一次方程（组）及其应用-2026年中考数学重难点突破训练

专题2.1一次方程（组）及其应用一中考数学重难点突破训练

一、选择题（每题3分，共30分）

1.观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入。的个数为（）

图①图②

A.5个B.6个C.7个D.8个

2.某班级共有m位学生，现将n个枇杷作为午餐水果分发给学生.若每人发2个，则还剩10个；若

每人发3个，则还缺30个.有下列四个方程：

①2m+1O=3m-3O；（2）2m-10=3m+30；

③九+10_九-30.©九-1。_九+30

其中符合题意的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

3.如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端力点与时钟最低点B之间的竖直距离为3

厘米，如图①.3点50分时，分针尖端A点与时钟最低点8之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时

图①图②

A.10厘米B.13厘米C.15厘米D.（10+56）厘米

4.定义一种新运算“△”，其运算规则是Q0=零，已知（-1）△”本则X的值为（）

124

-C

A.4B.D.

5.我们知道二元一次方程组｛之二案晨的解是1："现给出另一个二元一次方程组

+1）-3（3y-1）=3,它的解是（）

E：2x+1）-4（3y-1）=5,匕“廨儿

x=-1x=-l,

A.2B.y=-l

(X=1,(X=1,

C.2D.］2

ly=3ly=-3

6.若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为二则这个方程可以是()

A.3x-4y=10B.4-2y=3C.x+3y=2D.2(x-y)=6y

7.我们探究发现，关于x,y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y

=7的正整数解有3组，…，那么关于x,y,z的方程x+2y+2z=15的正整数解有()

A.7组B.21组C.28组D.42组

8.如图是一个400米长的圆形跑道，从点0出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作+52米，逆时针

跑出60米的距离记作-60米.定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距；定义2：

若点M为跑道上48两点之间较短圆弧上一点，旦到48两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个

弧距的3倍，则称M为A,8两点的“友谊点”.已知跑道上两点48对应的有理数分别为-8。，40,根据

卜述定义，A,F两点的“友谊点'M在跑道上对应的有理数为］)

B.-40+400k或400k(k为任意整数)

C.-50或10

D.-50+400k或10+400A(k为任意整数)

9.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算

筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2,

图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.图1所示的算筹图用

我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是［丫上之二与，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨

水覆盖了，如果图所表示的方程组的解为;则被墨水所覆盖的图形为(

2)

IllII-MlIII-I

IIlli=111Illi□=T

图1图2

AIIIBIIIcIID

10.”某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A,B两种长方体形状的无盖纸盒.

现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问：能做成多少个A型盒?”下列结论

中，正确的个数是（）

①设A型盒个数为x,根据题意可得4%+3x专4=360.②设B型盒中正方形纸板的张数为

m,根据题意可得3乂g+4（120-m）=360.（^）人型盒有72个.@）8型盒中有正方形纸板48张.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每题3分，共18分）

11.若关于x,y的二元一次方程叁；泞J解也是方程3x-2y=8的解,则k的值为.

12.若关于x的方程+-久=1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为.

O

13.点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a,b满足二元一次方

程组\:仁?=4,则点Q关于y轴对称的点Q'的坐标为.

14.甲、乙两人同解关于X、y的方程组时，甲正确解得二名，乙因抄错c而得

则a+c=--------

15.你作为望城“雷小锋”，参加“学习I五五，奋进新征程“密室闯关.大门密码是一个三位数ABC（A,

B，C均为0〜9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：

望城未来五年主要预期目标为：

①地区生产总值年均增长5.5%〜6%；

②全社会研发经费投入年均增长8%；

③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%,居民收入增长与经济增长同步.

X、)，、Z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①人为.C最小值的整数部分；②“为)，的四分之

③C满足3A+38+C=z.请推理出大门密码.

16.衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家

法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.

例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.

命题：如果小b,c为实数,且满足公-c.那么2:1.

推理过程如下：

第一步：根据上述命题条件有a+b=-c,①

第二步：根据七年级学过的整式运算法则有

a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c；②

第三步：把②代入①，可得(2。田)+(2〃4)=(2c・c)；③

第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+/)+c)=(a+/，+c)；@

第九步：把④两边同时除以3+加。)，得2=1.(5)

请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则.

