人教版高中数学选择性必修第三册 第7章 随机变量及其分布作业 综合训练【原卷+答案】

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第七章综合训练

(参考数据:若X~M小介，则P(什0户0.6827;尸(〃-2把X9+2。)前9545;2(〃-3日0/+3。)49973)

一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

142024湖南衡阳高二阶段练习］已知随机变量X〜8(5,力,则D(X)=()

2.(2024江苏高二期末］已知随巩变量X服从两点分布，旦尸(X=l)=0.6.设Y=3X-2,那么P(Y=-

2)=()

A.0.6B.0.3C.0.2D.0.4

3.已知离散型随机变量。的分布列如下表，则其均值等于()

135

P0.50.2

A.lB.0.6

C.2+3/〃D.2.4

4.现在分别有A3两个容器,在容器A里有7个红球和3个白球，在容器B里有1个红球和9个白球.

现从这两个容器里任意抽出一个球，则在抽到的是红球的情况下，是来自容器A里面的球的概率是

(

A.0.5B.0.7

C.0.875D.0.35

5.若某校高二年级I000名学生的某次考试成绩X服从止态分布M90J52),则此次考试成绩在区间

(105,120］上的学生大约有()

A.477人B.136人

C.341人D.131人

6.甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是|,各局比赛是相互独立的，采用5局3胜

制，则乙以3：1战胜甲的概率为()

7.某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得

到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1

个，除颜色外，小球的其他方面，诸如形状、大小、质地等完全相同,每个小球上均写有获奖内容，顾客

先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖.设X表

示某顾客在•次抽奖时，从自己得到的那个盒子里取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望

EW=()

A。B-C-D-

A-5%气

8.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列

为「比=外=余伙=0/2...),其中€为自然对数的底数/是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站

台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为41>0)的泊松分布,若该线路某站台的候

车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1位乘客候车的概率为()

A.gC.卷D.±

二、选择题(本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求)

9.已知随机变量X服从正态分布M24),且尸(乂*)=0.8,则()

A.P(X>4)=0.2

B.P(X>0)=0.6

C.P(0<X<2)=0.3

D.P(0<X<4)=0.4

10.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球，现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白

球的个数为X,则下列结论正确的是()

A.P(X=1)=^

B.随机变量X服从二项分布

C.随机变量X服从超几何分布

O

D.£(X)=-

11J2024江西高二开学考试］某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋,乙级药

材有6袋，从中不放回地依次拍取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次

取到乙级药材”,则下列说法正确的有()

2

A.P(A)=-

B.P(B|A)J2

C.P⑻W

D.事件人,8相互独立

三、填空题(本题共3小题)

12.按照国家标准规定,500g袋装奶粉每袋质量X必须服从正态分布M500,/),经检测某种品牌的奶

粉P(49O0XW5IO)=O.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋,则卖出的奶粉质量在510g以

上的袋数大约为

13.某企业将生产出的芯片依次进行智能检测和人工检测两道检测工序，经智能检测为次品的芯片会

被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工检测.已知某批芯片智能检测显示合格率为

90%,最终的检测结果的次品率为玲，则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下,人工检测一枚芯片恰

好为合格品的概率为.

14••支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为与对手踢平［得1分）的概率为久负于对手（得。分）

的概率为c,其中©〃《£（（）」）.已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1,则工+2的最小值

C13D

为.

四、解答题（本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.有三个同样的箱子，甲箱中有2个红球、6个白球，乙箱中有6个红球、4个自球，丙箱中有3个红

球、5个白球.

（1）随机从甲、乙、内三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；

（2）从甲、乙、丙中随机取一箱,再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

16.甲、乙二人进行一次象棋比赛，每局胜者得1分,负者得0分（无平局），约定一方得4分时就获得本

次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中，甲获胜的概率为］，乙获胜的概率为！，各局比赛结果相互

独立,已知前3局中，甲得1分，乙得2分.

