人教版高中数学必修2 第八章《立体几何初步》同步单元必刷卷（培优卷） 解析版

第八章《立体几何初步》同步单元必刷卷（培优卷）

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得0分.

1.下面关于空间几何体叙述不正确的是（）

A.正四棱柱都是长方体

B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线

C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥

D,有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱

【答案】C

【分析】对A,根据正四棱柱和长方体的概念判断；对B,根据圆柱的母线的概念判断；对C,根据棱锥的定义判

断；对D,根据棱柱的定义判断.

【详解】对于A,正四棱柱的侧面都歪长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故A正确；

对于B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于

轴时才是母线，故B正确.

对于C.有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故C错误；

对于D,根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的儿

何体是棱柱，故D正确.

故选：C.

2.如图，四边形AAC。的斜二测直观图为平行四边形NB'C'Q',已知4。=8'0'=。&=。'£=〃£=兀，则该图

形的面积为（）

D'E7.

///\r

A'/&百?

A.47r2B.n2C.2/D.4n

【答案】A

【分析】利用斜二测画法得到原图矩形A3c。中,AB=BC=2n,从而求出面积.

【详解】平行四边形由斜二测画法得,在原图矩形A4C7）中，AB=BC=2n,ABC/）为正方形,

故该图形的面积为27cx2冗=4/.

故选：A.

3.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2,则球的体积为（）

99为

-C-兀

A.971B.24D.8

【答案】B

【分析】作正四棱锥P-48C。，。为底面中心，由数据判断其外接球球心在高P。的延长线上，设球心为E,在

口△石。。内，根据勾股定理求得外接球半径即可.

【详解】如图，作正四棱锥连结AC,BD,交于点0,连结产。，

则PO1平面A8C。，则OP=1,OA=OB=OC=OD=-AC=42>OPt

2

根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高P。的延长线上，设为£连接EC,

则球的半径r=£P=£C,则OE=r—l,

则在Rt^EOC内，由OC?+EO2=£C?可得2+（1—1『=r2,

解得「=],故正四棱锥外接球的体积为兀（3〕=—

233⑴2

故选：B.

4.设a4是两个平面，是两条直线，则卜列命题为真命题的是（）

A.若a'a、l〃P、则〃?_L/B.若mua、lugn/；I,则a〃6

C.若aB=则加〃/D.若m_La,/_!_/?,机〃/,则。，/?

【答案】C

【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确.

【详解】A选项：如图：

在正方体中，aA.pjn//aJ//P,此时加与/夹角为60。，A选项错误;

在正方体中，mua,lup,m〃l,此时aB=n,B选项错误;

D选项：如图:

在正方体中：此时a〃夕，D选项错误;

C选项：如图:

过/作平面7,使得afk=4，/cy=4,・・•/〃a,/〃/，・・・///「//2,则

又・.・a(3=m,C选项正确.

故选：C.

5.棱长为2的正方体ABC。-ABC。中，E为棱CG的中点，r为正方形BCC圈内一个动点(包括边界)，且A尸〃

平面ARE,则下列结论不正确的是()

A.动点尸的轨迹的长度为血

B.M目的最小值为平

4

C.三棱锥A-CCL体枳的最小值为/

D.当三棱锥A-。。尸体积取最小值时，其外接球的表面积为14式

【答案】C

【分析】取34，"C的中点M,N,连接ME,MN,BG，AN,AM,可得MN为动点尸的轨迹，计算可判断A；当尸

为MN的中点时，AF.1MN,求解可判断B：由匕1v"=；5内尸4片，可得尸在N处时，体枳最小，求解可判断

C；外接球的球心在过M7中点K且与平面CGN垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D.

