对称与旋转压轴-【考前20天】中考数学冲刺复习练（含答案）

对称与旋转压轴（费马点、将军饮马和婆罗摩笈多模型）-【考前20天】中考数学终

极冲刺专题

一、选择题

1.若锐角三角形48c内的点P满足乙4PB=/BPC=4GM=120°,则称点户为△4BC的费马点.如图，在4

48c中，AB=AC=®BC=如,则△48C的费马点P到48,。三点的距离之和为（）

A.4B.2C.2+2V3D.24-V3

2.如图，已知点。、E分别是等边△ABC中BC、A8边上的中点，AO=6,点尸是线段4。上的动点，则

4F+EF的最小值为（）

A.3B.6C.9D.3V3

3.已知点尸在△4BC内，且P4=P8=PC=3,延长AP,BP,CP,分别交边BC,CA,AB于点D,E,

F,那么焉+露+方的值为（）

A-IB-3C-SD-\

4.如图，在四边形ABCD中，ZBAD=110°,NB=/D=90。，点E,F分别是边BC,CD上的动点，连接

AE,AF,EF.当AAEF的周长最小时，ZAEF+ZAFE的度数是（）

A.100°B.120°C.140°D.160°

5.如图，直线八、%表示一条河的两岸，且，1〃,2,现要在这条河上建一座桥，使得村庄月经桥过河到村庄B

的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法止确的是（）

第1页

6.如图，在RtaABC中,ZC=90c,AC=3,BC=4,D,E,F|分别是AB,BC,AC边上的动点，则

DE+EF+FD的最小值为()

A.2.5B.3.5C.4.8D.6

二、填空题

7.如图，在中,ZC=90%zfi=30°,AB=6,点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=

贝IJP4+PO的最小值为

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知4(3,0),8(0,2),过点8作y轴的垂线人户为直线，上一动点，连接

P。，PA,贝UPO+PA的最小值为.

9.-1)2+1+7(X-5尸+4的最小值为.

10.如图，点A是四边形BCDE内的一点，连接AB,AC,AD,AE,己如AB=AE,AB1AE,

第2页

AD=AC,AD1AC,点M为BC的中点，贝lj畏=

11.如图，△ABC和△ADE为共顶点的等腰直角三角形，乙847=乙=90。,，点H是CD的中点，连

接AH交BE于点G,AH=3,则BE的长为.

12.如图，在△ABC中，ZBCA=15°,AC=2,BC=鱼,，在△ABC的内部有一点P,连接PA,PB,

PC,则PA+P8+百PC的最小值为.

B

三、解答题

13.如图，直线h：y=息％+b与x轴、y轴分别交于点4（-3,0）,8（0,3）,直线％：y=&%与直线相交于点

（I）求直线，1和L的表达式;

（2）求△BC。的面积；

（3）点M为y轴上的动点，连接MC.当M/+MC的值最小时，求点M的坐标.

14.已知ZkAOB和COD均为等腰直角三角形，ZAOB=4。00=90。.如图①，连接AD,BC,点H为

BC的中点，连接OH交AD于点F.

图①

第3页

(1)证明：OH且OH_LAD；

(2)将COD绕点、O旋转到图②、图③所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系?选择一个图形

并证明你的结论.

15.【问题提出】

(1)如图1,四边形4BCD是正方形，△4BE是等边三角形，M为对角线8。(不含B点)上任意一点，

将绕点B逆时针旋转60。得到8N,连接EN、AM,CM.若连接MN,则ABM/V的形状

是.

(2)如图2,在RtAABC中，LBAC=90°,AB+AC=10,求8C的最小值.

(3)【问题解决】如图3,某高新技术开发区有一个平行四边形的公园48CD,A8+8C=6千米，

AABC=60°,公园内有一个儿童游乐场E,分别从A、B、C向游乐场E修三条求三条路的长

度和(即4E+8E+CE)最小时，平行四边形公园4BC0的面积.

