2026年高考数学备考分类练02 不等式（解析版）

专题02不等式（选填题）

|目录

i

!第一部分题型解码微观解剖，精细教学

I

i包典例剖析&方法提炼色变式

i题型01基本不等式求最值

I题型02一元二次不等式恒成立、能成立问题

!题型03基本不等式的应用

;题蛰04柯西不等式与权方和不等式

=第二部分强化实训整合应用，模拟实战

A第一部分题型解码

题型01基本不等式求最值

-典例剖析

【例1・1】（2025•安徽合肥一模）（多选题）已知正数满足x+y+Q，=3,则下列结论正确的是（）

A.孙的最大值为1

B.%+>的最小值为4

C.七二的最大值为:

x+y2

D.—\+一二的最小值为1

【答案】ACD

【详解】对于A,由正数X，）'满足x+y+孙=3,可得x+y=3-孙22而，解得0〈历41,

则盯VI,当且仅当x=）'，即x=y=l时等号成立，即个的最大值为1,故A正确：

对于B,由正数满足x+y+冷，=3,可得x+y-3二一个，之一（史上］,

解得x+），N2或x+y<-6（舍去），当且仅当x=），=l时等号成立，即x+y的最小值为2,故B错误;

3-x-yxyI/I1

22

对于C,因x>0,y>0,则V+y2x+y£+2~2lxy2,

J'VyX

当且仅当X=)，=l时等号成立，即与N的最大值为:，故c正确；

x+y2

对rD,由x+y+肛=3可得(x+l)(y+l)=4,则—L^-L^zJ，；一^二1,

x+1y+\\x+1y+l

当且仅当」7=一二,即x=y=l时等号成立，即一1+一—的最小值为1,故D正确.

x+1y+lx+\y+l

故选：ACD.

【例1・2】(2025•陕西西安・模拟预测)(多选题)下列命题正确的有()

A.若0v〃<a,cv0,则£>£

ab

B.若0<力<。<1,则

C.若4人>0且，心=。+。+3,则〃的取值范围为[2,一)

D.若,⑦>。且。+。=1,则±的最大值是。

cr+ba+b-3

【答案】ABD

【详解】对于A,因为0<6va,c<0,则〃力>0,.・.，■>(),£>§,即：>工，所以£>：,故A正确;

abababbaab

对FB,因为0v》<a<l,易知y="(x>0)单调递减，则6“<从，

同时y=f(x>0)单调递增，则所以/<犬，故B正确；

对于C,由基本不等式可知〃+8+3=〃。工"±史，

4

即(«+/?)"-4(a+Z?)-12=(f/+/?+2)(fl+/?-6)>0,则a+〃之6,

当且仅当〃=方=3时取得等号，故C错误；

对于D,灵活运用"1〃，构造齐次式得：

a[a+b)+b(a+b)_g~+2ab+b~।ab_J+1

(?十万(a十。)a(a+b)+/ru~-+ab+b2a2+ub+by"+〃+]'

ba

易知：+解=2,所以I：式《I+」=。，当且仅当a=8=!时取得等号，故D正确.

ba\ba2+132

故选：ABD

方法提煤

“1”的代换

mnmn

已知办+勿=1（。/均为正数），求一+一（九〃，匹均为正数）的最值，或者依+勿=必〃，求一十一

xyxy

的最值（加，〃，苍y均为正数）.

这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求

较高，需要重点突破.