三、解答题(共10题，共72分)

17.解下列方程：

(1)-x-1=3-2x

5x-7

(2)

竿T|=To->

18.解方程(组):

(I)婴+3二手.

(2)L7+2x_工=_]

0.30.2>

⑶偿驾受

19.(1)在①x+y=10,②2x+y=16,③x=y+4中任选2个方程组成方程组，并解这个方程

组；

(2)先化简，再求值：(1-^=4)■=~~2~i，其中％=—4.

20.计算：(-6)x(|-B)-22.圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了.

(I)如果被污染的数字是抽请计算(-6)x67)-23.

(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.

21.解方程：吟拱5=与1.

22.阅读理解下面材料，并解决问题：

【材料阅读】

有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值.

如下面的问题：

问题：已知实数x,y同时满足3x-y=5①，和2x+3y=7②.求代数式7x+5y的值.

思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x,y的值后，再代入7x+5y求值

思路2：为降低运算量，由①+②x2,可直接得出7x+5y=19这样的解题思路即为整体思想.

（I）已知方程组。则x—y=；

（2）已知方程组的解满足％+y>0,则m的取值范围是______.

（3）若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记

本共需55兀，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少兀？

23.许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大

道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题.

信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：

小明出发时刻小明结束时刻小红出发时刻小红结束时刻

智能手表数据智能手表数据智能手表数据智能手表数据

时刻（7:00）时刻（7:20）时刻（7:00）时刻（a）

步数（690步）步数（4690步）步数（340步）步数（5340步）

心率（92次/分钟）心率（132次/分钟）心率（85次/分钟）心率（141次/分钟）

信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，

问题：

（I）起点与终点的距离为米；

（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红分钟.

24.【阅读材料】

养成健康饮水的习惯

索《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水''的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水

材1500ml〜1700ml,如果等到渴了再喝水，身体可能己经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水

1的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温

度在35℃〜40C.

如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度

为30℃,流速为25ml/s；开水的温度为100℃,流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损

失.

小贴土

素

接水过程不计热量损失,即：开水体积x开水的温度+温水的体积X温水的温度=混合后的体

材积X混合后的温度.

Z_、

2

0（。。100）0

X__________________Z

温水口开水

出水口

【问题解决】

（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有ml水；

（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：

①小康接水的时间一共用了15s,得到一杯350ml的水，求这杯水混合后的水温；

②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多

少秒？

25.综合与实践：

同学们在实践活动中用一批长为24cm,宽为15cm的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），

制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使

用.请根据活动完成相应的任务.

如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上

截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形

活动一

48co是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方

体包装盒.

任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积.

24

为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计

活动二成圆柱形.小明横着裁剪把长方形的长作为底面15

圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙.()

图⑵

任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（兀取3）,并判断容积是否变大.

26.根据素材，完成任务:

创意饰品的制作方案

素某工坊计划制作A,6两款创意饰品，已知A,8两款饰品都需要用到大、小两种珠子，

材且制作1个A饰品和1个B饰品共需要6颗大珠子和42颗小珠子.制作一个A饰品需

要的大小珠子数量比为1:6,制作一个B饰品需要为大小珠子数量比为1:8.

素

已知大珠子的售价是小珠子的2倍，该工坊花费320元购得大珠子的数量比花200元购

材

得小珠子的数量少80颗.

素

该工坊有600元预算，欲采购若干大小珠子，全部用来制作A,8饰品（材料无剩余，

材

且经费刚好用完）.

问题解决

任

务求制作一个A,B创意饰品分别需要大小珠子各多少颗；

任

务求大小珠子的单价；

任

务若A,B两款饰品都需要制作，且A饰品的数量最多，请设计满足需求的制作方案.

答案解析部分

专题2.1一次方程（组）及其应用一中考数学重难点突破训练

一、选择题（每题3分，共30分）

1.观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入。的个数为（）

图①图②

A.5个B.6个C.7个D.8个

【答案】B

【知识点】利用等式的性质将等式变形

【蟀析】【解答】解：设△的质量为x,□的质量为y,。的质量为z,

贝I」3y+2x=2y+3z,即y+2r=3z.