图1图2图3

第4页

（1）【问题提出】如图1,LAOB=45°,在乙4。8内部有一点P,M、N分别是。力、08tl的动点，分别

作点P关于边04。3的对称点Pi，匕，连接P1，与0A、03相交于M、N,则此时△尸MTV的周长最小，

且顺次连接O,Pi，P2后△。匕。2的形状是等腰直角三角形.理由如下：

•・•点P关于边。4、。3的对称点分别为Pi，P2,

；.0P=OPi=OP2，440P=440。1，乙BOP=^BOP2，PM=P]M,PN=P2N

：・CAPMN=PM+PN+MN=PiM+P2N+MN=2/2即4PMN周长的最小值为P』2

;4408=45°,・••乙P10P2=2（乙A。P+乙BOP）=90".△OP】P2是等腰直角三角形.

学以致用：若"108=30。，在NA0B内部有一点P,分别作点P美于边04、。8的对称点P1，W，顺次连

接0,P],。2，则4OPiPz的形状是三角形.

（2）【问题探究】如图2,在△4BC中，AB=AC,/B4C=30。，点D是BC的中点，若4D二人请用含

有h的代数式表示△48C的面积.（3）【问题解决】如图3,在四边形48co内有一点P,点P到顶点B的距

离为10,^ABC=60°,点M、N分别是48、8c边上的动点，“反次连接P、M、N,使△PM"在周长最小的

情况下，面积最大，问：是否存在使APMN在周长最小的条件卜，面积最大这种情况？若存在，请求出△

PMN的面积的最大值：若不存在，请说明理由.

17.问题探究

将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种

基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间

的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化.

问题提出：如图I,是边长为1的等边三角形，P为△//（?内部一点，连接P4、PB、PC,求P4+

PB+PC的最小值.

方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的次线（化星为

折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.

问题解决：如图2,将aBP力绕点8逆时针旋转60。至△BPW,连接PP\4C,记/。与交于点。，易知

BA'=BA=BC=l1A'BC=^ArBA+^ABC=120°.由BP'=BPjP'BP=60°,可知△P'BP为正三角

形，有PB=P'P.

故P4+PB+PC=P'4+P'P+PCNAC=H.因此，当/'、P\P、C共线时，PA+P6+PC有最小值

是V5.

学以致用:

第5页

（1）如图3,在AHBC中,（34（；=30。,48=4,以=3/为。43（?内部一点,连接04、PB、PC，则

PA+P8+PC的最小值是

（2）如图4,在△48C中，乙84c=45。,48=2或,C4=3,P为△4BC内部一点，连接P4、PB、PC,求

或PH+P8+PC的最小值.

18.如图，抛物线y=a/+人工+3（。装0）与％轴交于4B两点,与y轴交于点C.已知点力的坐标是（一1,0）,

备用图

（1）直接写出点8的坐标；

（2）在对称轴上找一点P,使P4+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值；

（3）第一象限内的抛物线.上有一动点M,过点M作MNJ.X轴，垂足为N,连接8c交MN于点Q.依题意补

全图形，当MQ+&CQ的值最大时，求点M的坐标.

（4）【问题情境】如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积

是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45。（如图2）,这时候就容易发现大正方形面积是小正

（5）【操作实践】如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关

系.小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形

内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

⑷⑷初⑷

图3图4

（6）【探究应用】如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中

ND4P存在最大值.若PE=8,PF=5,当ND4P最大时，求AD的长；

第6页

D

A

E

P7c

B

图5

(7)如图6,在中，4c=90。，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE,BD.看/lC+

CD=5,8C+CE=8,求AE+8。的最小值.

图6

第7页

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，过点A作ADJLBC于点D,作NDBP=NDCP=30。

则NAPB:NAPC=NBPC=120。，此时点P是^ABC的费马点

可知PB二PC,且费马点P在线段AD上

■:BC=收

•*BD=CD=』BC=噂

・••tan/OBP=皆=印

bU□

:・PD=1

APB=2PD=1

-,-AD=7AB2—BD?=1

•••PA+PB+PO4

故答案为：A

【分析】过点A作ADJ_BC于点D,作NDBP=NDCP=30。，ZAPB=ZAPC=ZBPC=120°,此时点P是

△ABC的费马点，可知PB=PC,且费马点P在线段AD上，根据含30。角的直角三角形性质可得8。=CO=

*BC=§，再根据锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值可得PC=4，则PB=2PD=1,根据勾股定理可得

PB,再根据边之间的关系即可求出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：连接CE•交力。于点孔连接8”,

•••BF=CF,BE=AE=鼻8=3,

第8页

:.BF+EF=CF+EF=CE,

此时。F+Z?”的值最小，最小值为CE,

CE=V62-32=3近,

二BF+EF的最小值为38，

故答案为：D.