【变式1・1】（2025•辽宁・三模）（多选题）已知〃>0力>0,则下列结论正确的是（）

A.若a+b=1,则“2+4/之：

4

B.若“+》=1,则6+后的最大值为及

C.若a+〃=2,则工十三的最小值为1

。+1b+\

D.若〃+〃=2,则一的最大值为1±正

a~+1/r+I2

【答案】BCD

【详解】由题意得/+4/=（1-历2+4/=5（。一£]2+323,A项错误；

（右+新尸=。+6+2痴=1+2而二1+。+。=2,所以6+筋40（当且仅当。=〃=g时取等号），B项正确；

金+2=丝里匕迎业+如吐丝虫里=-L+„Ka+i）+s+i）]（-L+-Lbi,当且

4+1b+\a+1b+\〃+1b+141a+1b^\）

仅当a=Z?=l时取等号，C项正确：

11（4-（2-7Ed/—

+i~+b~+2=2ib+

~—772~72~7>_7z.x2~A--7*又因为。+6=221，

a-4-1/7-+1（ab）~+a~+b~+\（ab）~+4-2ab+i

114+2(1-")

""以a2+\+b2+\一("7)2+4设，=1-gfe[°，l)»

1+]_2f+4_2(f+2)_2<2_&+1

则力+1.万+1-7+4-《+2)2-4“+2)+8-1〔a184-4痣一4-2，

t+2

当且仅当1+2=萤=，=2&-2,即访=3-2a时取等号，

所以-7+的最大值为也把，D项正确.故选:BCD.

a'+\b~+l2

【变式1・2】（2025•江苏淮安模拟预测）（多选题）若x,）*R满足f+4），2-2xy=l,则（）

B.一侦一y毡

A.JC2+4y2<2

33

C.x+2y<\D.x+2y>-2

【答案】ABD

【详解】对于A,由20可得f+4），24盯，因此V+43/=2xy+l+1,

可得/+49工2,当且仅当x=2y时，等号成立，即A正确：

对于B,将表达式f+4），-2冲=1化简可得+3），=1,

将方程参数化可一知％=cos。十•^■sin6、y=-^-sin0»°u[。,2句；

所以x=cos0+理sin0=Jl+；sin(6+夕)=^y^sin(^+^?),

其中tano=6；

又一lKsin（e+p）Kl,所以一手4工=竽而（。+8）工竽，可得B正确；

/\2

对卜C,由/+4）/-2肛=1可得y+4，+4Q，=6.q+l,即（x+2y『=6孙+143x["+"）+1,

因此（x+2），）”W4,解得一2<x+2y<2,当且仅当x=2y时，等号成立，即C错误，D正确.

故选：ABD

【变式1・3】（2025•湖南郴州三模）（多选题）设正实数内满足8（%+〉，）=丹+外3,则（）

A.x+y>4B.x2y2>16

C>4>/2D,.x^'(x+y)<16

【答案】ACD

【详解】为「选项A：因为正实数x，)，满足8(x+y)=V)，+xy3,

设H+y=t>0,母=&>0,则炉+y2=（x+y）2_2xy=r-2k,

因为8（工+y）=x3y+xy'=xy（x2+y2）,

即^=k（t2-2k）,整理可得得2--血+&=o,

将其看为关于上的一元二次方程，则△=（-/2y-64,20,解得d4,即x+y24,故A正确；

对于选项D：因为8（x+），）=◎卜、V）,且9+）,2之立誓,，个>（）,

则8"+力=盯（f+y”孙.缺正，当且仅当％=y=2时，等号成立，所以162町（、+），），故D正确;

对「选项B：因为x+），22而，则16之外（工+》）之2个而，当且仅当x=_y=2时，等号成立，

则而42,得/），2。6,当且仅当;v=y=2时，等号成立，故B错误；

。6+〃+2a3b3〃6+户+3a4从+3a2元

对干选项C：因为

2~1748

a6+b6+4a^b3-3a4b2-3a2b4\a-l^[aA+2a'b+2ab-+b4)

88

因为。>0力>0,则/+2〃%+2而3+Z/>0,(a-b)'>0,

a2+b2y

可得>0,当且仅当。时，等号成立,

22,

2+叫2"+/、,可得且土£/

即

2222

即/+)，22缶+422T=2人，当且仅当％=y=2时，等号成立所以£+«之4近，故C正确:

2

故选：ACD.