所以2y+4%=6z.

所以在图2天平的右盘中需放入6个。才能使其平衡.

故答案为：B.

【分析】设△的质量为x,□的质量为y,。的质量为z,根据图①天平平衡列出等式，然后整理可得

y+2x=3z,进而观察图②，在所得等式的两边乘以2即可得出结果.

2.某班级共有m位学生，现将n个枇杷作为午餐水果分发给学生.若每人发2个，则还剩10个；若

每人发3个，则还缺30个.有下列四个方程：

①2m+1O=3m-3O；②2m-10=3m+30；

③-+10_九-30⑷九-10_一+30

其中符合题意的是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】C

【知识点】列一元一次方程

【解析】【解答】解：根据题意，正确方程为①2m+10=3m-30和④呼=竽，

故选：C.

【分析】根据学生人数和枇杷数量的等量关系列方程即可.

3.如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端4点与时钟最低点B之间的竖直距离为3

厘米，如图①.3点50分时，分针尖端A点与时钟最低点8之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时

图①图②

A.10厘米B.13厘米C.15厘米D.(10+5百)厘米

【答案】B

【知识点】解一元一次方程；含30。角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方

程；钟面角

【解析】【解答】解：如图，连接。儿过点。作OfIOR,过点4作人「||。儿两线交于点G设04=丫厘

米，由题意得：/-AOC=LAOB-ABOC=4x30°-90°=30°,

•*«.4C=/厘米，

乙乙

•・•钟面显示为3点5()分时，分针尖端A点与时钟最低点B之间的竖直距离为18厘米，

・♦・半径为厘米，

•・•当钟面显示为3点30分时，分针尖端A点与时钟最低点8之间的竖直距离为3厘米，

・•.半径为(x+3)厘米，

x4-3=18—5X，解得％—10，

・•・半径为10+3=13(厘米).

故答案为：B.

【分析】

连接08,过点。作。C108,过点A作力CII08,两线交于点C,设。A=x厘米，利用角度的和差表示

出乙力。。=乙4。。一乙U。。，再根据30。角的性质得到AC在两个图中分别表示出半径，

根据半径相等，列出方程计算即可解答.

4.定义一种新运算其运算规则是QAb=嘤，已知(-1)7=全则X的值为()

A.1B.1C.2D.4

4

【答案】C

【知识点】解一元一次方程

【解析】【解答】解：由题意知(―1)△扉=二^,于是耳9=今

乙乙I

解得x=2；

故答案为：C.

【分析】由题意把(-：!)△x化为代数式，求解方程即可.

5.我们知道二元一次方程组｛,二案晨的解是卷二:现给出另一个二元一次方程组

(2(2x+1)-3(3y-1)=3,它的版息,)

(3(2%+1)-4(3y-1)=5,已的解714(

(X=­1,(X=­1,

rX-L

J

C)2

IV

K-3一

【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程(组)的同解问题

【解析】【解答】解：在二元一次方程组吃兴一源一:广;中，令[221=X,

(3(2%+1)-4(3y-1)=5(3y-1=Y

•・•二元一次方程组]2”-3y=3的解是卜=3,

3x-4y=5(y=1

.X=3

••I,

Y-l

.[2x-/-l=3

*[3y-l=l

解得：。二宏

故答案为：c.

I分析】在二元一次方程组匿M二溜二葭中，令|二震，则卷:"，根据二元

一次方程组2%—3yv—3的解是x—3，可得：2%—3，据此求出方程组的解即可.

3%-4y=5(y=l(3y-l=l

6.若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为［二则这个方程可以是()

A.3x-4y=10B.+2y=3C.x+3y=2D.2(x-y)=6y

【答案】A

【知识点】二元一次方程组的解

【解析】【解答】解：A.3x2-4x(-l)=10,A正确；

B.ix24-2x(—1)=—1>B错误；

C.2+3x(-l)=-l,C错误；

D.2x(2+1)=6,D错误

故答案为：A.