【详解】对于A,取四，8C的中点连接ME,MN,BC|,AN,AM,

所以MN//BG，又易证BCJ/AR,所以MN//AR,

又A/Na平面A。或，ARu平面ARE,所以MN//平面ARE,

又因为£.为棱CW的中点，所以ECJ/MB1,又EC「M4,

所以四边形EC；B|M是平行四边形，所以BCJ/ME,B]G=ME,

所以4G//AA,SG=AA,所以MN//AA，MN=AR，

所以四边形ED^M是平行四边形，所以AM//DC=D、E,

又4ME平面ARE,AEu平面ARE,所以4也〃平面ARE,

又4WQMN=M,AM.WNu平面AMN,所以平面4MN//平面ARE,

又尸为正方形8CG片内一个动点（包括边界），且47〃平面4。淀，

所以MV为动点尸的轨迹，又MN=&，所以动点”的轨迹的长度为血，故A正确；

对于B.又易得AM=4N=H=75,所以尸为MN的中点时，A£J_MN,

此时的=斤1=半，所以|Aq的最小值为半，故B正确；

6___________C.

所以d最小时，匕「ccj最小，显然尸在N处时，d最小，

112

此时%CGF=LX2X1X2=§,故C错误；

对于D,因为&CC|N是直角三角形，所以外接球的球心在过NC中点K且与平面CCN垂直的直线上，

设外接球的球心为。，由OA=OG，nJWOK2+EC；+(^)2=(2-1)2+(2-OK)2+12,

所以OK?+1+(i)2=(2-1)2+(2-OK)2+\2,解得OK=g,

所以=所以外接球的表面积为14兀，故D正确.

故选：C.

6.已知三棱柱A8C-A4G的侧棱与底面垂直，M=2,AB=AC=4i，BC=2,则三棱柱ABC-A4G外接球

的表面积为().

A.4兀B.6兀C.8兀D.127r

【答案】C

【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可.

【详解】因为AB=AC=&，BC=2,则VA8C为直角三角形，

△A用GffvABC的外心分别为斜边B«、BC的中点a，。?，

连接。。2,取的中点。，

则0为三棱柱ABC-AB6外接球的球心，

其外接圆半径为;3c=1,

则半径於=A0?=0。；+A。；=1+1=2,

则外接球的表面积为4兀店=8限

故选：C

7.六氟化硫,化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业

方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相

等的正四棱锥将底面粘接在一-起的几何体）.如图所示，正八面体E-A8C。-尸的棱长为。，下列说法中正确的个

数有（）

①异面直线AE与加'所成的角为45。；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为36；

③若点P为棱所上的动点，则AP+CP的最小值为2瓜:

④若点。为四边形ABC。的中心，点。为此八面体表面上动点，且=则动点。的轨迹长度为苧而.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对①：借助等角定理，找到与AE平行，与M相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内切球的性

质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算府-|00|2"的值,

并比较它们的大小，即可得出当点Q在平面8CE内时，点。在三角形的内切圆上运动，结合对称性即可验算.

【详解】对①：连接AC,取4c中点。，连接OE、OF,

由题意可得。石、O尸为同一直线，A、E、C、尸四点共面，

又AE=EC=CF=FA,故四边形AEC广为菱形，

WAEHCF,故异面直线AE与M所成的角等于宜线C尸与所所成的角，

即异面直线AE与M所成的角等于NCTO=60,故①错误；

对②：由四边形A8C。为正方形，AC2=BC2+AB-=EC2+AE2=2A2,

故四边形AEC厂亦为正方形，即点。到各顶点距离相等，

即此八面体的外接球球心为。，半径为/?=叵=叵，

22

设此八面体的内切球半径为

2

则有明叱尸=:S/xr=2VE_AliCD=2x^-xax华=；x2&/r,化简得r=4a,

3323o

，叵

则此八面体的外接球与内切球的体积之比为F=3>/3,故②正确;

VT

—a

I6

对③：将一AE8延仍折叠至平面E8c中，如图所示:

则在新的平面中，A、P、C三点共线时，AP+CP有最小值，

则（AP+CP）1nhi=¥〃x2=J5a,故③错误.

