数学思想与方法-【考前20天】中考数学冲刺复习练（含答案）

数学思想与方法-【考前20天】中考数学终极冲刺专题

一、选择题

1.已知2%+1=-2,则代数式2/+%—1的值为（）

A.-2B.0C.2D.4

2.构建几何图形解决代数问题是“数形结合''思想的重要性，在计算tan15。时，如图.在RSACB中，ZC=

AC1

90°,ZABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得ND=15。，所以匕1115。=而=汀豆=

（2+加工⑶=2一次.类比这种方法，计算tan22.5。的值为（)

1

A.V2+1B.V2-1C.V2D.

2

3.如图，在平面直角坐标系中，正△/1BC与正aBOE是以原点。为位似中心的位似图形，且面积比为1:9,

点4B,。均在x轴上，若点。的坐标为（2,遮），则点E的坐标为（）

C.(6,3⑸D.(8,3⑸

4.如图，长方形4BCO中，AB=10,4。=4,点P为边CD上一个动点,将△4PD沿4P折叠得至“△4PQ,点

。的对应点为Q,当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为（)

A.2B.2或8C.3D.3或2或

5.代数式J(4一x)2+49-Jx2+1的最大值是()

A.6B.4WC.2713D.不存在

6.将抛物线y=-/+2%+3中x轴上方的部分沿％轴翻折到x轴下方，图像的其余部分小变，得到的新图像

与直线y=x+zn有4个交点，则m的取值范围是（）

第1页

A.m<-5B.<m<—5

C.——<TH<—30.771>-3

二、填空题

7.我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的报九图一节中提出了“幻町’的概念.如图是一个二阶

幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则b-

8.如图，已知。。的半径为』，CD是平行于直径48的一条弦，P为48上的动点，则PC?+p/)2的最小值

9.在矩形48co中，AB=5,8c=10,点F在线段40上，且人产=3,则点P到矩形对角线所在直线

的距离是.

10.我们知道，一元二次方程x2=-l没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数

“i”，使其满足(即方程x2=-l有一个根为i).并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且

原有运算律和运算法则仍然成立，于是有P=i,i2=-l,i3=i2-i=(-1)・i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1,从而对于任

意正整数n,我们可以得到泗+l=i4n.i=n・i=i,同理可得i的』”,i4"+3=-i,ij那么

i+i2+i3+i44-...4-i20,5+i20,6+i2°,7的值为

11.如图，正方形ABC。的边长为4cm,E■为A8的中点，点P以2cm/s的速度从点8出发，沿8C-C。向点。运

动，同时点Q以lcm/s的速度从点E出发，沿向点C运动，当点P运动到点。时，P、Q两点同时停止

运动，若在运动过程中，当SA4PQ=2SABPQ时，BP的长度为.

A'B

EQ

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12.在菱形ABCD中，48=5,BC边上的高为4,则对角线AC的值是.

三、解答题

13.已知二次函数y=/+bx+c【卜c为常数)的图象经过点4(2,2),对称轴为直线％=1.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若此函数图象上有一点8(叫")到y轴的距离不大于2,求n的最大值与最小值之差；

(3)已知点P(2£-1,%),(?(3-£,丫2)在该二次函数的图象上且位于丫轴的两侧，若丫1＞力恒成立，求£的

取值范围.

14.问题呈现：如图1,在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A,B和C,D,AB和CD相交于点

P,求tanNBPD的值.

方法归纳：利用网格将线段CD平移到线段BE,连接AE,得到格点△ABE,且AE_LBE,则/BPD就

变换成RtAABE中的NABE.

问题解决：

(1)图1中tanZBPD的值为：

(2)如图2,在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A.B和C,D,AB与CD交于点P,求cos

NBPD的值；

思维拓展:

(3)如图3,AB1CD,垂足为B,且AB=4BC,BD=2BC,点E在AB上，且AE=BC,连接AD交

CE的延长线于点P,利用网格求sinZCPD.

15.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知''是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程

%-々=0,就可以利用该思维方式，设y=y,将原方程转化为：y2-y=0这个熟悉的关于y的一

元二次方程，解出y,再求x,这种方法又叫“换元法请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题.已知

(5x2y2+Zx+Zy=133

实数x,y满足x+y022「，求，+y2的值.

(+2xzyz=51

16.定义：在平面直角坐标系xOy中，若在函数图象W上存在一点M,绕原点顺时针旋转90。后的对应点N

(点N与M不重合)仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡

尔赛点”

(I)函数①y=2x,@y=1,③y=/,其中是“凡尔赛函数”的是；(填序号)

(2)若一次函数y=kx+2是“凡尔赛函数”，点P(m,?i)(m为整数)是这个函数的“凡尔赛点”，求k的

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值;

（3）若点/4（l,3）是二次函数y=a;v2十b；v十c（其中a,b,c为常数，c>b>a）的“凡尔赛点”，点B为

A的“后凡尔赛点”，山点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S,求S的取值范围.