【分析】使二元一次方程组中两个方程都成立的一对未知数的值就是这个二元一次方程组的解，因此

只要将代入每个选项中的方程组检验是否成立即可。

7.我们探究发现，关于x,y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y

=7的正整数解有3组，…，那么关于x,y,z的方程x+2y+2z=15的正整数解有()

A.7组B.21组C.28组D.42组

【答案】B

【知识点】二元一次方程的解；探索规律•计数类规律

【释析】【解答】解：・・•关于x,y的方程x+2y=3的正整数解有I组

x+2y=5的正整数解有2组

x+2y=7的正整数解有3组

・•・对于方程，x+2y=2n+l,其正整数解为n组

V,x+2y+2z=15

/.x+2(y+z)=15

设k=y+z(k>2),则x=15-2k

・・・x,k为正整数

A15-2k>0,解得：k<7.5

，k的取值为：2,3,4,5,6,7

当k=2时，y+z=2,正整数解有1组

当k=3时，y+z=3,正整数解有2组

当k=4时，y+z=4,正整数解有3组

当k=5时，y+z=5,正整数解有4组

当k=6时，y+z=6,正整数解有5组

当k=7时,y+z=7,正整数解有6组

•••x+2y+2z=15的正整数解：1+2+3+4+5+6=21组

故答案为：B

［分析］根据题意，总结规律可得对于方程,x+2y=2n+l，其正整数解为n组，设k=y+z（kN2）,则x=15-2k,

根据x,k为正整数，可得k的取值为：2,3,4,5,6,7,再根据规律判断即可求出答案.

8.如图是一个400米长的圆形跑道，从点。出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作+52米，逆时针

跑出60米的距离记作-60米.定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距；定义2：

若点M为跑道上48两点之间较短圆弧上一点，且到48两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个

弧距的3倍，则称M为71,8两点的“友谊点”.已知跑道上两点48对应的有理数分别为-80,40,根据

上述定义，A,8两点的“友谊点，M在跑道上对应的有理数为］）

B.一40+400k或400k（k为任意整数）

C.-50或10

D.—50+400/c或10+400A（k为任意整数）

【答案】D

【知识点】一元一次方程的实际应用•行程问题

【解析】【解答】解：设M在跑道上对应的有理数为x,则

AM=x-(-8())=x+8(),BM=40-x,

根据定义，可得3AM=BM或AM=3BM,

可列方程为3(x+80)=40-x或x+80=3(40-x),

解得：x=-50或x=10,

由于M点可绕圆周顺时针或逆时针运动，

，x可加上任意n圈，

故M在跑道上对应的有理数为：-50+400k或IO+4OOk(k为任意整数)。

故答案为：D.

【分析】设M在跑道上对应的有理数为X,则AM=x+80,BM=40-x,根据定义可列方程3AM=BM

或AM=3BM,即可求解.

9.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程''一章里.，一次方程组是由算

筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2,

图中各行从左到右列出的算筹数分别表不未知数x,y的系数与相应的常数项.图1所取的算筹图用

我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨

vxI十y一乙3

水覆盖了，如果图2所表示的方程组的解为后;；则被墨水所覆盖的图形为()

inII-mlfn।-£

IIlli=111HII□=IT

\__________z\________________z

图1图2

AIIIdllcIID

【答案】c

【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题

【解析】【解答】解：由图可知，图形的前两列为方程的左边，后两列为方程的右边，表示i个数。

其中，"I”表示1,"表示10,竖线上的横线表示5,

・•・由图2,得到以下方程：

(2x+y=11

(4x+by=27

将“5代入可解得：

根据图形规律，可推出b=7代表的图形为“||”

故答案为：C.

【分析】观察图1和对应的方程组可知：“I”表示1,“・”表示10,竖线上的横线表示5,据此利用

图2可得到关于x、y的方程组，将x=5代入可求出对应的卜b的值.

10.“某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A,B两种长方体形状的无盖纸盒.

现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问：能做成多少个A型盒?”下列结论

中，正确的个数是（）

①设A型盒个数为x,根据题意可得4%+3X乌产=360.②设B型盒中正方形纸板的张数为

m,根据题意可得3乂号+4（120-租）=360^人型盒有72个.①8型盒中有正方形纸板48张.