题型02一元二次不等式恒成立、能成立问题

典例剖析

【例2・1】(2025•天津•高考真题)若对VXW[—2,2],均有(2a+8*《0恒成立，则2〃+〃

的最小值为

【答案】-4

【详解】设r=2a+b,原题转化为求「的最小值,

2

原不等式可化为对任意的一24x42,tx+(f-2a)x-a-l<0t

不妨代入工=一；，得1N-4,

当1=~4时，原不等式可化为T/+(-4-2a)x-a-l«0,

即—2x+(Ja+l

+-a2<0,

4

观察可知，当。=0时，—(2%+1)240对-2WxW2•定成立，当且仅当4=-；取等号,

此时，”=()力=-4,说明/二T时，〃力均可取到，满足题意,

故/=2a+b的最小值为-4.故答案为：-4

【例2・2](25-26高三上•河南•月考)已知“VxeR,不等式f+4>办恒成立"为假命题，则实数。的取值

范闱为.

【答案】(roTlUH田)

【详解】设VXGR,不等式丁+4>,比恒成立”，其等价于VxeR,x2-av+4>0恒成立,

若P为真命题，则△=〃—16<0,解得-4<。<4.

又〃为假命题，故a的取值范围是命题P为真时的补集,

即a<-4或a>4.故答案为：(f,-4]U[4,”).

方法提嫌

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于

a>0

一元二次不等式at'十Z?工十c>(),它的解集为R的条件为1；

A=Z2?~-4ac<0

a>0

一元二次不等式ad+bx+c20,它的解集为R的条件为《人门，,八：

A=Z?~-4ac<0

ci<0

一元二次不等式的解集为。的条件为〈4,2.

△=b--4ac<0

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对了二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，是在全集我上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，

谁就是参数.

匚若ar?+/7冗+。>0恒成立，则有。>。，且A<。；若ar?+/；T+C<0恒成立，则有。<(),且△<().

[对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3.给定参数范围的•元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的

范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求

解.

tm

【变式2・1](2025•四川•模拟预测)已知一元二次函数/(x)的定义域为R,若〃-2-力寸(x),

且该二次函数的图象经过P(2,〃/+4)、不同两点，则”的取值范围是()

A.(-oo,-4)B.(i,-4)U(2,”)

C.(2,+8)D.(-OO,-4]U(2,-K»)

【答案】D

【详解】因为一元二次函数"力的定义域为R,Rf(-2-x)=f(x)t

所以函数/(工)的图象关于直线4=-1对称，设〃x)=a(x+l)2+c,其中。工0,

由〃-2)</(-1)可得a+c<c,故avO,根据题意得出

因为函数/（力的图象经过p（2加+4）、。（几4〃?）不同两点,

If（2）=9a+c=m2+4

则/\/\2，且有〃工2,

|/（??）=（7/+1）a+c=4m

上述两个等式作差得［9-（〃+1了卜=/-4m+4=（〃?-2『20,

因为avO,故9一（〃+1）240,即（〃+1129,

可得〃+1V—3或k+1）3,解得-4或〃士2,

综上所述，实数〃的取值范围是（-8,-4］11（2,+<»）.故选：D.

I1v*y*>

【变式2.2】（2。25・上海•模拟预测）已知〃上；心「L设若关于"的不等式

,/⑴+4⑴一从点恰有一个整数解，则〃+/,的取值范围是.

【答案】（3,8］

【详解】作出函数/（工）的图像,如图所示,

有&1）=1,/（0）=/（2）=0,

当［f（x）］+4（“）一”’<。时，令，=/（”），即尸+m-6<0，

设4山为方程/+w-从=0的两个根,且AvL,

2

由于。>0,则有tt+t2=-a<0/心=-b,

2

当小工0时，Z,Z2=-Z?<0,则必有4<0冉>0,

则，=f（x）=O必包含在不等式的解中，由图可知/。）=0的解为x=O,2,

此时不等式的解中有2个整数，不符合题意，

当b=0时，4Vo冉=0,由图象可知,当，=/（x）vO时，对应的x值唯

因为［，（可了+4（力的解恰有一个整数，所以这个整数为1=3,

则3<xW4,当尸4时，乙有最小值为”4）=-8,即。有最大值为8,

当工=3时,/（3）=-3,此时32=一。=3,即a+b«3,8］；故答案为：（3,8］.