四、实践探究题

17.综合与实践

问题情境：”综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1,AEDC=90°,

ZDFC=6O°,^ABC=90°,=45。）.保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点C以每秒5。的速

度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.各小组解决老师给出的问题，乂提出新的

数学问题，请你解决这些问题.

深入探究：

①老师提出，如图2,当力C转到与4CE的角平分线重合时，Z.ECB-/,DCA=15°,当4C在4OCE内部的

其他位置时，结论4EC8-4DCA=15。是否依然成立？请说明理由.

②劭学小组提出：若4c旋转至NOCE的外部，ZJ9s与NEC8是否还存在如上数量关系？若存在，请说明

理由：若不存在，请写出，OC4与ZEG?的数量关系，并说明理由.

拓展提升：

③智慧小组提出：若4C旋转到与射线CM重合时停止旋转.在旋转过程中，直线DE与直线4c是否存在平

行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

图1图2

18.

（1）【公式探索】

计算/+22+22=；224-324-62=;32+42+122=

（2）【公式建构】

根据上面的计算结果，请用含几5为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明.

（3）【迁移应用】

如图，已知在四边形AC80中，ZC=Z-ABD=90°,若AC=9cm,BC=10cm,BD=90cm,求△ABD

外接网的半径.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：・・・2x+l=-2,

2x2+x-l

=x(2x+l)-1

=-(2x+l)

=2.

故答案为：C.

【分析】将代数式的前两项提取公因式并将2x+l=-2代入，得到-（2x+l）并再次将2x+l=-2代入求值即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：作RIAABC,使NC=90。，ZABC=90°,ZABC=45°,延长CB到D,使BD=AB,

连接AD,

设AC=x,则BC=x,AB=V2x,CD=(l+&)%,

ACx

/.tan22.5°=tanZ.D===V2-1

CD~(l+>/2)x

故答案为：B.

【分析】延长CB到D,使BD=AB,连接AD,设AC=x,则BC=x,AB=V2x,CD=（l+&）x,再利

AC丫_

用正切的定义及计算方法求出亡即22.5。=tan^D=告=由法=a一1即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意可知：正△A8C与正ABOE是以原点。为位似中心的位似图形，且面积比为

1:9,

・・・正4ABC和正△BDE的相似比为1:3,

•・•点C的坐标为（2,、⑶，

・••点E的坐标为（2x3,75x3）,即（6,36）,

故答案为：C.

【分析】根据三角形的面积比是三角形相似比的平方，可得出三角形的相似比，再根据在平面直角坐标系

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中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-匕即可得

出结论.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・AB=10,点M是AB的中点，

AAM=iAB=5,

•・•四边形ABCD是矩形，

AZD=90°,AB〃CD,

.\ZDPA=ZPAM,

由折叠可得OP=QP，AQ=AD=4,LAQP=Z.D=90°,ZDPA=ZQPA,

AZQPA=ZPAM,

AAM=PM=5,

在RtAAQM中，QM=y/AM2-AQ2=3，

①当点P在CD的中点左侧时，

.\DP=PQ=PM-QM=2；②当点P在CD的中点右侧时，如图，

Q

・・・DP=PQ=PM+QM=8,

综上，DP的长为2或8.

故答案为：B.

【分析】由中点定义得AM=5,由矩形性质得ND=90。，AB〃CD,由二直线平行，内错角相等得

NDPA=NPAM,由折叠可得DP=QP,AQ=AD=4,ZAQP=ZD=90°,ZDPA=ZQPA,则NQPAtNPAM,

由等角对等边得AM=PM=5,在RMAQM中，利用勾股定理算出QM,然后分类讨论：①当点P在CD的

中点左侧时，DP=PQ=PM-QM=2；②当点P在CD的中点右侧时，DP=PQ=PM+QM=8,综上即可得出答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：J(4-X)2+49-=j(4-x)2+72-J(x-0)2+l2

即表示在x轴上取一点，到点A(0,1)和点B(4,7)的距离和最小，

作点B关于x轴的对称点Bi,然后连接ABi,则即为最小值，

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y

B

0\IX

\;

这时AC=4,BiC=7+l=8,

・"B]=JAC2+CBi2=V42+82=4V5»

故答案为：B.