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设从第4局开始到比赛结束所进行的局数为X,求X的分布列及均值.

17.设有3个投球手,其中一人命中率为名剩下的两人水平相当且命中率均为p(pq£(O,l)),每位投球

手均独立投球一次屋记投球命中的总次数为随机变量。

⑴当时，求数学期望E©及方差。©；

⑵当p+q=l时，将的数学期望E©用P表示.

18.一次大型考试后，某年级对某学科进行质量分析，随机抽取了40名学生的成绩，分组为

［50,60）,［60,70）,［70,80）,80,90）,［90,100］,得到如图所示的频率分布直方图.

⑴从抽取的成绩在区间［50,60）内和区间［90,100］上的学生中，随机选择三名学生进行进一步调查分

析，记X为这三名学生中成绩在区间［50,60）内的人数，求X的分布列及均值E（X）.

（2）①求该年级全体学生的平均成绩歹与标准差s的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）;（精确到1）

②如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布其中分别近似为①中的元s,那么从该年级

所有学生中随机选三名学生做分析，求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间［62,95］上的概率.（精

确到0.01）

附:回=5.385.

19J2024重庆高二校联考］品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试,测试方法如下:拿出〃瓶外观相同

但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序,经过一段时间，等他记忆淡忘之后，再让他品

尝这〃瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1,2,3,…,〃的〃

种酒，在第二次排序时的序号为0,分。3,…并令X二X|八研称X是两次排序的偏离度.评委根据一

i-1

轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.

⑴当1=3时，若w等可能地为1,2,3的各种排列，求X的分布列.

⑵当〃=4时，

①若0M2。3,。4等可能地为1,2,3,4的各种排列，计算X<2的概率；

②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有/2（各轮测试相互独立）,你认为该品酒师的鉴别能力如何，

请说明理由.

参考答案

第七章综合训练

1.A随机变量乂~8(5,：),则D(X)=5x:x(=)二兽.故选A.

44416

2.D当Y=-2时，由3X-2=-2nX=0,

所以r(r=-2)=r(x=o)=1-p(x=i)=i-o.6=o.4.

故选D.

3.D依题意。5+6+0.2=1,解得〃尸0.3,

古攵E(<J)=lx().5+3xO.3+5x().2=2.4.

故选D.

4.C设A="抽到的是红球“湛="抽到的是来自容器A里面的球''，则A8="抽到的是来自容器A

里面的红球”.由题意可知.P(A8)=A，P(A)=焉故P(8|4)=费=0.875.故选C.

/UZU<(/1)

5.B根据正态分布的对称性P(105<X<120)=|x[P(60<X<120)-P(75<X<105)]«1x(0.9545-

0.6827)=0.1359,则1000x0.1359=135.9句36,故此次考试成绩在区间(105,120]上的学生大约有

136人.

6.B由题意知，前3局乙胜2局，第4局乙胜，故所求概率片第x[x=之

故选B.

2

8c2

7.C由题意叮知,X的所用可能取值为()』,2,则〃(/=()尸与=//(人=1)=写---

c2

C5156

6C6

1

I?

/.E(X)=0x1+1x^+2x^=1.

8.D由题可知p(X=2)=P(X=3),即若=总解得8=3,故PlX=k)=^e3(k=0,1,2,...),P(X=1)=^e-

3=*故该线路两个站台各有1位乘客候车的概率公(却磊

9.AC*/P(X<4)=0.8,JP(X>4)=0.2.

•・•X~NQ,/),：.P(X<0)=P(X>4)=0.2.

P(0<X<4)=P(X<4)-P(X<0)=0.6,P(X>0)=1-P(X<0)=0.8,

・•・P(0<X<2)=1F(0<X<4)=0.3.

10.ACD由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误,C正确;

413

X的可能取值分别为0,123,4,则P(X=0)=舁=5,P(X=1)=竽=白

C1014C10

P(X=2)=字=J(X=3)=等=2

L10/58

「

尸g)盖4=而-1,

・•・E(X)=0x吃+1x各2x2x4+4x-i-=，攵A,D正确.