【分析】根据“将军饮马”线段和最值问题，作轴对称求最短距离.结合等边三角形性质，连接CE交力。于•点

F,连接8凡此时8尸+E/的值最小，最小值为CE.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：由题可知点P是△ABC的费马点，

2焉I2

根据费马点的性质可得焉+品+东-(/+r+=-

3Xa3

故答案为：B.

【分析】先根据费马点的定义结合题意得到点P是△ABC的费马点，然后根据费马点的性质解题即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：作点A关于直线BC,CD的对称点A，和—连接A，A”，AC,

则44'=4=/.DAF,

VZABC=ZADC=90°,

・••点A,B,A'三点共线，点A,D,A”三点共线，

・•・NAEF=NA'+乙BAE=2匕4‘，乙AFE=44〃+^DAF=24力〃，ZAEF+ZAFE=

2ZA'+2NA"=2(ZA'+ZA"),

VZBAD=110°,

ZA'+次=180°-乙BAD=70',

.\ZAEF+ZAFE=140°.

故答案为：C.

【分析】作点A关于直线BC,CD的对称点A，和A”，连接AA",AC,即可得到点A,B,A，三点共线，点

A.D.人”二点共线，即可求出/A4/A”的值，进而根据二角形的外角可得/AEF+/AFE解题即可.

5.【答案】A

第9页

【解析】【解答】解：

方案一中将点A向上平移d单位得到A，，连接AD与h的交点M,再作MN_Lh得到桥的位置；由于

h//h,MN的长度固定为d,此时路径A-M-N-B的总长度等于AM+MN+NB；通过平移将问题转化为直

线距离最短，因此方案一的路径确实最短。

方案二直接连接AB与h的交点M,作MNJJi作为桥；此时路径为A-M-N-B,但AB并非平移后的直线路

径，当河岸间距固定时，仅以直线连接AB可能无法保证过桥后的路径最短；例如，当AB与河岸不垂直

时，该路径可能非最优.

故答案为：A.

【分析】分析方案一通过平移将问题转化为点到点的直线距离，确保路径最短；而方案二未考虑河岸间距

的平移效应，可能导致路径非最优；因此，只有方案一可行，即可解答.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：如图1,分别作点E关于AB、AC的对称点E：E",连接DE；FE",

由轴对称的性质可得0E=0E',EF=E"F,

如图2,当点E、F与点C重合时，DE+EF+FD有最小值,

图2

此时DE+EF+FD=CE',

•••乙ACB=90%AC=3,8c=4,

AB=yJAC2+BC2=5,

第10页

•.,点C、E关于AB对称,

:.CE'=2CD,CDLAB，

「八AC-BC12

•••8=^-二亏,

24

CEr=2CD=学

DE+EF+FD=CEf=4.8.

故答案为：C.

【分析】本题土要考查“将军饮马”模型求线段和最值问题的应用，先分别作点E关于AB、AC的对称点已、

E",可知DE+EF+FD=DE，+EF+FE"，当点E\D、F、E”四点共线时，DE+EF+FD有最小值，而点E、D、F

都是动点，故当E、F与点C重合时，DE+EF+FD的长度值最小，即DE+EF+FD=CE,再通过等面积法求得

直角三角形斜边上的高线CD的长度，接着利用轴对称的性质计算得DE+EF+FD的最小值.

7.【答案】2V7

【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线BC的对称点连接力’0,当点/、P、D三点共线时，即力力

为PA+PO的最小值；

Af

i

=^AB,AB=6

2

^AD=^AB=4

VzC=90°,乙B=30°,AB=6,

•'-ACAB=3

•・•点A关于直线BC的对称点为《

••AC=AC=3，

过D作。E14c于E,则DE||BC,

：.^ADE=28=30°,

••AE=*40=2,DE=AD2—AE2=2\[3

在&"EO中，AE=2AC-AE=4^

-AD=>JAE2+DE2=J2+(2仃1=2夕，

第11页

•••PA+PO的最小值为2位.

故答案为：2夕.

