2026版高考数学复习专题突破：2.5 对数运算及对数函数精讲（原卷版）

2.5对数运算及对数函数（精讲）

考向一对数的运算

【例1-1】计算下列式子

1

(1)log100log4log9log810lg3

25523

2

log45

(2)2lg21lg52lg54log37log73．

2log9252

(3)log35log53log53．

log53

1

(4)log352log2loglog145log53log2log9；

50.5550532

log3log3log4log2log38131log55

（5）28393

b

【例1-2】（2025·海南海口·模拟预测）若alog36，618，则ablog32（）

A．1B．1C．2D．2

【一隅三反】

b

1．（24-25陕西咸阳）已知alog52,23，则log1210（）

aabab

A．B．

a2a1

a1ab

C．D．

2aabab1

2.计算下来式子

5ln2

（1）log12lg4lge.

42

7

（2）lg142lglg7lg18

3

10

（3）log27log27log22log29lglg30．

3833

2

1log24

（4）log35log57log79lg2lg2lg5lg5lnlne2

2

log45

（5）2lg21lg52lg54log37log73．

1

（6）log352log2loglog145log53log2log9；

50.5550532

考向二对数型函数的定义域

1

【例2-1】（2025辽宁）函数f(x)的定义域为（）

log2(x3)

A．(3,)B．(3,4)(4,)

C．(,3)D．(,2)(2,3)

【例2-2】（24-25辽宁）yln(tanx1)的定义域为（）

ππππ

A．xkπxkπ,kZB．xxkπ,xkπ,kZ

4242

πππ

C．xxkπ,kZD．xkπxkπ,kZ

424

fx

【例2-3】（24-25辽宁）已知函数yf2x1的定义域为1,2，则函数y的定义域为（）

log2x2

A．1,2B．1,2C．1,5D．1,5

【例2-4】（23-24北京·期中）已知函数fxlnax2ax1的定义域是R，则a的取值范围是（）

A．0,4B．0,4C．0,4D．4,

【一隅三反】

1．（24-25吉林四平）函数f(x)12xlog2(32x)的定义域是（）

3313131

A．,B．,C．,D．,

2222222

ln2x

2．（24-25广东梅州）函数fx的定义域为（）

x1

A．1,2B．1,2C．1,D．2,

3.（24-25上海）函数ysinxlg16x2的定义域为

3π

4.（24-25辽宁沈阳）函数fxln2cosx1的定义域为．

2

4

5．（2025高三·全国·专题练习）求函数y的定义域．

1logaxa

考向三对数型函数的单调性

【例3-1】（2025高三·全国·专题练习）函数f(x)lnx22x8的单调增区间是（）

A．(,2)B．(,1)C．(1,)D．(4,)

1

【例3-2】（2025·吉林·三模）若函数fxlogaax（a0且a1）在区间1,2上单调递减，则实数a的

2

取值范围是（）

111

A．,1B．,1C．0,D．1,

242

x22ax52a,x0fxfx

【例3-3】（24-25山西）已知函数fx，若对任意的xx，都有120，

x12

2log2x1,x0x1x2

则a的取值范围是（）

A．,2B．3,2C．3,2D．,2

【一隅三反】

2

1．（24-25广东揭阳）函数f(x)log13x2x1的单调递减区间为（）

3

111

A．1,B．,C．,D．,

333

2．（24-25安徽蚌埠）函数fxlnxln4x的单调递增区间是.

loga2x,x1,

a

．（湖南岳阳）已知是上的减函数，则实数的取值范围为（）

324-25fx211Ra

xax1a,x1

33

1

A．,1B．1,6C．3,6D．2,6

2

4．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）“a2,”是“函数fxlgx24x5在a,上单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考向四对数型函数单调性的应用---比较大小

31

【例4-1】（2025·四川·模拟预测）已知aln，b，clog92，则（）

53

A．abcB．acbC．cbaD．bca

【例4-2】（2025·浙江金华·二模）已知alog32，blog54，clog98，则（）

A．cbaB．acbC．bacD．abc

【例4-3】（2025·陕西商洛·三模）已知fx是偶函数，且fx在,0上单调递增，则（）

30.10.13

A．flog13ff0.9B．flog13f0.9f

2222

0.130.13

C．f0.9flog13fD．f0.9fflog13

2222

【一隅三反】

0.9

1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知alog2678，b1.25，clog918，则a,b,c的大小关系为（）

A．abcB．acbC．cbaD．cab

2．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（）

0.30.9

A．0.40.4B．log2.33log2.32

0.20.2

C．log0.50.20.5D．log520.5

x1

4

3.（2025·山东菏泽·一模）已知fx，则下列不等关系正确的是（）

5

A．flog26flog0.51.25f1B．flog0.51.25flog26f1

C．f1flog0.51.25flog26D．f1flog26flog0.51.25

53

4．（2025·江西赣州·一模）已知723，记alog73，blog115，clog237，则（）

A．cbaB．cabC．bcaD．bac

考向五对数型函数单调性的应用---解不等式

fxlogx23

【例5-1】（24-25江苏苏州）已知函数1，且flog2mf2，则实数m的取值范围为（）

2

1

A．4,B．0,

4

11

C．,4D．0,4,

44

1

【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxln14x22x，则不等式

12x

fxf2x13x0的解集为（）

11

A．,1B．,

33

11

C．,1,D．,

33

【一隅三反】

1．（24-25广东佛山·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，在区间0,上单调递增，且f10.