对于④，设三角形8CE的内切圆半径为小则由等面积法，有_L.3aH=La2.且,

2123

解得【近“，

6

由②可知，点。到平面8CE的距离为,"包〃，

中

这表明当点Q在平面BCE内时，点Q在三角形BCE的内切圆上运动,

它的周长是25，

根据对称性可知动点Q的轨迹长度为8x2叫=8X2TTXT£=必叵而，故④正确.

163

正确的编号有②④.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题④中，关健点在于得出当点。在平面BCE内时，点。在三角形8CE的内切圆上运动，

根据对称性即可顺利得解•.

8.一个圆台形的木块，卜.、下底面的半径分别为4和8,高为3,用它加工成一个与圆台等高的四松台，楂台下底

面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大.现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半

径最大值是（）（加工过程中不计损耗）

73

A.—B.-C.1D.、/^

104Y

【答案】C

【分析】本题可先求出圆台的相关数据，再确定四棱台的形状，进而分析余下木料的情况，找出能车削出最大半径

球的木料并计算其半径.

【详解】

p

。|为上底面圆心,。为下底面圆心，记棱台为4BCZ)-4与6。1,

棱台最大时，上下边之比为不妨设44=9,则4G=5方＞9,

oZ

所以球在8CG片与圆台围成部分可更大,

记4G中点为N,BC中点、为M,0M交上底面圆于P，0N交下底面圆周于。,

设球半径最大为「，球心为7,则如图，球与PQ，NQ,相切,

44I

设NMNQ=2/7,/PQN=2a,则tan2<z=—,tan2/?=—,贝I」cota=3,cot〃=—,

532

7

所以NQ=5=r(cota+cot"),得厂=1.

故选：C

97

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示的圆台QQ，在轴截面A8CD中，AB=BC=AD=^CD,8=4,则()

A.该圆台的高为G

B.该圆台轴截面面积为6后

C.该圆台的体积为此所

3

D.一只小山从点。沿着该圆台的侧面爬行到人。的中点，所经过的最短路程为5

【答案】AD

【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可判断A；利用梯形面积公式计算可判断B；代入圆台体积公式可判断C：

利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可判断D.

【详解】对于A,在梯形力BCO中，&。2即代表圆台的高,

利用勾股定理计算可得。02=小。2_（笑2史］=卜2_（早］=石，所以A正确；

对于B.轴截面梯形/WC7）的面积为S=；・（AB+CD）eO2=；x（2+4）xG=3x/5,因此B错误;

对于C,易知卜底而圆的而枳为冗*2?=4几.上底面圆的面积为7TX1,?=冗：

所以该圆台的体积为V=［卜兀+兀+历々卜6=事，可得C错误；

33

对于D,将圆台侧面沿直线8c处剪开，其侧面展开图如下图所示：

易知圆弧B8',CC'的长度分别为2兀4兀，设扇形圆心为。，圆心角为。，OB=r；

由弧长公式可知8=2冗,。（r+2）=4兀，解得。=兀，=2；

所以可得4404=90，

设E为4。的中点，连接EC,当小虫从点C沿着改爬行到A。的中点，所经过路程最短，

易知。E=3,OC=4,ROE±OC,

由勾股定理可知EC=y/OE'OC?=5,可知D正确.

故选：AD

10.如羽，在长方体ABCO-ABCR中，E,产分别为GA，4G的中点，。，M分别为5。，E尸的中点，则下

列说法正确的是（）

B.三条直线M,DE,CG有公共点

c.直线AC与直线。尸不是异面直线

D.直线AC上存在点N使M,N,。三点共线

【答案】ABD

【分析】对于A：根据平行关系可证BO//EF,即可得四点共面：对于B：根据平面的性质分析判断；对于C：根

据异面直线的判定定理分析判断；对于D：可知。W与AC相交，即可判断.