【分析】

根据将军饮马模型，作点A关于直线BC的对称点/，连接/小当点，、P、D三点共线时，P4+P0的最

小值为40,利用已知数据求得AD.4‘C=4C的值；作OEJLAC于E,利用含30度角的直角三角形的性质

和勾股定理求得DE,/b的长度，即可得到最小值.

8.【答案】5

【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线1的对称点A，点，连接OA•交1于点P,再连接FA,

・・・PA=P'A',

.*.P'O+P'A=P'O+P'A'=OA',即当点P运动到P点位置时，OP+PA的值最小为OA

根据两点之间线段最短可得OP+PA的最小值为06,

•・•过点B(0,2)作y轴的垂线1,点A(3,0)与点A，关于直线1对称，

.*.A'(3.4),

.\OA'=V32+42=5，即PO+PA的最小值为5.

故答案为：5.

【分析】作点A关于直线1的对称点A，点，连接06交1于点P：再连接PA,由轴对称的性质可得

P'O+P,A=P,O+P'A'=OA',即当点P运动到P点位置时，OP+PA的值最小，根据轴对称点的坐标特点找出点A，

的坐标，进而根据平面直角坐标系口任意两点间的距离公式计算出OA，即可.

9.【答案】5

【解析】【解答】解：由两点间距离公式可将-1尸+1看作点(x,0)和点(1,1)两点间的距离，将

—5)2+4看作点(x,0)和点(5,2)两点间的距离，

建立如解图坐标系，设点A(l,1),B(5,2),作点A关于x轴的对称点A，,

第12页

则一1)2+1+d(x一5)2+4的最小值即为A，B的长(同侧两点求线段和最小值),

过A，作AD平行x轴，过B作DD平行y轴，两直线相交于点D,

AD(5,-1),

VA'B=〃52+BD?="77=5,：.J(x-I/+1+一5)2+4的最小值为5.故答案为:5.

【分析】根据两点间距离公式可得点(x,())与点(1,1)、(5,2)的距离和，然后建立坐标系，过A，作A'D平

行x轴，过B作BD平行y轴，两直线相交于点D,根据勾股定理解题即可.

10.【答案】|

【解析】【解答】解：延长AM至N,使=连接BN,

•・,点M为BC的中点，

.•.CM=BM,

在△4MC和ANMB中,

(AM=MN

乙AMC=4NM8，

(CM=BM

=△NMB(SAS\

AC=BN,4：=乙NBM,

AD=AC,AD=BN,

VAB1AE,AD1AC,

AZEAB=ZDAC=90°,

.\ZEAD+ZBAC=180°,

・•・ZABN=ZABC+ZNBM=ZABC+ZC=1800-ZBAC=ZEAD,

在^EAD和^ABN中，

(AE=AB

\z-EAD=z.ABN>,

(AD=BN

；・△EAD^AABN(SAS),

ADE=AN=2AM.

.AM_1

,,DF=r

第13页

故答案为：1

【分析】延长AM至N,使MN=AM,连接BN,证明△AMC三ANMB(SA5),,推出AC=BN,ZC=

△N8M,求出Z.EAD=乙48N,再证明△EAO三△ABN(SAS),根据全等三角形的性质求解即可.

11.【答案】6

【解析】【解答】解：△ABC和△ADE为共顶点的等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90%

AAB=AC,AD=AE.

如图，过点C作CP〃AD,交AH的延长线于点P,M为PC延长线上一点.

YCP/AD,

:.ZHAD=ZHPC.

XVH为DC的中点,

:.DH=CH.

■:ZDHA=ZCHP,

；・△ADH^APCH(AAS),

.\AH=PH=3,

AAP=6,CP=AD.

XVAD=AE,

.\AE=CP.

VCP^AD,

:.ZACM=ZDAC.

*/ZBAE=ZBAC+ZDAE-ZDAC=1800-ZDAC,ZACP=I8O°-ZACM,

・•・ZBAE=ZACP.VAB=AC,

・•・△ABE^ACAP(SAS),

・・・BE=AP=6.

故答案为：6.

【分析】过点C作CP〃AD,交AH的延长线于点P,M为PC延长线上一点.得到△ADHgAPCH,即

可得到AH=PH=3,然后再根据SAS证明△ABE^ACAP解题即可.