【分析】根据J(4_X)2+49_"H的几何意义得出在x轴上取一点，到点A(0,1)和点B(4,7)的距离

和最小，然后作点B关于x轴的对称点B”然后连接ABi,然后根据勾股定理解题即可.

6.【答案】C

【解析】【解答］解：令y=0,得0=-X24-2%+3,解得=—1,刈=3,

••・抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0),

•••将抛物线y=-/+2x+3中x轴上方的部分沿%轴翻折到％轴下方，图像的其余部分不变,

••・新图象中当一1<%<3时，解析式为y=%2-2%-3,

当直线y=x+m经过(3,0)时，此时直线y=%+m与新函数的图象有3个交点,

把(3,0)代入直线y=x+m,解得m=-3,

直线y=x+7几再向下平移时，有4个交点,

当y=第2一2%一3与直线y=X+m有一个交点时，此时直线与新函数有3个交点，联立方程组得

{yJx2：：工3'整理得_3x_3_m=0,

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△=b2-4ac=214-4m=0,

解得m=一金，

综上所述：新图象与直线y=x+m有4个交点时;m的取值范围是一孕<加<-3,

故答案为：C.

【分析】先求出抛物线y=-/+2x+3与X轴的交点坐标，再根据抛物线y=-%2+2%+3中无轴上方的部

分沿1轴翻折到不轴下方，图像的其余部分不变，得到新的图象的解析式为y=产-2%-3(-1<x<3),

画出图象，结合图象即可求解m的双值范围.

7.【答案】3

【解析】【解答】解：由题意得,优壮壮”2号甘屋,

ll+2+b+4=a+3+c+5

.(b+c—a=5①

b—c—a=]②，

①+②得：2b-2a=6,

b-Q=3,

故答案为：3.

【分析】先根据题意，得到关于a,b的二元一次方程组，再利用整体思想求解.

8.【答案】6

【解析】【解答】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作0MJ.A8于M,过C作CN_LA8于

N,

设D的坐标是(m,几)，P的坐标是(x,0),

VCZ)||AB,

・・・由圆的对称性得到C的坐标是(一科几)，

.*.CN=DM=n,PM=m—x,PN=m+x,

/.PC2=PN24-CN2=(m+x)2+n2,PD2=PM2+DM2=(m-%)2+n2,

：.PC2+PD2=2x2+2(巾2+兀2),

2

**>m2+n2=OM2+DM2=OD2=(V3)=3,

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：,PC2+PD2=2x2+2(m2+n2)=2x2+6,

・•・当;v=0时，PC2十2。2有最小值6,

故答案为：6.

【分析】以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作DM14B于M,过C作CN14B于N,设

D(m,n),P(x,O),由圆的对称性得到C的坐标是(一皿几)，由点的坐标及平行线间的距离相等得CN=DM=

n,PM=m-%PN=m+x,由勾股定理表示出PC'PD2,m2+n2=(V3)2=3»从而得到PC?+PD2=

2/+6,进而结合偶数次基的非负性即可求出PC?+PM的最小值.

9.【答案】等或等

【解析】【解答】解：如图1,过点F作EF1BD于点E,

图1

•••四边形ABCD是矩形，

AZ-BAD=^ABC=Z.ADC=90°,AC=BD,AD=BC,AB=CD,

'：AB=5,BC=10,AF=3,

.••由勾股定理得4c=7AB2+BC?=V52+102=5，§，DF=7,

:.BD=AC=5V§,

乙FED=乙BAD=90°,乙EDF=Z-BDA,

DEFs卜DAB,

EF_DF

AB=BDf

EF7

‘丁"前

EF=等

如图2,过点F作FM14C于点M,

vAD=BC=10,AF=3,

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•••=/.ADC=90。，Z-FAM=LCAD,

AFMACD»

AF_FM

AAC=~CD'

3FM

二话二号

,375.

:.FrMA=

综上，点F到矩形对角线所在直线的距离是等或等.

故答案为：手或芈.

JJ

【分析】由题意可分两种情况：如图1,过点尸作EF180于点E,根据有两个角对应相等的两个三角形相似

可得ADEF"DAB,由相似三角形的对应边的比相等可得比例式第=需求解；如图2,过点尸作FM14c

/IDDU

于点M,同理可得△/1「例〜△4CD,由相似三角形的对应边的比相等可得比例式需=罂可求解.

10.【答案】i

【解析】【解答】解：尸=i,i2=-l,i3=i2-i=(-1)-i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1.

可以发现它们4个一循环，一个循环的和为0.

2017

■:-—=504...1.

4

i+i2+i3+i4+-+i2015+i2016+i2017=i.

故答案为：i.

