初中数学三年公式定理（按知识点）

1.有理数的分类

（1）按数的“整分性”分类（2）按数的rE负性”分类

f正整数（正整数

正有理娄4

整数零1正分数

有理数•［负整数有理数•零

|负整数

分数负有理娄1负分数

负分数

2.绝对值

a（a>0）

绝对值的代数定义同=0（4=0）

一4（4<0）

3.图形的认识

直线、射线、线段之间的区别

直线射线线段

/________/

图形

ABABAB

表示

直线AB或直线1射线AB或射线1线段AB或线段1

方法

端点

0个1个2个

个数

延伸

向两边无限延伸向一边无限延伸不能延伸

方向

有关两点之间，线段最

两点确定i条直线无

性质短

4.整式乘法

（1）同底数耗的乘法：c/产”（m、n都是正整数）

（2）基的乘方：（4用）〃=amn（m、n都是正整数）

（3）积的乘方：（n是正整数）

（4）底数的推广：

（〃为偶数）

-a〃伍为奇数）

（a-6）"（〃为偶数）

②3—a)"=

一（4一〃）"（〃为奇数）

平方差公式:(Q+b)(Q—b)=a2—b2

（5）乘法公式:

完全平方公式:(Q±b)=M土2ab+b2

（6）平方差公式常见的变化形式:

①位1S变化：(-b4-a)(b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2

②符号变化：(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2

③系数变化：(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4.，-9y2

④指数变化:(m2+n2)(///2-w2)=(m2)2-(w2)2=w4-w4

⑤增项变化：m+b+c)m+力一c)=m+z>)2—c?=...

⑥增因式变化：

(-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[(-a)2-b2](a2-b2)=...

⑦连用公式变化：

(a+b)(a-b)(a2+Z>2)(a4+A4)=(a2-Z)2)(«2+Z>2)(«4+A4)=(tz4-Z>4)(t?4+Z>4)=o8-Z>8

(7)完全平方公式常见的变化形式：

①a2+b2={a+A)2—lab

@a2+b2=(a-b)2+2ab

③(4+b)?=(4-b)?+4ab

®(a-b)2=(Q+5)2-4ab

(§)(a+A)2+(a-A)2=2(a2+b2)

⑥(o+b)2-(a-b)2=4ab

®(t7+Z>+c)2=d»2+62+c2+2[6+26c+2ac

5.数据分析

平均数与方差公式

名称公式

■1.、

平均数x=—(x[+与+…+%)

n

/吗+X2W2+…+XnWr

加权平均数

Wj+w2+…+wt1

方差1=一[区-X)2+(X,-X)2+…+(为广X)2]

n

6.分式的运算

(1)分式的基本性质：①巴£=qSw0,cw0)

h-cb

4+CCl.

②----=—(bW0,cW0)

h-i-cb

a_a-a

③S。0)

-bbb-bb

(2)分式的乘法：——(A^(),6/^0)

bdbd

⑶分式的除法：=--=—(6^(),c^O)

hdhcbe

(4)分式的加减法：

①同分母;±£=色北SwO)

bbb

4日八m.a,。ad、bead±bc,.八、

②异分母：7±;=T7±77=-0z。0,0工0)

bdbdbdbd

⑸分式的乘方：(@)”=—(bW(),〃是正整数)

bbn

⑹同底数幕的除法：am=4而〃(4。0,他〃都是正整数)

(7)零指数第：a=l(a^O)

⑻负整指数累：4f二-^①工。,〃为正整数)

(9)解分式方程的一般步骤：

①去分母：在方程左右两边都乘以最简公分母，化为整式方程.

②解方程：解整式方程.

③验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果为零，则这个根是方程

的增根，必须舍去.

7.全等三角形

证明三角形全等的常见思路：

‘找夹角f"S

⑴已知两边：找直角一从

找第三边->SSS

一边为角的对边f找另一角->44S

(2)已知一边一角:找夹角的另一边fS/S

一边为角的邻边找夹边的另一方->4%

找边的对角f44S'

找夹边f4S4

(3)已知两角：

找其中一角的对边一>44$

8.等式与不等式的区别

等式的性质不等式的性质

对称性：若。=6,则反对称性：若。>6,则

传递性：若a=6,b=c,则。=c传递性：苦a>b、b>c,则a>c

性质1：若a=6,则Q±b=b±c性质1：若a>b,则〃士c>b±c

性质2：若a=b,则QC=6C；性质2：若a>b,c>(),则io6Gq>2

若a=b,。=0,则9=2cC

CC

性质3：若。>6,c<0.则

CC

9.一元一次方程与一元一次不等式的区别

一元一次方程一元一次不等式

①去分母①去分母

②去括号②去括号

③移项③移项

解法步骤④合并同类项④合并同类项

⑤系数化为1⑤系数化为1

在上面的步骤①和⑤中，如果乘的因数或除数是负

数，则不等号的方向要改变

解一元一次方程只有一个解一元一次不等式一般有无数多个解

10.一元一次不等式组解集的基本类型

不等式组

在同一数轴上的表示解集口诀

（设。＜6）

x<a同小

/〃//x<a

x<b——取小

075

x>a同大

[_1////>x>b

x>b取大

0ab

x>a

x<b__1______///1_>a<x<b大小、小大中间找

07b

大大、小小无处找

x<a

（无解）

x>b_J______\空集

07I

11.二次根式

（1）二次根式的性质

a(a>0)

