身）

2.4.1是所有自然数的因数。

3.5.一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

4.6.在算式A÷B=C（A、B、C为非零自然数）中，A是B和C的倍数。

活动二：综合应用，解决实际问题

1.“排队问题”：五（1）班有24名同学参加广播操比赛，要求每行人数相同，可以排成几行？每行几人？（找出24的所有因数，每对因数对应一种排法）。

2.“猜数游戏”：“我是18的因数，又是3的倍数，我不是18。我是谁？”（6或9）“我的最大因数和最小倍数都是16，我是谁？”（16）

活动三：跨学科拓展，渗透文化

1.播放微视频/讲述故事：介绍“完美数”。例如：6的因数有1,2,3,6。去掉它本身6，其余因数1+2+3正好等于6本身。这样的数叫完美数。下一个完美数是28。这是古希腊数学家发现的。请学生验证28（因数1,2,4,7,14,28，1+2+4+7+14=28）。

2.启发思考：数学不仅有用，而且充满奥秘。鼓励学有余力的学生课后查阅“亲和数”、“亏数”、“盈数”等资料。

设计意图：练习设计遵循由易到难、由封闭到开放、由知识到应用的原则。基础练习强化概念本质；综合应用将数学与生活链接，体现价值；拓展环节旨在激发兴趣，开阔视野，让不同层次的学生都能获得发展，感受数学的魅力。

第四环节：反思总结，结构化提升

1.自主梳理：引导学生围绕以下问题在小组内交流，形成本课思维导图或知识树。

1.2.今天我们认识了哪两个新朋友？（因数和倍数）

2.3.什么是因数？什么是倍数？（说清关系与前提）

3.4.怎样求一个数的因数？有什么特点？

4.5.怎样求一个数的倍数？有什么特点？

5.6.因数和倍数有什么相同点和不同点？

7.全班分享：请小组代表展示梳理成果，教师适时点评、补充和完善。

8.教师总结升华：“同学们，今天我们从一个简单的拼图游戏出发，走进了奇妙的因数与倍数的世界。我们发现，整数之间并不是孤立的，它们通过因倍关系相互联系，构成了一个有序的网络。理解了这种关系，就像获得了一把钥匙，未来我们将用它去解开2、5、3的倍数特征之谜，去认识质数与合数，去解决生活中的很多实际问题。数学的探索，永无止境。”

六、教学评价设计

本课评价贯穿教学全过程，体现“教、学、评”一致性。

1.过程性评价：

1.2.观察评价：教师观察学生在操作、讨论、汇报中的参与度、合作意识、思维条理性。

2.3.问答评价：通过关键问题的追问与回答，诊断学生对概念本质的理解程度（如相互依存关系、整数前提）。

3.4.任务单评价：通过探究任务单的完成情况，评估学生方法掌握与有序思考的能力。

5.形成性评价：

1.6.课堂练习的完成情况与即时反馈。

2.7.总结环节的思维导图或口头梳理，评价知识结构化水平。

8.延时性评价（作业设计）：

1.9.必做题：教材对应练习题，巩固基本概念与方法。

2.10.选做题：

1.3.11.找出60的所有因数。你发现了什么规律？（为后续学习公因数铺垫）

2.4.12.探索：为什么判断2、5的倍数只看个位？查阅资料或自己举例研究。（为下节课设疑）

3.5.13.数学日记：以“我眼中的因数与倍数”为题，写下自己的理解、疑惑或有趣的发现。

七、教学反思与特色说明

（一）预