【分析】根据题意得到4个一循环，一个循环的和为0,然后分组计算解答即可.

1L【答案】|或4

当0<tW2时，点Q在线段E8上，P在BC上，

•・・正方形48。。的边长为4皿，E为,48的中点,

：.AE=EB=2,

VEQ=3QR=2—t,

'•AQ=24-1；BP=23

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・•♦S"PQ=2sABPQ，

“仅xPB=2x/BQxPB,

：.AQ=2BQ,

2+t=2(2—£),

解得：£=等

如图所示，

当2VCW4时，点Q在线段BC上，P在CO上，

•；BQ=t-2,PC=2t-4,

.\PD=4-(2t-4)=8-2t,CQ=CB-BQ=4-(t-2)=6-t

〈S△力PQ=2sABPQ,即S正方形-厮如+S^ABQ+S^PCQ)=2S&BPQ

•**4x4—x4x(8—2t)+*x(2t—4)(6—t)+^x4x(t—2)j

=2x^x(t—2)x(2t—4),

解得」=4或y-2(舍去).

综上所述，t=|或4.

故答案为：;或4.

【分析】分"0<t<2"、“2V£W4”两种情况，分别根据S“PQ=2sABPQ分别列出方程求解.

12.【答案】2的或4强

【解析】【解答】解：如图，若AH在菱形ABCD内部，连接AC

•・•四边形ABCD是菱形

:.AB=BC=5cm

在RtA4。耳中，BH=>JAB2-AH2=3cm

/.CH=BC-BH=2,

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AC=yjAH2+HC2=2>/5

如图，若AH在菱形ABCD外部，连接AC,

•・,四边形ABCD是菱形

AB=BC=S

在RtA/lB〃中，BH=yjAB2-AH2=3

•••CH=BC+BH=8,

AC=y/AH2+CH2=4A/5

故答案为：2通或4V5.

【分析】分AH在菱形ABCD内部，若AH在菱形ABCD外部两种情况讨论,由勾股定理可求AC的长.

13•【答案】(1)解：因为对称轴为直线％=1,

所以设y=(x-l)2+k,

因为图象经过点4(2,2),所以2=(2-1/+鼠解得k=l,

所以二次函数的表达式为y=(x-I)2+1.

(2)解：因为点8至0轴的距离不大于2,所以一24m《2,

因为该函数二次项系数为1大于0,

所以当7n=1时，n有最小值1；当n=一2时，九取得最大值为10,

因为10-1=9,所以"的最大值与最小值之差为9.

(3)解：二次函数图象的对称轴为直线％=1,

①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，

所以解得：

1j—r>uz

因为、1>丫2恒成立，所以土竽匚<1，解得£V0,

所以£<0.

②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧,

所以g一解得：£>3,

因为丫1>丫2恒成立，所以左二男工>1，解得£>0,

所以t>3,

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综上所述，£的取值范围是£VO或£>3.

【解析】【分析】(1)将A(2,2)代入解析式，并利用对称粕解析式解答即可；

(2)由题意得-2&nW2,山于开口向上，那么当m=l时，n有最小值I：由于横坐标为-2的点到对称轴的距

离1-(-2)=3大于点A到对称轴的距离1,则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；

(3)①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，贝可:二：；：，由于山>丫2恒成立，所以止竽二,

1，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则｛:二:2燃，由于

y?恒成立，则2♦甘3T>]，再分别解不等式和不等式组即E.

14.【答案】解：(1)2；

(2)过点A作AE//CD,连接BE,由图2可知E点在格点上，且NAEB=90。，

由勾股定理可得：AE=Vl2+22=V5,AB=Vl2+32=V10,

AcosZBPD=coSZBAE=^=捻=急儒=密=条

(3)如图3构造网格，过点A作AN//PC,连接DN,由图可知N点在格点上，且NAND=90。,

由勾股定理可得：DN=Vl2+32=VTO,AD=722+42=2V5,

MCPDMNAD嚼=赛=熏耳号

【解析】【解答】解：(1)由勾股定理可得：AE=V224-22=2\[2,BE=Vl2+I2=V2»

VCD//BE,

.\tanZBPD=tanZABE=4^=婆=2；

BE42

故答案为：2.

【分析】(1)先利用勾股定理求出AE和BE的长，再利用正切的定义及计算方法分析求解即可;

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(2)过点A作AE//CD,连接BE,先利用勾股定理求出AE和AB的长，再利用余弦的定义及计算方法分

析求解即可；

(3)过点A作AN//PC,连接DN,先利用勾股定理求出DN和AD的长，再利用正弦的定义及计算方法分

析求解即可.