12.【答案】V10

【解析】【解答】解：如解图，将APAC绕点C逆时针旋转120。得到APAC连接PP和AB,则△PCP是

第14页

顶角为120。的等腰三角形,

，PP'=8PC,PA+PB+V3PC=P'A+P8+PP'>A'B,

・••当B,P,P,A，四点共线时，取得最小值，即为AB的长(“费马点”模型)，

过点A作AD1BC交BC延长线于点D,

•・・NBCA'=120°+15°=135°,

・•・NDCA'=180°-135°=45°.

VA'C=AC=2,在RtACDA'中，CD=DA'=孝AC=BD=BC+CD=2或,在RsBDA'中，AB=

y/BD2+AD2=<10,

PA+PB+百PC的最小值为JIU.

故答案为：

【分析】将APAC绕点C逆时针旋转120。得到△PAC,连接PP'和A'B,则△PCP是顶角为12()。的等腰

三角形，即可得到PA+P8+8PC=P'A+尸8+。。'》4'8,当民P,P',A，四点共线时，视得最小值，即

为A'B的长，然后利用勾股定理求出A'B即可.

13.【答案】(1)解：将做一3,0),8(0,3)代入卬y=ki%+b,得「我甘二。，

ID—3

解得:｛，=:,

(6=3

，直线，1的表达式为A：y=x+3,

•・,直线%：y=七%与直线。相交于点C(一九)，

・••当"=一|时,有y=T+3=W，

39

cfz

(-4-4-代入/2：、=七％,得看=一?2,

\T4-

解得：k2=-3,

・•・直线％的表达式为，2：>=-3%；

(2)解：・・・8(0,3),

・•・△8co的面积为:x3x^=1；

(3)解：如图，作点4(一3,0)关于y轴的对称点4(3,0)，连接交y轴于点

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・•・当点M与点。重合时，MC+M4的值最小,

设直线C4的表达式为y=ax+c（aH0）,

(9_3°

把。（-就），/(3,0)代入表达式，得4=-4°+’

0=3Q+c

；・直线CA的表达式为y=—qX+q,

当％=o时，y="，

・••当MA+MC的值最小时，点M的坐标是

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线A的表达式，从而求出点C的坐标，进而求出&的表达式；

（2）结合点B,C的坐标，直接利用三角形面积公式进行计算即可；

（3）作点皿一3,0）关于y轴的对称点/（3,0），连接C4交y轴于点0,根据轴对称的性质得K4+MC=M4+

MC>ArC,可知当点M与点。重合时，MC+M/4的值最小，然后利用待定系数法求山A,C的解析式，进一步求

出点M的坐标.

14.【答案】（1）证明：△AOBCOD均为等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,

.\OA=OB,OC=OD.

在AOD与RtABOC中，

OA=OB^AOD=乙BOC,OD=OC

/.R（AAOD^RIABOQSAS）,

AZOAD=ZOBC,AD=BC.

•・•点H为BC的中点，

・•・ZHOB=ZOBH=ZOAD.

又：ZOAD+ZADO=90°,

.\ZADO+ZHOB=90°,AZOFD=90°,

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AOH_AD；

（2）解：OH=^AD,OH1AD.

选择题图②，证明如下：如解图①，延长OH到点E,使得HE=OH,连接BE.

.\BH=CH,

易证△BEH^ACOH(SAS),

.\BE=CO,ZEBC=ZBCO,

/.ZOBE=NEBC+ZOBC=ZBCO+ZOBC=180。-ZBOC.

VZAOB=ZCOD=90°,

ZA0D=ZAOB+ZCOD-ZBOC=I80°-ZBOC=ZOBE.

XVOB=OA,BE=OC=OD,

・•・△BEO^AODA(SAS),

11

--

OF22

由^BEO^AODA知NEOB=NDAO,

・•・ZDAO+ZAOH=ZEOB+ZAOH=90°,

AOH_AD.

选择题图③，证明如下：

如解图②，延长OH到点E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于点G.

图②

•・•点H是BC的中点,ABH=CH,易证△BEH之△COH(SAS),

/.RE=CO./FRC=/RCO.

.,.ZOBE=ZEBC+ZOBC=ZBCO+ZOBC=18()°-ZBOC.

第17页

VZAOB=ZCOD=90°,

・•・ZAOD=180°-ZBOC=ZODE.