InI

力型盒8型盒

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解：设A型盒子x,A型需要正方形纸板为4x个，B型的盒的个数为畔士，

即可列方程4%+3x吟4=360.故①正确；

设B型盒中正方形纸板的个数为m,则需要的B型盒子的长方形纸板数量为3x与，A型盒子的长方

形纸板为4（120-m）个，即可列方程

3x号+4（120-m）=360.故②正确;

解上述方程可得x=72,m=48,可得A型盒有72个，B型盒有正方形纸板48张.故③④正确；

故答案为：D.

【分析】根据各结论中设的未知量去表达长方形纸板的数量，列出方程并求解方程即可判断.

二、填空题（每题3分，共18分）

11.若关于x,y的二元一次方程组­y=泞j解也是方程肚-2y=8的解,则k的值为

【答案】1

【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题

2x—y=5k①

【解析】【解答】解:

x+y=k@

①+②得：3x=6k,

解得x=2k,

将尤=2k代入②，得y=—k,

又・.・3x-2y=8,

：・6k+2k=8,

,8k=8,

解得：k=1,

・・・k的值为1.

故答案为：1.

【分析】将k作为参数，利用加减消元法解方程组求得％=2k,y=-k,再根据方程解的定义将x、

y的值代入方程3x-2y=8,求解即可.

12.若关于x的方程噌:-的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为________.

O

【答案】31

【知识点】已知一元一次方程的解求参数

【解析“解答】解：由密_%=1得：

O

ax+4-8x=8.

•••解是正整数

.•"一8的值可能为1,2,4,

・宜的值可能为9,10,12.

・・・符合条件的所有整数a的和是:9+10+12=31.

故答案为：31.

【分析】先用含a的式子表示出原方程的解，再根据解为正整数，可求得a的值，则符合条件的所有

整数a的和可求.

13•点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a,b满足二元一次方

程组［:仁2=4,则点Q关于y轴对称的点Q'的坐标为_____________.

（一a+=­o,

【答案】（-5,-4）

【知识点】坐标与图形变化■对称；利用合并同类项、移项解一元一次方程；加减消元法解二元一次方程

组

【解析】【解答】解：3x+7=32-2x,

移项，合并同类项得：5%=25,

系数化为1得：％=5;

2a—b=4①

—ci+2b=-8（2）

①+②得：。+6=-4;

则Q（5，-4）,

那么点Q关于y轴对称点（Q'的坐标为（一5，一4）,

故答案为：（-5-4）.

【分析】结合已知条件分别求得x,a+匕的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答

案.

14.甲、乙两人同解关于x、y的方程组AR黑;《时，甲正确解得住二3；乙因抄错c而得

｛：,蠢2,则a+c=--------.

【答案】2

【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题；已知二元一次方程组的解求参数

【解析】【解答】解：将甲的解代入原方程组得

3a-2b=2,@

3c+14=8②

由②得c=-2

将乙的解代入第一个方程得

-2a+2b=2③

联立①③得方程组

3a-2b=2,®

-2a+2b=2@

解叱受

/.a+c=44-（-2）=2

故答案为：2.

【分析】根据甲的正确解可以求出c值，同时得到a、b之间的一个方程；根据乙的错解可以得到a、

b之间的另一个方程，联立得到关于a、b的二元一次方程组，解出a值就可以计算aic了。

15.你作为望城“雷小锋"，参加"学习十五五，奋进新征程''密室闯关.大门密码是一个三位数A8C(A,

B,。均为0〜9的整数)，密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：

望城未来五年主要预期目标为：

①地区生产总值年均增长5.5%〜6%；

②全社会研发经费投入年均增长8%;

③岛技术制造业增加值占规模工业增加值比重达26%,居民收入增长与经济增长同步.

X、)，、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为上最小值的整数部分；②8为,，的四分之

一；③C满足3A+38+C=z.请推理出大门密码.