15.【答案】解：令xy=Q,x+y=b,则原方程组可化为：

¥+2?M3,整理得：俨2+2b=133①，

4+2Q2=51116a2+2b=408②

②-①得：11a2=275,

解得：a2=25，代入②可得：b=4,

...方程组的解为：R?或俨1T~5，

x2+y2=(x+y)?-2xy=b2-2a，

当a=5时，x2+y2=6,

当a=-5时，x24-y2=26,

因此x2+y2的值为6或26.

【解析】【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有x2y2和

x+y,因此可以令xy=a,x+y=/?,列出方程组，从而求出a,b的值，再求出%24-y2的值.

16.【答案】(1)③

(2)解：•・♦点P(m,n)是一次函数y=kx+2的“凡尔赛点”，P(m,n)的“后凡尔赛点”为(珥一m),

.(n=km-^-2

•'I-m=kn+2'

得机k2+2k+m+2=0；

当m=0时，k=-1；

当机*0时,

・・•关于k的一元二次方程ml+2k+m+2=。有实数根，

ZJ=22—4m(m4-2)>0,

解得一1-V2<m<-1+V2,

又•••)!］为整数，

/.m=-1或m=-2,

当m=-l时，k2-2k-1=0,解得自=1一四或七=1+鱼；

当m=一2时，2k2-2々=0解得的=0(舍去)，k2=1.

综上：k的值为T或1或1一&或1+V2.

(3)解：二•点A(l,3)是二次函数y=aM+bx+c(其中a,b,c为常数，

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・・・“后凡尔赛点”B的坐标为（3,—1）,

.(a+b+c-3

••(9Q+3b+c=-1

解得忆标,

••y=ax2+(—4a—2)x+3Q+5,令y=。得a/—(4。-2)x+3a+5=0,

(2+4a)2-4a(3a+5)

J

11

4(滔-5+1)

=2出一%.

令则CD=2VF』Ti,

9

\c>b>a9

•♦3Q+5>—4G—2>a,

解得-1<a<-g,

・，|<t<-1'

A2V3<CD<V39,

S=]CO•M—丫21=2CO.

A4V3<S<2V39.

【解析】【解答】解：解：（1）①设点（&,2a）在函数y=2%的图像上，点（3,2&）绕原点顺时针旋转90。后

的对应点为（2々）-%0）»则2x2x0=4x0=-x0,

即5%o=0,

解得：x0=0,

v2x0=0,—x0=0,

八点（%,2%n）与点（2%n，-%o）是同一个点，

故y=2x不是凡尔赛函数，

QQQQ3

②设点Qo塔）在函数y==的图像上，点（无（）仔）绕原点顺时针旋转90。后的对应点为仔,-&）,则m="。=

%0xx0飞而

一%0,

即2%=0,

解得：%o=0,

••・殉=0时，函数y=之无意义，

X

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故y=|不是凡尔赛函数，

③设点（工0，%（）2）在函数y=/的图像上，点（勺,％02）绕原点顺时针旋转90。后的对应点为（配?,—%。），则

（&2）2=劭4=一3

即X（）4+M=0,

解得：%o=。或%o=-1，

当为0=0时，点（%o，Xo2）为（0,0）,点（%2，-X。）为（0,0）,时同一个点，不符合，

当凶=一1时，点（死,m2）为点（%。2,一%0）为（1,1）,

（一1,1）绕原点顺时针旋转90。后的对应点为（1,1）,（1,1）在函数V=/上，

.•.y="是凡尔赛函数，

故答案为：③；

【分析】（1）根据“凡尔赛函数”的定义进行逐一判断即可求解：

（2）根据点P（m,〃）是是一次函数了=丘+2的“凡尔赛点”，。（人九）的“后凡尔赛点”为（",-冷，进行解答

即可求解；

（3）根据点41,3）是二次函数丁=。/+以+（7（其中a,b,c为常数，c>b>a）的“凡尔赛点”，解得

a,b的值，再代入y=ax24-（-4a-2）x+3Q+5,令y=0得关于x的方程a/+一（4。-2；x+3Q+5=

0,结合CD一色一!（2+4a/一料3a+5）即可求解.

17.【答案】解；/.EDC=90°,乙。EC=60。，^ABC=90°：^BAC=45°,

：.^ACB=45°,Z-ECD=30°,

当AC旋转至"CE的内部时，如图，与/ECB的数量关系是：^.ECB-^DCA=15°；

理由是：由旋转得:Z-ACE=5t,

.•・ZDC.4=30°-53Z.ECB=45°-53

^ECB-Z-DCA=(45°-5t)-(30°-5t)=15°；

②当A、B