【变式2-3］（24-25高三上•山东泰安期中）已知sin9戊2+/»+4之0（4关0）对任意工«0用恒成立,

则ex2+ctx+b>0的解集为（）

【答案】C

【详解】由x«0,8］得，7X-7€

OO

当工«。1］得,0一

O0_6,

当xe［l,7］得,^X-^€（O,TC］,sin停工-，］》0,

66\o07

（兀冗）<-「、

当工£口,8］得，?］一?6sin—x——氏0.

OO（66）

用5亩（：工一.）（公2+笈+3»0（4.0）对任意工£［0,8卜恒成立,

自由or?+〃x+cN()得，xe[l,7],

白1和7是方程分2+力x+c=o的两根，且a〈o,

_b

1+7=—

历<",故b=-&/,<?=7〃.

1x7=-

a

12

由cr?+奴+/?>0得，lax+or-8fz>0»H|J7%+.r-8<0»

解得-2<1，故不等式的解集为,*1).故选：C.

题型03基本不等式的应用

典例剖析

【例3・1］（2025•四川德阳三模）已知更数4=王+卯,22=电+煤（工2］，工2，y2£口），若㈤=拉,Z2=%,

那么西+々-X+乃的取值范围是（）

A.［-4,4］B.卜2拉,2&］C.［-2,2］D.

【答案】A

【详解】由题设J+”，贝，所以内+%-y+必=2（$-y），

il#+y；=2

而生成《M+y；=2,当且仅当内=一,=±1时取等号，则—2«%—yW2,

所以％+电-x+%=2（x,-y,）e[-4,4].故选：A

【例3・2]（24-25高三上•河南周口期末）已知函数〃切="向+人的图象过原点，旦无限接近于直线、=3

但又不与该直线相交，当xN（）时，函数g（x）=/（x）-3川有（）

A.最小值-3B.最大值-3C.最小值-2D.最大值-2

【答案】B

【详解】由题设f（O）=ag）+b=a+b=O.且）=3,贝IJ〃=-3,

所以/'（力=3—3|虫•则xN（）时，（x）=3-3HA|-3v+,=3-3'-x-3v+,.

所以g（x）=3（l—5-3'）,令/=3辽1，贝1打（切=力”）=3（1-；-）$3（1-2值）=-3,

当且仅当，=1时取等号，故g"）最大值为-3.故选：B

方法提煤

（1）a+b>2y^b（a,b>0）i多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况

（2）ab<[^^\:多用在求乘枳式的最大值且涉及乘枳的项存在和为定值的情况

I2）

（3）a2+b2>2ab，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等

式的适用范围。力£/?

（4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

【变式3・1】（2025•云南楚雄模拟预测）（多选题）已知人（不方）.8（/，乃）是函数丁=2,图象上不同的两

点，则下列不等式能成立的有（）

A.log2（X+%）<%+再+1B.210g2（y+%）＜N+%2+2

c.•og2（yl+y2）>x1+x2+iD.210g2（y+%）＞%+%+2

【答案】ACD

【详解】由题意，不妨设为<£.

•函数y=2*是R上的增函数，.•.0<2』<20，gpO<y1<y2,

2玉4-2*2i---------------3+*zv+v-+号

—>V2v'-2^=22,即2L12A>22>0.

22

•••J=log2、是（。，+8）上的增函数，力暇互尹>log?2空=笥三，

即210g2（y+%）>%+为+2,故B一定不能成立，D一定成立.

取％=1,々=2,则y=2,），2=4,此时Iog2（y+），2）=log26e（2,3）小+七+1=4,

，bg2（y+）'2）<玉+七+1，故A能成立.