又,.,OB=OA,BE=OC=OD,

.*.△BEO^AODA(SAS),.\OE=AD,

由^BEO^AODA知NEOB=/DAO,

・•・ZDAO+ZAOG=ZEOB+ZAOG=90°,

AZAGO=90°,.\OH1AD.

【解析】【分析】(1)先根据SAS证明RtAAOD^RtABOC,即可得到/OAD=NOBC,AD=BC.然后根据等

边对等角得到/HOB=NOBH=NOAD.即可得到/OFD=90。，解题即可；

(2)选择题图②，延长OH到点E,使得HE=OH,连接BE.可得△BEHgZMZOH(SAS),即可得到

BE二CO,ZEBC=ZBCO,然后证明△BEO0AODA,△BEO丝Z^ODA解题即可；选择题图③，延长OH

到点E,使得HE=OH,连接BE,延长EO交AD于点G.证明ABEHgZXCOH,即可得至ljBE=CO,

ZEBC=ZBCO,然后证明△BEOgZ\ODA(SAS),△BEO@Z\ODA解答即可.

15•【答案】(1)等边三角形

(2)解：设AB=a,

VAB+AC=10,

AAC=10-AB=10-a,

在RSABC中，根据勾股定理得,

BC2=AB2+AC2=a2+(10-a)2

=2a2-20a+100

=2(a-5)2+50,

V(a-5)2>0,

Z.2(a-5)2+50>50,B|JBC2>50,

:・BC>5VL

即BC的最小值为5鱼.

(3)解：如图3,

将^ABE绕点B逆时针旋转60°SUABE,

第18页

/.△ABE咨△ABF,

.*.ZA'E'D=ZAED,AD=A'D,A'E'=AE,DE'=DE,ZEDE=60°,

•••△EBE为等边三角形，

.*.ZBE'E=ZBEE'=60°,EE'=BE,

・•・AE+BE+CE=A'E+EE'+CE,

要AE+BE+CE最小，即点A\E,,E,C在同一条线上，即最小值为AC

过点AY乍AFJLCB,交CB的长线于F,

在RtAA'FB中，ZA'BF=180°-ZABA-ZABC=60°

设BF=x,则A'B=2x,

根据勾股定理行，A'F=

VAB=A'B.

AB=2x,

VAB+BC=6,

:.BC=6-AB=6-2x,

ACF=BF+BC=6-x

在RQAFC中，根据勾股定理得，

4c2=ArF2+CF2=3x24-(6-x)2=4(%-1)2+27,

，当x=|,即AB=2x=3时,AC最小，

此时，BC=6-3=3,4F=A/3X=孥，

・••平行四边形公园ABCD的面积为3x孽=当3(平方千米)

【解析】【解答］解：(l)4BMN的形状是等边三角形，理由如下：

图1

由旋转知，BN=BM,ZMBN=60°,

・•.△BMN为等边三角形

故答案为：等边三角形.

第19页

【分析】】(1)由旋转得BN=BM,ZMBN=60°,可判断出△BMN是等边三角形即可；

⑵设AB=a,贝ijAC=10-a,进而根据勾股定理得出BC，=2(a-5)，+50即可得出结论：

⑶先判断出点E,E,C在同一条线上，设BF=x,进而依次得出AB=2x,BC=6-2x,CF=6-x,再利用勾

股定理得出=4(%-|)2+27,得出％=9是A'C最小，进而求出AF,BC,利用平行四边形面积公式计

算即可.

16.【答案】(1)等边

(2)解:(2)VAB=AC,ZBAC=30°,点D是BC的中点，

Z.AD_BC,ZBAD=ZCAD=15°,BD=CD,

作AB的垂直平分线，交AD于点E,连接BE,

A

贝I」：EB=EA,ZABE=ZBAD=15°,

・•・ZBED=ZABE+ZBAE=30°,

；・BE=2BD,DE=>JBE2-BD2=6BD，

，AE=BE=2BD,

A/ID-/IE+OE—（2+8）BD一ii，

・・・8O=T^=（2-⑹儿

,Sf%=；BC・AD=BD-AD=@-V3)/i2.

(3)存在；理由如下:

如图，以点B为圆心，BP为半径通圆，分别作点P关于AB,BC的对称点G,H,则点G,H在。B上,

连接GH,分别交AB,BC于点M,N,此时△PMN的周长最小.