【详解】作图，如图：

对于选项A：连接8Q,

因为53J/OA津用=0口，可知88QQ为平行四边形，则8Q//8D,

又因为E，尸分别为G2，8c的中点，则BQJ/EF,

可得BD//EF,所以四点A,D,E，f在同一平面内，故A正确；

对于选项B：延长BF,Z）E,则8尸,。£相交于点尸，即PcM.PwQE,

又因为8尸u平面8CCM，DEu平面DD£C，

则Pw平面BCC4,2£平面。。。。，

且平面BCGqn平面。QCC=CG，所以PuCG，

即三条直线即，DE,CC有公共点，故B正确；

对于选项C：因为A|Cu平面A41GC,。尸I平面AAGC=。，。壬AC,

所以直线AC与直线0/7是异面直线，故C错误；

对于选项D：因为A，OC，G均在平面AAGC内，连接OM,则OM与AC相交，

所以直线AC上存在点N使M,N,。三点共线，故D正确；

故选：ABD.

11.在棱长为2的正方体ABC。-A/GR中，点尸在线段8A上运动（包括端点），点Q正方形88CC及其内部

运动，且AQ=W，则下列正确的选项有（）

A.AP1B.CB.PC+PD的最小值为2G

C.点Q的轨迹的长度为弓D.直线PG与平面ABC"所成角的最小值为B

【答案】ABD

【分析】对于A,由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，作出判断；对于B,通过翻折平面，将平面OQ8与

平面。田。沿。田翻折到同一个平面内，进而判断PC+尸。的最小值.对于C,先根据题意判定出点。的轨迹，再求

弧长即可；对于D,作出直线PG与平面A8C。所成角，进而判断线面角的最小值；

【详解】对于选项A,由正方体性质，易得用CJL8G，BQAB,

因为A8BG=8.AB,8Gu平面A8C.,

所以8cd.平面ABCQ.因为APu平面A8GR,所以A尸1B。，故A正确；

对于选项B,如图，将平面与平面R8C沿。/翻折到同一个平面内

由题意，BD、=2底BD=2&DR=2,BC=2,D、C=2日

从而RC=DB.DR=BC,故。QCB为平行四边形.

又卬CB="\DB=g故。。CB为矩形.

从而当尸为CO与交点时，PC+PQ最小，此时PC+PD=CO=BA=2>/5,故B正确.

对于选项C,因为AQ=石，在正方形中，A4=2,B】Q={AQ2-AB；=逐二=1.

所以点Q的轨迹是以4为圆心，1为半径的;圆弧.

根据弧长公式/=夕厂，这里a=g,r=l,所以轨迹长度为故C错误：

22

对于选项D,如图连接。G交。。于”,

因为AC_L平面CG。。，。0<=平面。G。|。，所以BC_LOG.

因为CD、±DC,,BCcCD,=C,BC,CD{u平面ABCD、,

所以。G_L平面ABC。,即C}H1平面AS,

所以ZC.PH为直线PG与平面AACR所成角，所以tanZCPH=^=叵.

PHPH

所以当〃?最大时N。/“最小，即P与8重合，HP=H8时，HP最大.

可得=ylHC2+BC2=7（V2）2+22=瓜，

此时1"3=旭=华=昱,故NC/H的最小值为，

PH限36

直线PG与平面人灰?。所成角的最小值是故D正确；

0

故选：ABD.

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.用斜二测画法画出水平放置的平面图形△QAB的直观图如图所示，已知O7y=OW=OE=AB'=2,则4。48

的面积为.

【答案】4瓜

【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出.0X8的面积，由此可得出△。43的面积.

【详解】不妨设的底边MN=Q,点。到边MN的距离为〃，则5入耽0=3。〃，如下图所示：

在斜一.测直观图中，如卜图所示:

=4

点P到直线MN'的距离为/f=-sin45

24

所以,S/下=*X与h=/S.MNP'

则SAMNP=2&S乙wvp，

则△A'B'D为等边三角形，则NO7T。'=30,

NO'*4=NO'B7y+ZA'B7y=30+60=90,

所以，OR=一A相="-2：=2百,

所以，S,0,='AH.OB=Lx2x2g=,

ft•*

则5△。心=2&=2&x2g=4屈•

故答案为：46.