I3

取用=-1,々=°，则y=5，乃=1比时iog2（y+）'2）=iog2：£（°，1），%+毛+1=0,

・••log2（y+）'2）>玉+“2+1，故c能成立.故选:ACD

【变式3・2】（2025•河南郑州•一模）已知正方形48。。的边长为2,E,尸分别为4。，/出上的点，当AAEF

的周长为4时，石尸面积的最大值为.

【答案】12-xJZ

【详解】设A£=x,AF=y,(0<x<2,0<j<2),则£尸=7?77,

因为△4"的周长为4,所以x+y+Jd+t==

因为x+y+Jf+）,2=4>2而+师，当且仅当工二》时取等号,

故枇^«?+a=4-2无,则个424-16&,则△A"面积满足3孙工12-8&.

故△A"面积的最大值为12-8正.故答案为：12-8五.

【变式3・3】（2025•江苏南通•模拟预测）在△A4C中，^tanB=--则taM+2tanA的最小值为______.

1+S1IL4

【答案】e

【详解】can^=-C°^-,若cosA<0,则tan8<0,此时A8均为钝角，不合要求，

1+SIIL4

故cosA>0,tanB>0,即A,B均为锐角，tanA+2tan8>0,

24.2Ac"54c"+sidcosJinA,A

Acos-----sin—

„cosA222222JI-tan

tanB=---------=-----------------=--------亍----22_-2

9

1+sinA2Ar.4A.A.4A'A

cos—+2sin—cos—i-sinsin—+cos-8s1+tan

222522)222

AAAA

AA2

2tan-1-tan—2tan—+21-tan—2tan-2tan-+2

故tan/1+2tan8=---------^―+2-b2,\J2J22

,2AA2

1-tan—1+tan—\1-tanT"—~1-tan-

2222

令lanA,=/,因为Ae(0,g，所以到。，n

r=ianyG(0,1),

24

22+2

则tanA+2tanB=^-1=("-21+4-2。-2)

下二2

1-f

令w=f-2e(—2,-1),则/=〃+2,

-2uc-2〃c2r

tanA+2tanB=-2=—:------------2=——--------2

1-(〃+2)2-3〃+%

u

3

其中〃+二4一2-26,当且仅当-〃=-：,即〃=一6时，等号成立,

2

,,tariA+2tanB―2N7=------2=M5人、Ll

故-273+4.攸介东:为：6.

U+-+4

u

题型04柯西不等式与权方和不等式

典例剖析

【例4・1](25-26高三上•辽宁沈阳月考)柯西不等式(Caulhy-SchwarzInequality)是法国数学家柯西与德

国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,当且仅当巴=2时等号成立.根据柯西不等式，已知x>(),)*R,月.

cd

/+孙一工+5y=30,则VTi+j30-3y的最大值为()

A.石B.76C.2瓜D.3&

【答案】C

【详解】由f+9一%+5丁=30,Wx2-x-30+x)?+=0,即(x+5)(x+y-6)=0,

由x>0,得x+y=6,则x/2-x+J30-3y=\h-x+J12+3x=\l2-x+75-j4+x,

由x>0,2-x>0,得0<xW2,

22

由柯西不等式得(万金+J5-"Tty<[P+(73)].[(万7尸+(74+^)]=24,

因此石+石.屈"2折当庠=异,即号时取等号,

所以+J30-3y的最大值为2#.故选：C

【例4-2］（25-26高三上•河北•期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很

广泛的应用，其表述如下:设血叱。，则河驾当且仅当“;时，等号成立.根据权方和

不等式，函数小人的最小值为（）

49169

A.1B.一D.25

25~25

【答案】B

?5

【详解】因为。<戈<,，所以0<4x<25,即25-4x>0

4

9二%9（4+3）49

故根据题意,/（x）=-+

25-4x4x25-4x4,r+25-4.v25

当且仅当=4~=W3：1，即x=2§5时等号成立，

4x25-4x7

所以函数/（力=3+达-［。<》（字］的最小值为言故选：B

x25—4x14）25

方法提嫌

1.常用柯西不等式：

222

二元形式：若《也£A（i=l,2）,（a.+a^）（b}+h^）>（afy+a2h2）,当且仅当g=今■时取等号.

