2026高考数学复习（湘教版）培优课16 概率统计与数列、函数的综合问题

培优课16概率统计与数列、函数的综合问题

题型一概率、统计与数列的综合问题

典例。(2023•新课标I卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:

若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲

每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投

篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

⑵求第/次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X服从两点分布，且尸(X[=1)=1-尸(Xj=0)=%,曰，2,…,

nn

〃，则E(ZX尸Z处记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕

i=ii=i

求

解：(1)记“第，•次投篮的人是甲”为事件4,0第i次投篮的人是乙”为事件

Bi,

所以P(B2)=P(A$2)+P(BIB2)

=P(4I)P(B2阂)+尸(81)「(&四)

-0.5x(l-0.6)+0.5Ko.8-0.6.

(2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bj)=l-pi,则

P(4+i)=PQ4H+D+P(B,4+i)

=P(4)P(4+II4)+P(B,)P(4+I⑸)，

即必+i=0.6/>f+(l-0.8)x(l-pi)

=0.4“+0.2,

构造等比数列｛Pi+a,

设p.+i+A=|(pi+A),解得2=—,则p7+1T=|(P「J

又〃1七，所以I是首项为3,公比为知等比数列,

即沪，〃+⑨飞

⑶因为?=|x（|）+1,/=1,2,...»n,

所以当〃GN+时，&m+p2+...+p，+警转卜笥号

故瓜｝＞指［1一削I号

学生用书I第3o7页

・规律方法・

概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解

决此类问题的基本步骤为：

I.精准定性：即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是

建立递推关系的准则.

2.准确建模：即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题.

3.解决模型：也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列

的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.

对点练1.（2025•广东惠州模拟）为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校开学后,

食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学

每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择,已知他第一天选择米饭套餐的概率为

而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面

食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为最如此往复.

⑴求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

⑵记该同学第〃天选择米饭套餐的概率为Pn.

（i）证明：伍-|｝为等比数列；

（ii）证明：当〃22时，P“$.

解：（1）设出="第1天选择米饭套餐”，42="第2天选择米饭套餐”，

则用="第1天不选择米饭套餐”.

根据题意尸（公鸿,尸01）总根阳必足,P（4瓦）=1另.

由全概率公式，得尸。2）=P（4）P（42MI）+P（7I）P（?2瓦）=|x鸿

(2)证明：(i)设4=“第〃天选择米饭套餐”，则尸产尸⑷)，尸(鼠)=1-尸〃,

根据题意P(4+il4J=^尸(4+1凡)=1Vs7,

由全概率公式，得匕+尸尸(4+1)

=P(4JP(4+II4)+P(鼠)P(4+I凡)

三尸后(1名尸一尸石

因此人看一(心一|)・

因为自杀o,所以村-|｝是以《为首项，W为公比的等比数列.

当〃为大于1的奇数时,s抬陪丫磊

当〃为正偶数时，。行|合(f"令*

因此当心2时，PKj

14

题型二概率、统计与函数的综合问题

典例日(2021•新高考II卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设

一个这种微生物为第。代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2

代……该微生物每代繁趋的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个

微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=i)=p&=0,1,2,3).

(1)已知po=O.4,0=0.3,02=0.2,p3=0.1,求£(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于x的方程

po+pix+p2x2+pM=x的一个最小正实根，求证：当七(A)W1时，p=\,当仇¥)>1

时，P<1;

(3)根据你的理解说明⑵问结论的实际含义.

解:⑴由题意，P(X=0)=0.4,P(X=l)=0.3,

P(六2)=0.2,。(石3尸0.1.

所以X的分布列为

X0123

P0.40.30.20.1

所以E(曾=0x0.4+1x0.3+2x0.2+3x01=1.

(2)证明：记“丫尸夕^+P是+3T)x+po,

由题知，〃为.危尸0的实根，

由P0=l-p|-p2-p3,

得7(X)=P3(X3T)十〃2(/T)+p।(x-1)-(x-l)=(x-1)[〃M2+33+,2)工+夕3+02+pI-1].

记g(X)=PM2+(p3+p2*+p3+p2+piT,

则g(1尸3P3+2p2+piT=E(X)-1,

g(0)=P3+p2+p|-1=7?o<0.

当E(A)W1时,g⑴<0,

易知g(x)在(0,1)上单调递增，

所以当x£(o,I)时，g(x尸0无实根.

所以.危尸0在(0,1］上有且仅有一个实根，

即p=l,

所以当ECQW1时,p=\.

当戏¥)>1时，g(l)>0z又g(0)<0,g(x)的图象开口向上，

所以g(x尸0在(0,1)上有唯一实根p'£(0,1),

所以/⑴=0的最小正实根p=p'右(0,1),

所以当即0>1时，P<\.