13.长方体ABC。-A4G。为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为V的水（未盛满容器），已知.=2,

A/\=3,AD=4.若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围是

【答案】（4,20）

【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.

水最较少，水面恰好为长方体的截面AC4时，V=1X1ABMDA4,=4；

水量较多，水面恰好为长方体的截面4G。时，V=3x2x4-4=20.

因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围是（4,20）.

故答案为：（4,20）

14・勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因

此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个

顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为

2,则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为.

甲

【答案】（22-8G）兀

【分析】需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径，再根据图形得到勒洛四面体的内

切球半径，而内切球半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最大球的半径，进而结合球的面积公式求解即可;

【详解】由对称性知，勒洛四面体A8CO内切球球心是正四面体ABCO的内切球、外接球球心0,如图：

正ABCD外接圆半径«8=gx2.cos30°=芋，

正四面体ABCD的高A«=QABFB，=平,

令正四面体人4C。的外接球半径为R,

在RtZXBOQ中，/?2=00：+30；=（孚一区］+（苧］‘解得R=*,

此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示:

图中取正四面体AAC。中心为。，连接.40.交平面ACO于点E,交曲面ACO于点尸，

其中B0即为正四面体外接球半径,因为点.AC0F.均在以点8为球心的球面上，

2

所以8/=43=2,

设勒洛四面体内切球半径为r,则由图得r=。尸=8尸-80=A8-8。=2-且，

2

勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，

所以勒洛四面体A8C。能够容纳的最大球的半径为2-如，

2

则勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为4:2-乎）=（22-8卡卜.

故答案为：（22-8卡卜.

思路点睛：本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，记住正四面体的高,

内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解.

四、解答题，本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5,高为10.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为力.

（1）若力=6,求水的体积；

（2）若水的体积为水杯体积的一半，求h.（精确到0.01）

【答案】（1）18兀

⑵7.94

【分析】（1）根据相似得到广=；〃=3,代入体积公式曰计算即可.

JJ

（2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案.

【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为广,

如图，由相似性可知g=K=*则r=3,

V=-nrh=‘71x32x6=18兀；

33

故水的体积为187r.

1排二-xlnx52xl()

371

23

化简得川=500,解得〃=病5。7.94.

故〃约为7.94.

16.如绍，在四棱锥尸一A8CZ）中，底面ABC。是边长为1的正方形，E41底面ABC。，=点M在棱P。

上，尸8//平面ACM.

（I）试确定点例的位置，并说明理由；

⑵求四棱锥P-ABCD的表面枳.

【答案】（1）点M为PD的中点，理由见解析；

（2）S=2+V2

【分析】（1）连接80,然后由线面平行性质可得答案；

（2）分别计算各个面的表面积可得答案.

【详解】（1）点M为PO的中点.理由如下：如图，连接80.设40cAe=O,

则点。为4。的中点，连接。例.：PB//平面4cM,PBu平面P3D,

平面PBDc平面ACM=OM,/.PB/IOM.

在△必。中，•・•0为8。的中点，・・・OM为△P8O的中位线，

点M为尸。的中点.

（2）%_!_底面A8CD,又底面是边长为1的正方形，

・•・S正方形"⑺=1，因为Q41底面A8C。，又48AQ,ACu平面A8CQ,

则抬1ABAD,AC,即直角三角形，又融=A8=AD=1,

贝ISE=S4PAD=gxlxl=g，4C=^AB2+AD2=PD=PB=>fL

则PC=>JPAi+AC2=6又尸C'=PD"十DC、=PB'+BC'，

则./DGJHC为直角三角形，则S„,x.=S/w.=-xlxV2=—.

综上四棱锥P-A8CO的表面积为S=l+2x'+2x巫=2+夜.