2a[_a2_ay

三元形式：若《eeH（i=l,2,3）,+a；+a；）（b-+b；+b；）>［afy+a2b2+）当且仅当

Ab2a

时取等号.

多元形式:若q，4wR（i=L2,・・・,〃）,则（％；）（力：）之（名的>,当且仅当卬=他。=1,2,.・・,〃）时

i=if=i/=1

取等号.

2.权方和不等式：

己知％，巧J明为正数，♦+12（为+"2）,当且仅当土=土时，等号成立.

y>2y+月,必

已知x，w，x，y，〃z为正数，%+=2（：+二）”，当且仅当五=%时，等号成立.

>1/（）1+必）M必

〔变式词练J

【变式4-1]（2025•安徽蚌埠•二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数

学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

（/+/）（C?十1"（〃。+h（J）2,当且仅当ad=儿时等号成立.已知a>0,〃>0,直线），=x-2。与曲线

），=ln（x+3相切，则：+[+旧*的最小值为

【答案】10

【详解】由），=1"/+与，所以〉；=一=，设切点为（％,%）,则一三=1，故毛=1—〃，

又,％=同一2。,），0=111（/+/））,所以为=111（/+。）=0.%-2。=0,所以2。+〃=1,

114398

—+—+—+—=—4--=

ab5a5b5a5b

当且仅当《■富曝即时等号成立，所以汨+6的最小值为】。・

故答案为：10

21________

【变式4・2】（24-25高二上•陕西西安月考）已知a,b>。,+g=l，则a+h+L"+从的最小值为

【答案】10

21

【详解】町+厂—+为

所以a+Z?+J/+b2=2ab2(a+3)

a+b-da2+b'a+h-+b2

2(a+2〃)、2(a+28)

=-------------.>--------------------------=11(1A

/ZZj7旷,Aa3b.

a+b-J(a~+b~)(一+—)«++—)

V252555

当日.仅当3a=劭，即〃=与，时，等号成立，故〃的最小值为10.

故答案为：10.

【变式4・3】（24-25高三上•广东月考）权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已

C靖；(…：T，当且仅当土=工时，等号成立.若x为锐角，则一!一+巨

知士，々，凹，凹，〃7为正数，

WH“G+yJ”，工sinxcosx

的最小值为

【答案】8

331

1+H+32>(1+3尸

【详解】

sinxcosx/./.，2\；

2-

(sin-xj-(cosA)*2*45(sirrx+cos~X)2

当且仅当二二=二^时，即X=J时，取等号•

sin-xcos-x6

故答案为：8

＞第二部分强化实训

1.（2025高三•全国•专题练习）柯西不等式的三元形式如下:对实数4可，%和仇也也，有

（4：+4；+〃；）侬+生4+〃3&），当且仅当U=U=U等号成立，己知/+）'+z?=14,请

“1%"3

你用柯西不等式，求出x+2），+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【详解】因为V+y2+z2=14,

根据题目中柯西不等式的三元形式可知（d+y2+z2）02+22+32）4x+2），+3z）2,

所以（x+2y+3z『54x14,x+2y+3z＜14；

x=1

当且仅当：=§=即＞=2时等号成立，所以xi2yi3z的最大值是14,故选：A

[z=3

49

2.12025高三•全国•专题练习）已知x,）'都在区间（-2,2）内，且孙=7,则函数〃=匚了+屋下的最小

值是（）

8241212

A.-B.—C.—D.—

51175

【答案】D

【详解】因为孙=一1,所以产」，且（户0）,

X

「「一4949/49X2-1+1,41

加「以U=-------72+-----27=----2-+—；=---r+---；2----=1+----2-+—2；

4-x9-y4-x9X2-14一/9x-l4-x9x-l

361,1f36

H------------74;\H----------r+9/一1)

2

36-9x9X2-I35136-9-

7x,36-9x?+'.9二Ix，9x~-1=1+叱=|+竺=|+1=乜

吗353555

12

所以〃的最小值为故选：D.