.\BP=BG=BH=10,ZGBM=ZPBM,ZHBN=ZPBN,

第20页

VZPBM+ZPBN=60°,

.,.ZGDII=120°,HDG=DII,

.\ZBGH=ZBHG=30°,

过点B作BO_LGH于O,

ABO=5,HO=GO=5vL

:・GH=10百，

,♦SABGH=2GHxBO=25V5，

,/S四边杉BMPN=SABGM+SABNH=SABGH-SABMN»

SABGH为定值，

...SABMN最小时,S四边形BMPN的值最大,此时APMN的面积最大,

过点P作PO1MN于点Q,贝"四边形BMPN=^MN（8。+P。）＜；MN♦BP,

・••当MN_LBP时，即O点与点Q重合时,S四边形BMPN的值最大,

AA

,'•PG=PH，

.\ZPBG=ZPBH,

・・・NGBP=NHBP=60°,

AZGBM=ZPBM=30°,ZPBN=ZHBN=30°,

.\ZPBM=ZPBN=30°,

.*.△BMO^ABNO（ASA）

ABM=BN,

此时ABNIN是等边三角形，

ABM=MN=BN,

•・•ZBGM=ZGBM=ZBHG=ZHBN=30°,

・・・GM;BM,BN=HN,

；・GM=MN=NH=i^，

・•・△PMN的最大值=S4BGH-2s"MN=2s6-2x4x竿乂5=岸

【解析】【解答］解：（1）・・•点P关于边OA、OB的对称点分别为Pi,P2,

第21页

ZAOP+ZBOP=ZAOB=30°,

・•・ZAOPi+ZBOP2=ZAOB=30°,

.,.ZPIOP2=2ZAOB=60°,

r.0Pi=0P2,

・••△OP|P2为等边三角形；

故答案为：等边.

【分析】】(1)根据对称性，得至ljOP=OP尸OP2,ZAOP=ZAOPi,NBOP=NBOP2,进而得到答案；

(2)作AB的垂直平分线，交AD于点E,连接BE,根据中垂线的性质，得到EB二EA,

ZABE=ZBAD=15°,推出△BDE是含30。的直角三角形，用BD分别表示出BE,DE,再利AD二AE+DE,

求出BD,进而求出△ABC的面积；

(3)如图，作点P关于AB的对称点G,作点P关于BC的对称点H,连接GH,交AB,BC于点M,N,此

时^PMN的周氏最小，可以求出SMGH=25V3,由S四边形BMPN=S^BGM+SABNH=SABGH-SABMN推出SABMN最小

时，Sw边形BMPN的值最大,此时△PMN的面积最大,进行求解即可.

17.【答案】(I)5

(2)解：将△APB绕点A逆时针旋转90。得到△AFE,

・・・AF=AP,NFAP=NBAE=90。，

・•・△AFP是等腰直角三角形，

.\ZEAB=135°

作EH1BA交BA的延长线于H,

在RSEAH中，

ZH=90°,ZEAH=45°,AE=AB=2夜,

第22页

/.EH=AH=2,

在RtAEHC中，EC=V22+52=、底,

VV2P.4+PB+PC=FP+EF+PC>CE,

AV2P.4+PB+PC>V29,

企24+PB+PC的最小值为回

【解析】【解答］解：（I）如图3中,

将^APC绕点A逆时针旋转60。得到△AFE,

・・・AP=AF,ZBAF=ZCAE=60°

・•・△AFP是等边三角形，ZEAB=90°,

在RtAEAB中，BE=VAE2+AB2=5,

*/PA+PB+PC=EF+FP+PB>BE

.\PA+PB+PC>5

•••PA+PB+PC的最小值为5,

故答案为：5.

【分析】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60。得到△AFE,易知△AFP是等边三角形，ZEAB=90°,转化为两

定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短“求最小值（化折为直）；

（2）将2APB绕点A逆时针旋转90。得到△AFE,易知△AFP是等腰直角三角形NEAB=135。，作EH1BA交

BA的延长线于H,转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为宜）.

18.【答案】（1）解：•・•点力（一1,0）关于对称轴的对称点为点B,对称轴为直线％=1,

・••点B为（3,0）；

（2）解：当％=0时，y=3,

，C（0,3）,

连接8C,

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­­BC=>/32+32=3V2，

•・•点4关于对称轴的对称点为点B,

；・PA+