⑶E(㈤W1,表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量

无法维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以〃=1.

表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可

以正向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.

学生用书I第荻页

典例§甲、乙两人进行象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制.已知在每局

比赛中，甲获胜的概率为p,0<p<l.

（1）设甲以3；1获胜的概率为/S）,求./S）的最大值；

⑵记（1）中/（〃）取得最大值时的〃为"0,以P0作为〃的值，用X表示甲、乙两人

比赛的局数，求X的分布列和均值E（X）.

解：（1）甲以3：1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，

所以/（p）=c,，p2・（l-p）•p=3p3-3p4,0<pvl,

则f（p）=9p2-12p3=3p2（3-4p）.

令/'（〃）>0，得0<P<3；

令得泞<1.

所以/g）在（0,上单调递增，在1）上单调递减，

所以当月时，加）取得最大值，为费.

⑵由⑴知p=p（）3，

由题意知X的所有可能取值为3,4,5.

则改=3尸（沪快锯

尸（X=4）=中长同心丫嗡喘嚏,

改=5尸牛（沪（沪*（沪（丁嘿备言，

所以¥的分布列为：

X345

八74527

P------------

16128128

则X的均值£«=3*a4乂舒5"粉粽.

・规律方法・

概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变

量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函

数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：

1.准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机

事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键.

2.注意变量的范围,一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.

对点练2.(2025•湖北高三四调)高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某

企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和

人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测

等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为1船葛人工检测仅对

504948

智能检测达标(即三项指标均达标)的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.

人工检测综合指标不达标的概率为MOgvi)•

⑴求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)人工检测抽检50个AI芯片,记恰有1个不达标的概率为小)，当p=po时J(p)

取得最大值，求po；

⑶若AI芯片的合格率不超过93%,则需对生产工序进行改良.以(2)中确定的po

作为P的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.

解：⑴记事件2'每个AI芯片智能检测不达标”,则P(A)=1-P(A)=1黑高.

(2)由题意危尸玛0双1049,

所以/'。尸50Kl7)49+px49(lT)48X(-01=50(17)48(1-50〃)，

令f'Br。,贝!

当0<P4时〃'⑼>0,/仍)为增函数；

当时，为减函数；

所以./(〃)在po得处取到最大值.

(3)记事件3="人工检测达标”，

则0团彳尸1磊，

一?47

又P(4)=l右F，

所以夕(而尸尸(Z)P⑶力胃乂等92.12%<93乳所以需要对生产工序进行改良.

DUOv

课时测评86概率统计与数列、函数的综合问题蠢焉

(时间：60分钟满分：100分)

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）

薮综合运用练

1.（17分）为落实立德楂人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育,

某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3

个不同校区，三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单

循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分

选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3；0或3；1取胜的队员积3分，失

败的队员积0分；以3；2取胜的队员积2分，失败的队员积1分.

⑴若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰好来自

不同校区的概率是多少?（7分）

⑵已知第10轮小李对抗小工，设每局比赛小李取胜的概率均为〃（0夕＜1）.

①!己小李以3取胜的概率为加）.若当片po时,/（p）取最大值，求po的值；

②若以①中po的值作为〃的值，这轮比赛小李所得积分为X,求X的分布列及

均值.（10分）

解：（1）比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率片曳喑避空.

（2）①由题可知,私户C第2（i~p）・p=3p3（l~p）,

r（p）=3[3p2（l-p）+p3x（-l）]=3p2（3-4p）,

令/'3）=0,得P弓或p=0（舍去），

当蚱（0,0时，/0）＞0,加）在&/上单调递增,

当〃£仁，1）时，/S）在（I1）上单调递减，

所以P°V

②*的所有可能取值为0,1,2,3,

尸（X=0）=（1-p）3+C；p（l-p）2，（17）

=（1-沪C杼⑴/（E）啜,

P（X=l）=C：p2（l-p）2，（l-p）

=卒（沪（卜沪（日啜,

P（X—2）=C：p2（l-p）2•p

小（沪（「沪鹏,

P（X=3）=p3+C,p2（l-p）・p

=G）3^X©2X（I4）3189

x-=——

4256

所以X的分布列为：

2.（17分）（2024•山东青岛模拟）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮

甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0

分；两人都答错，该团队得T分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为

32

4,5,

（1）记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望反㈤；（7分）

⑵假设该团队连续答题〃轮，各轮答题相互独立.记P”表示“没有出现连续三轮

每轮得1分”的概率，P产aPg+bP〃_2+cP*3（nN4）,求〃，b,c；并证明：答题

轮数越多（轮数不少于3）,出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.（10分）

解：（1）由题可知，X的取值为T,0,1,

P（X=-I）=（I4）X（I-|）=H，

P（X=。）岁（卜|）+（卜力代，

P（X=D=H4

故X的分布列如下：

%-101

151

P————-

12122

则E（X）=-1乂士他当心胃?