I4

3.（2025・四川自贡•一模）已知随机变量N（l,〃），且2（。4-2）=2修？〃），则当Ovxca时，-+——的

xa-x

最小值为（）

9

A.-B.3D

2-I

【答案】D

—24-"

【详解】由随机变量且/>e4-2）=232〃），得，^=1,解得。=4,

141I4I4-x4JT

由。得L。=正+（1啊+=）*（5+丁+。）

当“2行吞W当且仅当亍:含，即'J时取等号，

9

所以所求最小值为「故选：D

4.，：2。25•浙江「模）已知实数。也。满足""八面+〃+,F，则言的取值范围是——

1-V22

【答案】

2"5

（/?+c）2-lb2+c2）皿|bea2-a以十1

【叶仅】bc=-----------二"°,则^==1---,

2a+1a+1a'+1

又/+/之妇立，得一!4a«1,

23

一2

设a+l=f£-,2，由函数-在上单调递减，在（夜,2）上单调递增,

则/+Zc|"2后由原式为1一二则所求范围为[上/].

t5IH------Z25

tL」

故答案为：匕.

5.（2025•云南•模拟预测）已知函数〃力=雨豆11皿0>0）,若b>0,对VxwR都有/伍+力・）（-力40,则

4+力的最小值为____.

【答案】2而

【详解】①因为对VxeR都有/e+X>/（T）40..

则上得T«0,所以/闺=[si糕=0,

不妨令大=-2,乂4>08>0,所以4人=2也卜£1<）.

②当ab=2E(kGN')时,

f(b+x)-f(-x)=(b+x)-sin(a/>+a¥)-(-x)-sin(-ar)=-x2(b+A)~sin(ab+ar)sinar

=-x'(Z)+x)2sin(2ZTT+ar)sinar=-x~(b+x)2sin2ax<0,符合题意.

由①②，知必=2E伙eN）所以而=2j^浣22岳，

当且仅当。=人=后时，等号成立，所以的最小值为2后.

故填：2而

Q1

6.12025•河北衡水•模拟预测）已知，心>0,满足2〃-匕+；--=1,则2〃-〃的取值范围是______.

ba

【答案】kL2]

Q1Q1

【详解】由题意知曲>0,满足2。一〃+:-上=1,则1一（2。一〃）==一二

baba

故（2a叫-（2〃叫2=（2〃叫[1-（2〃叫卜⑵l+--10,

a

因为而>0,故:>02>0,故也+2乜叵5=8,

baba\ba

当且仅当学=2,结合2a—力+：-』=l,即a=?为=2或a=—l力=-4时等号成立,

baba2

故---H-----102—2,Lip（1ci—b\—[lci—by>—2,解！得一1W2a—/?K2,

ba

当a=!，〃=2时，2a-b=T；当。=-1,〃=一4时，2a-b=2,

2

故2-b的取值范围是[-1,2],故答案为：[7,2]

4

7.（2025•浙江杭州•模拟预测）已知AABC面积为1,边人。,48上的中线为8口。石，且8Z）=§CE,则边AC

的最小值为.

【答案】—

3

【详解】设8Of]CE=G,易知G为4c的重心，

44

又BD=qCE,由重心为中线三等分点可得：BG=-CGt

211

同时\iJGC=5S.D-5S.ABC-§，

设CG=3x,NCGO=8,则3G=4x,G£)=2x,

则%GC=:(3x)(4x)sin(7c-<9)=6/sin。=J,所以*=1.

23