【答案】525

【知识点】一元一次方程的其他应用；逻辑推理

【解析】【解答】解：根据题意，得％=5.5〜6,y=8,z=26,

TA为x最小值的整数部分；8为y的四分之一；C满足34+3B+C=z,

1

...4=5,8=广8=2,34+3B+C=26,

.•・3x5+3x2+C=26>

：.C=5,

・•・大门密码是525.

故答案为:525.

【分析】先根据题意得到％=5.5〜6,y=8,z=26,再结合题意依次求出48,C的值即可.

16.衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家

法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.

例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.

命题：如果mb,c为实数，且满足a+b=c.那么2二1.

推理过程如下,

第一步：根据上述命题条件有a+b=-c；①

第二步：根据七年级学过的整式运算法则有

a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c；②

第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2〃d)=-(2c・c)；③

第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+/)+c)=(a+/，+c)；④

第五步；把④两边同时除以3+〃+。)，得2=1.⑤

请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则.

【答案】五

【知识点】等式的基本性质

【解析】【解答】第五步出现错误，两边除以a+b+c时为考虑是否为零，

故答案为：五.

【分析】根据等式的基本性质”两边同时除以同一个不为零的数，结果仍相等“解答即可.

三、解答题(共10题，共72分)

17.解下列方程：

(1)—%—1=3-2%

(6,4x+2.5x-7

(2)I---"二』".

【答案】(1)ft?：-x-l=3-2x+

移项得：-x+2x=3+l

合并同类项得：x=4；

(2)解：去分母得：2(4x+2)-10=5x-7,

去括号得：8x+4-10=5x-7

移项得：8x-5x=-7-4+10,

合并同类项得：3x=-l,

系数化为1得：x=A

【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程

(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.

18.解方程(组):

(I)婴+3二手.

(2)L7+2x_工

0.30.2>

⑶匿"当

【答案】(1)解：3(3%-1)+18=1-5%

9%—34-18=1—5xl4x=-14x=-1

(2)解：2(17+20%)—30%=—6

34+40x-30%=-610%=-40x=-4

5x-A4y=2。①

（3）解:

2x*3y=1②

由①x2-②x5,得

8y-l5y=35,

解得y=-5,

把y=-5代入②，得

2x+3x(-5)=1,

解得x=8,

【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组

【解析】【分析】（1）去分母、去括号、合并同类项、系数化为1,即可得出答案;

（2）将方程左边的同时扩大10倍，再去分母、去括号、合并同类项、系数化为1,即可得出答案；

（3）利用加减消元法即可得出答案.

19.（1）在①K+y=10,②2x+y=16,③x=y+4中任选2个方程组成方程组，并解这个方程

组；

（2）先化简，再求值：（1-高）+导其中一

【答案】解：⑴选①②得］;二11;%

由②一①，得X=6，

把尤=6代入①，得6+y=10.解得y=4：

・•.原方程组的解是｛；：：；

x+y=10①

选①③得

,x=y+4@

将②代入①，得y+4+y=10,解得y=3,

把y=3代入②得x=7,

・,.原方程组的解是卮工；

2x+y=16①

选②③得

.%=y+4@

8

解-

将②代入①，得2(y+4)+y=16,=3

把y=靴入②得％=曾

C=20

••・原方程组的解是1I

x-1-2(x+l)(x-l)

(2)原式=

~x^l-(x-3)

X—3(%+1)(X—1)

―x—1x—3

=-x-1.

当尤=-4时，原式=-(-4)-1=3.

【知识点】分式的混合运算：分式的化简求值；代入消元法解二元一•次方程组；加减消元法解二元一次方

程组：分式的化简求值-直接代入

【解析】【分析】

(1)任意两两组上成方程组，根据加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，计算即可解答；

(2)根据分式的混合运算：先通分算括号里的减法，再算除法，因式分解后约分化简即可得-然

后代入求值.解答即可.

20.计算：(_6)x(|-・)-23.圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了.

(1)如果被污染的数字是何请计算(-6)x(1-；)一23.

(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.

【答案】⑴解：(-6)x(|)一2?

1

=(—6)x-^--8—1—8

o

=-9；

(2)解：设被污染的数字为x,

•・•计算结果等于6,

•,*〔-6)x偿-%)-2，=6,

解得：x=3,

・••被污染的数字是3.