2'）1212212

34

（2）由题可知，Pi=\,尸2=1,P3=1~g）q,P4=i-3xg）=i|；

经分析可得：

若第〃轮没有得i分，则户产扔“；

若第〃轮得1分，且第〃T轮没有得1分，则PAPn-2；

4

若第〃轮得1分，且第〃T轮得1分，第〃-2轮没有得1分,则2*〃一3；

故中〃.2中〃4sz4）,故〃总h=^,

因为产〃=|尸〃-I号尸〃

故尸"1=!尸〃中〃吗尸”2,

故匕+「尸〃='尸〃中明#“2

=6（*1+/〃-2+/n-3）廿。，"吗一"2=£儿3<0,

故P,^\<Pn（n之4）,且pi=p2>p3>p4l

则。1=尸2>03>尸4>P5>...，

所以答题轮数越多（轮数不少于3）,出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.

⑥创新拓展练

3.（20分）（2025-广东茂名模拟）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈-马尔可夫得

名，其过程具备“无记忆”的性质，即第〃+1次状态的概率分布只跟第〃次的状

态有关，与第〃T,〃-2,〃-3,...次状态是“没有任何J关系的”.现有甲、乙两个

盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中

各任取一个球交换，重复进行〃SWN+）次操作后，记甲盒子中黑球个数为心,

甲盒中恰有1个黑球的概率为a〃,恰有2个黑球的概率为bn.

⑴求X的分布列；（4分）

（2）求数列｛斯｝的通项公式;（6分）

⑶求元的期望.（10分）

解：⑴由题可知，X的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知:

/（%=。）+转

P(XL1)与泠找,

P(X1=2)钥=|,

故X的分布列如下表:

012

252

p__

999

(2)由全概率公式可知:

P(M+i=l尸产(％=1)//*=1|M=1)+P(X〃=2)^(XHI=1|X,=2)+P(X,=0)^(XI+I=1|X

=0)

*x抖:x|)P(X“=1)+(|x1)P(X〃=2)+(1x|)P/=O)

守5(％产I)42P(X,=2)+|2P(X,=O),

即«n+1得"号1F"-b"),

所以。〃+1=〃总

所以。〃+1

又ai=P(X,=1)=|,

所以数列｛斯是以＜71专■为首项,

以f为公比的等比数列，

32

所以期«———

545

即斯等I

(3)由全概率公式可得:

P(Yr+i=2)=P(后=1)叭跖+1=2固产1)+PC¥>2)-P(X,+1=2|X；=2)+P(X,=O)-P(X,^=2\X„

=0)

=(|xJ,P(Xn=l)+gx1)-P(Xn=2)+0・P(Xn=0),即b向春*,

又a"V4O'

所以加8阍l+lbf],

所以ba14(­旷V匠渭(切.

O

又bi=P(X]=2)q

所以加卷o,

所以儿转(-沪0,

所以b"=H信)"，

所以E(Xn)=an+2bn^-0(l-an-bn)=an+2bn=1.

4.(20分)(2024•河北邯郸模拟)邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之

都”.为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成浩大

赛.比赛共设置〃道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答

题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为

各题回答正确与否相互之间没有影响.

⑴记答题结束时答题个数为X,当〃=3时，若E(0>1.75,求P的取值范围；(6

分)

(2)(i)记答题结束时答对个数为匕求E(K)；

(ii)当时，求使E⑺>4的〃的最小值.

参考数据：1g2=0.301,1g3=0.477.(14分)

解：⑴当〃=3时，根据题意，X可取1,2,3,

P(X=\)=\-p,P(X=2)=p[\-p),0(六3)=p2,

所以E(X)=\~p+2p(TT?)+3P2=p2+〃+i,

由E(A)=p2+p+>i.75,得p，，

又0<p<l,

所以产的取值范围是G，1).

(2)(i)P(Y=k)=pk(\~p),其中40,1,2,…，n-\,P(Y=n)=p\

所以y的数学期望为E(Y)=p(l-p)+2p\l-p)+...+(n-l)pn'(1-p)+npn=(1-p)[j)+2p2+

3p3+...+(n-\)pn']+npn,

设S“=p+2P2+3p3+...+(〃T।,

利用错位相减可得(1~P)Sn=p+p?+p3+…+炉

n

所以E(Y)=p+p2+p3+...+p〃r〃_])「〃+叩〃=p+p2+p3+._|^〃-D-]笛p+l.

另解：E(Y)=(p772)+(2p2~2p3)+(3p3-3/?4)+...+[(w-1Jp"1-(/i-1)pn]+npn

_n+1

=p+〃2+p3+...+”〃“―