①（历2=心20）

②=|n|=<0(n=0)

-a(a<0)

，万与（、/£『的区别与联系

公式意义字母a的取值范围运算结果联系

a可为任意实应

1ak当420时，

G=(Va)2

y[a•4aa>0a

(2)二次根式的乘法：y[a-y[b=4ab{a>0,6>0)

⑶二次根式的除法：替国之0,—

(4)商的算术平方根：口=5(〃之0,h>0)

12.解直角三角形

(1)常用的性质

①直角三角形中有一个是直角.

②直角三角形中两个锐角互余.

③直角三角形中，3d角所对的边等于斜边的一半.

④直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

222

⑤直角三角形勾股定理：a+b=c(。、6为直角边，。为斜边)

⑥角平分线性质：角平分线上的点到角两边的的距离相等

⑦角平分线的性质的逆定理：角内部到这个角的两边距离相等的点在角平

分线上

(2)判定直角三角形的方法：

①证明三角形中有一个角为直角.

②证明三角形中两个锐角互余.

③证明三角形三边满足勾股定理(]2+占2=02).

13.四边形

〃边形内角和公式：(〃-2)」80。

(1)多边形常用公式：

求正〃边形各内角度数<幺一2)」80。

(2)正方形、矩形、菱形和平行四边形的关系:

(3)四边形的性质和判定

图形定义判定

内边：对边平行且相等两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

两组对边分别平行的四

角，对角相等,邻角互补两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

边形叫做平行四边形

对角线：对角线互相平分一组对边平行且相等的四边形平行四边形.

对称性：中心对称图形对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行四边彩

区边：对边平行且相等

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

有一个角是直角的平行角।四个角都是直角

有三个角是直角的四边形是矩形.

四边形叫做矩形.对角线：对角线互相平分且相等

对角线相等的平行四边形是矩形.

对称性：既是中心对称图形，

也是轴对称图形

矩形

边，对边平行,四条边都相等

W角：对角相等，邻角互补有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

有一组锚边相等的平行

对角线：对角线互相垂直平分，四条边相等的四边形是菱形.

四边形叫做菱形

每一条对角线平分Tfl对角.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

对称性：既是中心对称图形，

更形也是轴对称图形

冈边：对边平行.四条边都相等

有一组邻边相等且有一个角是直角的平把四边

有一组锚边相等且有一M四个角都是直角

形是正方形.

个角是亶角的平行四边对角线：对角线互相垂直平分且相等，

有一角是直角的菱形是正方形.

形叫做正方形.每一条对角线平分一对角.

有一组邻边相等的矩形是正方形.

对称性：既是中心对称图形，

也♦柏对称图形

砌形

三边：两腰相等

两层相等的悌形叫做等

角：同一底上的两底角相等两腰相等的梯形是等展梯形.

对角线：对角线相等在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形.

对称性：轴对称图形

等腰悌形

14.一次函数

(1)一次函数的性质

k、力的符号函数图象图象的位置性质

图象过

b>0第一、二、三

象限

y随x增大而

k>0L

增大

图象过

b<0第一、三、四

象限

图象过

b>0第一、二、四

象限

y随x增大而

k<0

4i减小

y图象过

b<0第二、三、四

\0-象限

(2)待定系数法求函数解析式的一般步骤

①设出含有待定系数的函数解析式

②把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到关于待定系数

的方程或方程组；

③解方程或方程组，求出待定系数；

④将求得的待定系数得知带入解析式.

15.反比例函数

k

公式y=—（女工0）

X

k的符号k>0k<0

不

）1

图像

①万的取值范围是XW°,y①X的取值范围是xw0,y

的取值范围是丁0°.的取值范围是歹0°.

②函数图像的两个分支分别

②函数两个分支分别在第在第二、第四象限内，在每

性质一、第三象限内，在每个象限个象限内，y随x的增大而

内，y随x的增大而减小增大

反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心的对称图形.