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解•元一次方程

【解析】【分析】(1)根据有理数混合运算的顺序进行计算即可；

(2)设被污染的数字为x,根据题意得关于x的方程，解方程即可求解.

21.解方程：03.0.5=

【答案】解：原方程化为警5二容1

去分母得3(3x+5)=2(2x-l)

去括号得9x+15=4x-2

移项得9x-4x=-2-15

合并同类项得5x=-17

系数化为1得

【知识点】解含分数系数的一元一次方程

【解析】【分析】这是一道稍微复杂一点的一元一次方程，主要是等式左边的分式含有小数，只要利

用分式的基本性质将分母和分子同时扩大10倍就可以将其转化为不含小数的分式，从而按照正常的

求解步骤来解.

22.阅读理解下面材料，并解决问题：

【材料阅读】

有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值.

如下面的问题：

问题：已知实数x,y同时满足3x-y=5①，和2x+3y=7②.求代数式7x+5y的值.

思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x,y的值后，再代入7x+5y求值

思路2：为降低运算量，由①+②x2,可直接得出7x+5y=19这样的解题思路即为整体思想.

⑴已知方程组窗:转工,则.7=______;

I4人Ioy-o

(2)已知方程组件;既的解满足x+y>0,则m的取值范围是______.

(3)若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记

本共需55元，求购买1支铅笔、I块橡皮、3本日记本共需多少元？

【答案】(1)4

(2)m>-1

(3)解：设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元,

13x+5y+3z=33@

根据题意得

25x+9y+3z=55(2)

①x2-②得，x+y+3z=11.

答：购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需11元.

【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组的应用

3x+2y=7①

【解析】【解答】（1）解:

2x+3y=3②

①-②得：x-y=4,

故答案为：4；

3%+y=14-3nl①

(2)解:

1%+3y=1—m@

①+②得：4x+4y=24-2m.即％+y=

二人;二募的解满足、+y>。，

/.m>—1,

故答案为：m>—1：

【分析】（1）观察方程组中两个方程未知数的系数，由①-②直接可得％-y=4：

（2）观察方程组中两个方程未知数的系数，由①十②直接推出x+y=驾』，再由x+y>0得到

3>o,解不等式即可得到答案；

Zi

（3）设购买1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，根据“购买13支铅笔、5块橡皮、3本

日记本共需33元”列出方程13x+5y+3z=33,由“购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元”

列出方程25x+9y+3z=ll,联立两方程组成方程组，观察方程组中两个方程未知数的系数，然后用①-

②即可得到答案.

23.许多人选择晨跑作为锻炼身体的•种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大

道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题.

信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：

小明出发时刻小明结束时刻小红出发时刻小红结束时刻

智能手表数据智能手表数据智能手表数据智能手表数据

时亥1］（7:00）时刻（7:20）时刻（7:00）时刻（a）

步数（690步）步数（4690步）步数（340步）步数（5340步）

心率（92次/分钟）心率（132次/分钟）心率（85次/分钟）心率（141次/分钟）

信息二：小明每步比小红每步多跑0.2米，小明每分钟比小红多跑20步，

问题：

（1）起点与终点的距离为米；

（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红分钟.

【答案】（1〉4000

⑵V

【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题

【解析】【解答】解：（1）设小红每步跑%米，则小明每步跑a+0.2）米,

由题意得（4490-690）x（%+0.2）=（5340-340）%,

解得x=0.8,

，总路程为：5000%=5000x0.8=4000（米）；

故答案为：4000；

（2）・・,跑完全程小明的用时为20分钟,

.••小明每分钟跑：4000+20=200（步），

•・•小明每分钟比小红多跑20步，

・••小红每分钟跑:200-20=180（步），

，小红跑完全程的时间为：5000・180=等（分钟），

・・・小明要在终点处等小红的时间为：等-20=冬.

故答案为:等

【分析】（1）设小红每步跑x米，则小明每步跑（％+0.2）米，进而根据“小明从起点到终点跑了4000

步，小红从起点到终点跑了50C0步”即可列出一元一次方程，从而即可求解；

（2）先根据题