22

17.如图，在棱长为2的正方体A8CD-A4GA中，例为棱8片的中点，?为棱4。的中点，平面。AMN与平面

C8/Q将该正方体截成三个多面体，其中N,。分别在棱4C,上.

（1）求异面直线CQ与MN所成角的余弦值；

⑵求多面体MM）A-PQC4的体积.

【答案】（1）等；

叫

【分析】（I）由题意可得/gCQ为异面直线CQ与MN所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理求出异面直线

的夹角余弦值；

（2）几何体M8N-AA。与几何体PD0一4C。的体积相等，即耳=匕，设几何体MND4,-PQCq的体积为V,正

方体的体积为匕，故丫=匕-匕-匕，作出辅助线，几何体MAN-AAO体积为三棱锥O-AQ4体积减去三棱锥

O-8WN体积，结合锥体体积公式求出答案.

【详解】（1）在棱长为2的正方体A3。。-44GA中，平面、平面3CGg=MN,

平面。AMN'平面AORA=4。，平面BCCg//平面AQRA，则MN//A。，

又四边形ABC。为正方体48CO—AMG2的对角面，则4C//AO//MN,同理尸Q//AQ,

因此/BC。为异面直线C。与MN所成角或其补角，连接4。，B、D,

由尸为AA的中点，得。为。R中点，4c=2&,CQ=y]CD2+DQ2=>/5.

又在正方体中，QR1面人内弓修，BRu面ABC。,贝1」。。13口,

qc2+c(22-B,Q28+5-9_Vi0

即用。2=与。；+。。2=9,贝Ijcos/8CQ=

2B\CCQ2-2x/2->/5-10

所以异面直线C。与MV所成角的余弦值为叵.

10

（2）由正方体特性知：几何体MBN-AAD与几何体PDQ-BCC的体积相等，即耳=匕，

设几何体MN7）A-尸QC4的体积为V,正方体的体积为匕，则丫=匕-匕-匕，

OBBMI

又M为中点，N为8c中点，令AM,A8的延长线交于点。，则7工二丁=彳，

（7A/\/\yZ

令。MA4的延长线交于点O，，则察=空=g，OfA=2AB=OA,即点O'与点0重合，

OAAD2

于是几何体M8N-AAD体积为三棱锥O-4D4体积减去三棱锥O—8MN体积，

则匕=；£3。”22。842*244-91><1.2=9

，JD乙J

7in

所以多面体MND4）—PQC趺的体积V=23-2X§=1.

18.已知面积为26的菱形人AC。如图①所示，其中AC=2,E是线段AD的中点.现将△/%（?沿4。折起，使得

点D到达点S的位置.

(2)若二面角S-AC-4的平面角大小为笄，求点S到平面ABC的距离；

(3)若二面角S-AC-8的平面角py,点尸在四面体的表面运动，且始终保持切_LAC,求点尸的轨迹长

度的取值范围

【答案】(1)证明见解析

(2)|

⑶迪6+3

22

【分析】(1)根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；

(2)根据二面角的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可；

(3)根据二面角的定义，结合线面垂直的判定定埋和余弦函数的单调性进行求解即可.

【详解】(1)取4c中点。，连结SO、B0,

由四边形ABC。为菱形可知，ACISO,ACLBO,

又sonBO=O,SO,BOu平面SOB,

.•.AC_L平面SO8,又因为S8u平面SOB,.•.AC_LS8；

(2)因为菱形ABC。的面积为

得BD=2。ACLSO,AC1BO,

又因为二面角S-AC-8的平面角为NSO8,且大小为年,

所以NSO8若，

故点S到平面ABC的距离为5。♦sin60°=>/3sin600=|；

(3)取AC边上靠近点A的四等分点G,取A8的中点为“，连接EH,EG,GH,

EG//SO,SOIAC,ACLEG,同理AC_LG”，

:EGCGH=G,EG,G〃J平面EG”，所以AC_L平面EG”,

故点尸的轨迹长度