它有两条对称轴，分别是直线歹=x和歹=-x,对称中

心是坐标原点（0,0）

过双曲线上任意一点引X轴

或/轴的垂线，垂线与坐标

原点所围成的图形面积为：V

k的几何C

意义

°sAOEF一2Ex

V_k

°OEFC—八

16.一元二次方程

(1)解一元二次方程的方法

理论依据：若〃•方=0,则。=0或5=0

①因式分解法,解法：化为(QX+HB+6/)=0的形式

解得：ax+h=0或ex+d=0

②直接开平方法[若Y="(Q-°)，则X=土8

2

[若(x-a)=b(b>0),则x-a=±4by即x=a±\[b

③配方法［理论依据：完全平方公式/±2ab+b?=(a±b)2

［解法:化为(X+〃7)2=77(77>0的形式

化为ar?+bx+c=0(a=0)的形式

④公式法Jn------

求根公式：X='士"——^^-(62-4t7c>0)

2a

(2)一元二次方程跟与系数的关系

h

韦达定理演+/=一「

<

C

芭・工2=一

a

重要变形：

22

①X：+X2=(X]4-x2)-2XjX2：

②-L+JL=%+b；

X]x2x1x2

③土+%—西+-2_（X1+-2）-2\]“2；

为x2x,x2中2

④（再一》2I=（占+工2f-4XJX2

⑤(用+左)=王々+%(》］+々)+%2；

⑥|$一即=｛（再FT=J（再+/）2-4%也

17.图形的相似

(1)线段的比

若@=£,贝必"=be

bd

若q=£,则q=2或g=£

①比例线段的性质bdcdha

若g=£，则2=4

bdac

廿4c,ia±bc±d

若一=一,则m=

hdhd

②黄金分割比：避二La0.618

2

18.相似三角形

(1)相似三角形的几种图形

⑵证明三角形相似的常见思路

①已知一角对应相等，可再找：

［另一角对应相等

1夹已知角的两边对应成比例

②已有两边对应成比例，可再找：

［这两边的夹角对应相等

［第三边的比值与前面两对边的比值相等

③若两个三角形式等腰三角形，可再找：

顶角对应相等

,一底角对应相等

一腰与底边对应成比例

④若两个三角形是直角三角形，可再找：

「一锐角对应相等

‘夹直角的两直角边对应成比例

⑶相似三角形的性质

,对应线段：对应高的比、对应中线的比上

相似三角形的性质周长：周长的比等于相似比

面积：面积的比等于相似比的平方

对应线段：对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比

相似多变形的性质周长：周长的比等于相似比

面积：面积的比等于相似比的平方

19.锐角三角函数

(1)特殊角的三角函数值

三角函数a30°45°60°

j_旦

正弦sina72

2T2

j_

余弦cosaV3V2

VV2

V3

正切tana1百

~T

.h

(2)坡度：1=-(力为坡面的铅垂高度，/为水平宽度)

(3)三角函数的关系

①同角三角函数之间的关系(二为锐角)

平方关系:sin2。+cos2a=1

,商数关系：lana=包里

cosa

②互为余角的三角函数关系

jsin«=cos(90°-dz)

[cosa=sin(900-a)

20.二次函数

(1)二次函数y=Q/+〃x+c(Q=0)的图像与性质

关系式一般式顶点式

解析式y=ax2+6x+c(aw0)y-a(x-Op+k(a00)

图像形状抛物线

开口方向当。＞0时，开口向上；当。＜0时，开口向下

(b4ac-b2y

顶点坐标伍，。

、2a4a/

b

对称轴x=---x=h

2a

V0|;:八

图像

a>0a<0

增a>对称釉左侧，即x＜__L或，y随X增大而减小；

减02a

性对称地右侧，即x>_2或3>力，y随X的增大而增大

2a

对称轴左侧，即x<_2或3V。，y随X增大而增大；

a<2a

0对称轴右侧，即x>_2或上>力，y随x的增大而减小

2a

当x=—2时，

a>2a

当X=力时，歹最小值二k

0_4ac-b2

“小值-4a

最

值当x=_2时，

a<2a当％=/?时一最大值必

04ac—b2

夕最大值-布

(2)二次函数图像特征与mb、c,々。之间的关系

字母字母的符号图像的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

ba、b同号对称轴再y轴左侧

a、b异号对称轴耳y轴右侧

c=0图象过原点

cc>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

tf~4ac=0与X轴有唯一交点(即顶点)

tf~4acti-4ac>0与X轴有两个不同的交点

ti-4ac<0与X轴无交点

(3)二次函数的图像平移规律

移动方向平移前解析式平移后解析式简记

向左平移

2j7=a(x-/74-/w)2左加

加个单位y=a(x-h)+%+k

向右平移

y=a(x-h)2+ky=a(x-h-my+k右减

加个单位

向上平移

y=〃(x-疗+ky=a(x-h^+k+m上加

加个单位