11.ABC对于A,P(4)磊=沁A正确；

对于B,P(8|4)=鬻=燮二|,故B正确；

5

对于C,P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=lx|+|x1=今故C正确；

对于D,因为P(AB)=-^-,P(A)P(B)=lx|WP(/W),所以事件4方不相互独立，故D错误.故选ABC.

12.10因为X〜N(500,4),且P(490WXW510)=0.95,所以P(X>510)=土詈=0.025,所以卖出的奶粉质

量在510g以上袋数大约为400x0.025=10.

13，设该批芯片中一枚芯片由智能检测合格为事件A,经智能检测合格的芯片进入流水线并由

qo7

人工检测，一枚芯片恰好为合格品为事件8,则“(A尸元］(A8)=1,

则在智能检测结束并淘汰了次品的条件下，人工检测一枚芯片恰好为合格品的概率

7

P⑶A尸瑞

10

14.^设得分为。她"的分布列为

J013

PCba

由均值为3a+b=l,且。力£(0,1),

m,.1,1(1,1)/,e10//、100即16

则一+石=\一+京。+匕)=胃+_+刀,

a3ba3h«33ab1N3—+y2ah--r=3

当且仅当二:时，等号成立.

15.解(1)根据题意,记事件4：从甲箱中取一球为红球，事件A"从乙箱中取一球为红球，事件A3：从

丙箱中取一球为红球，记事件8:取得的三球都为红球，且事件A,A2,A3相互独立，所以

1QQqQ

P(8)=P(4)P(A2)P(4)=：x=x?=所以三球都为红球的概率为之.

43oloU16U

⑵记事件C：该球为红球，事件。:取甲箱，事件。2：取乙箱，事件。3：取丙箱.

因为P(C|Di)=ip(C|D2)4^C|D3)4

11121249

所以P(O=P(C)P(C0)+P(D2)P(C|O2)+P(D3)P(C|O3)《X^+^X^+1X-=-^-,

所以该球为红球的概率为言.

16.解⑴设“甲获得这次比赛胜利”为事件A,

则「⑷®+m®*吟

故甲获得这次比赛胜利的概率为得

(2)依题意,X的取值可能为2,3,4,

则P(X=2)=(j)2=i

P(X=3)=(|y+禺x|x(J.

P(X=4)=Cjx(I)x|xl4

故X的分布列为

X234

144

P

999

14410

E(X)=2xi+3xi+4xl=^.

17.解(1)・・・若住投球手均独立投球一次，

・••当片冷时,《~8(3?,

・・・召(0=3x1=*O(G=3x4

(2片的可能取值为0,1,2,3.

P(0=0)=(1q)(1-〃)2=pg2,

P(%1)=^(1-p)2+(10Gp(1-p)二如+2p24

P(0=2)=qC3p(l-p)+(1-q)p2=2pq2+p\

P(勺3)=卯2.

^的分布列为

0\23

Pp(r(f+2p2q2P炉+少qp?

E©=Oxp/+lx(^+2p2q)+2x(2pq2+p3)+3x^p2=1+p.

18.解(1)由频率分布直方图，可知4()名学生中成绩在区间［50,60)内和区间［90/00］上的人数均为

4.

X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=0)=昌==

P(X=1)=萼=5，

c8'

p(X=2)=等=

C8/

尸(X=3得』.

故X的分布列为

X0123

1331

p

147714

E(X)=0x=1+13x'+2X3'+3X21=15

1477.4

⑵①5二55x0.1+65x0.3+75x0.4+85x0.1+95x0.1=73,

5=/(55-73)2x0.1+(65-73i2X0.3+(75-73)2x0.4+(85-73)2X0.1+(95-73)2X0.1=

VT16=2V29到1.

②由①，可知成绩在区间［62,