则不等式flog2x0的解集为（）

11

A．,2,B．,11,2

22

11

C．,12,D．0,2,

22

2x

2．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数fxln，则不等式fx24x2f7x0的解集为

2x

（）

7

A．{x∣1x2}B．x1x

2

2

C．xx2D．

7

a

1

．（云南德宏）已知实数满足1，，则不等式（（1-的解集为（）

324-25a13logax1)logax)

3a1

A．x(1,0)B．x(0,1)C．x(1,1)D．x[1,0)

考向六对数型函数的值域

2

【例6-1】（2025陕西）函数fxlog1x6x18的值域为（）

3

A．,2B．2,C．,2D．2,

2

【例6-2】（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数fxlog4axx的最大值为1，则实数a（）

A．1B．2或2C．4D．4或4

3a1x2,x1

【例6-3】（24-25江苏）若函数fx的值域为,0，则实数a的取值范围是（）

log2ax,x1

111111

A．,B．,C．,1D．,1

323223

【一隅三反】

x

1.（2025高三·全国·阶段练习）函数f(x)log2(41)x的最小值为

2（2024·上海·模拟预测）函数fxlog22xlog88x的最小值为.

22

3．（2023·云南·模拟预测）已知fxlog2x1x16，设gxfxfx，则函数ygx的最大值

为.

4.（24-25高三下·广西·开学考试）函数fxlgax22x1值域为R的一个充分不必要条件是

4ax2a，x1

5．（24-25广东揭阳·阶段练习）已知函数fx的值域为R，则实数a的取值范围是

，

log3xx1

考向七对数型函数过定点

fxalogxb112

【例7-1】（24-25河南）已知a,b为正实数，函数1的图象经过点,1，则的最小值为

24ab

（）

A．622B．6C．422D．8

【一隅三反】

1.（24-25·广东潮州）已知函数fxlogax22（a0，a1）的图象经过定点P，且点P在角的终

边上，则tan的值等于（）

11

A．B．C．2D．2

22

2．（24-25江西）已知函数y2logax1a0且a1的图象恒过定点A，且点A在直线mxyn0上，

则9m3n的最小值是（）

A．9B．6C．42D．22

3．（24-25山东德州）已知函数y2logax14（a0且a1）恒过定点A，则过点A的幂函数经过（）

A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限

考向八对数型函数图像

【例8-1】（24-25安徽合肥）函数ylogax32（a0且a1）的图象恒过定点P，若点P在幂函数fx

的图象上，则幂函数fx的图象大致是（）

A．B．C．D．

x

【例8-2】（2025高三·全国·专题练习）已知a0,a1，函数ya与yloga(x)的图象可能是（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（24-25高三下·福建福州·开学考试）若函数fxxa,x0,的图象如图所示，则函数

gxlogaxloga2x的图象大致为（）

A．B．C．D．

2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数ylogaxc（a,c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，

则下列结论中成立的是（）

A．a1，c1B．a1，1c0

C．0a1，c1D．0a1，1c0

x

3．（24-25贵州六盘水·期末）如图，①②③④不可能是函数ya或ylogax（其中a0且a1）的部分

图象的是（）

A．①B．②C．③D．④

x

4．（24-25湖南岳阳）若如图是函数fxlogaxb（a0且a1，bR）的大致图象，则函数gxab

的大致图象是（）

A．B．C．D．

考向九对数函数的对称性

【例9-1】（24-25高三下·广西柳州·阶段练习）若函数f(x)ln(4x21bx)是奇函数，则b的值为（）

A．2B．2C．-2D．4

【例9-2】．（2025·福建厦门·一模）若函数fxlneax61x的图象关于直线x3对称，则fx的值域为

（）

A．ln23,0B．ln23,C．ln32,0D．ln32,

【一隅三反】

2x

1.．（24-25北京·期中）关于函数fxln的性质，下列说法正确的是（）

2x

A．fx在2,2上是增函数，且曲线yfx存在对称轴

B．fx在2,2上是增函数，且曲线yfx存在对称中心

C．fx在2,2上是减函数，且曲线yfx存在对称轴

D．fx在2,2上是减函数，且曲线yfx存在对称中心

2．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（）

1x

A．f(x)cos(sin2x)B．f(x)lg

1x

xx

x122

C．f(x)log441xD．f(x)

22x2x

4

3．（24-25湖北）若函数fxlog2a为奇函数，则实数a的值为．

x2

考向十对数函数的实际应用

【例10-1】（2025·甘肃）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C

S

取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足CWlog(1)，其中S是信道内信号的平均功率，N是

2N

S

信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，

N

S

而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（）(附：lg20.3010)

N

A．10%B．20%C．30%D．40%

【例10-2】（2025安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a的31次方是个35

3435

位数，那么根据1034a311035，取常用对数得到lga，即可得到1.09lga1.13，由下面的对数表可

3131

知这个数是13，已知某个正整数的62次方是个49位数，则该正整数是（）

x23567911121314

lgx0.300.480.700.780.850.951.041.081.111.18

A．5B．6C．7D．8

【一隅三反】

1．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量E（单位：

焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.81.5M．2025年1月7日西藏日喀则市发生里氏6.8级地震，

E

1

释放出来的能量为E1，2025年1月10日山西临汾市发生里氏4.1级地震，释放出来的能量为E2，则（）

E2

A．10B．4.05C．100.05D．104.05

2．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾

分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上

一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（）（参考数据：lg1.20.079，

lg20.301）

A．2028年B．2029年C．2030年D．2031年

3．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需

求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025

年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突

破7500PetaFLOPS？（）

（参考数据：lg20.301，lg30.477，lg50.699）

A．2026年B．2027年

C．2028年D．2029年

考向十一反函数

x

【例11-1】（23-24湖南株洲）已知函数f(x)logax与g(x)aa0,a1互为反函数．若f(x)lnx的反函数

为g(x)，则g(2)（）

A．ln2