2026年中考数学二轮复习-二次函数压轴题（面积问题）

2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题(面积问题)

1.如图，抛物线y=。％2+"一4与x轴交于点4(一2,0)和点8(4,0),与.y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)若点P是直线BC下方抛物线上的动点，连接PC和PB，当ABPC的面积最大时，求点尸

的坐标及面积的最大值.

2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与％轴交于点48(点8在点力右侧),4点坐标为(一3,0),

⑵求A/IB。的面积；

(3)点P是抛物线第二象限内的一个动点，若△4BP的面积是△48C面积的点求点P的坐标.

3.如图，直线y=-％+4与抛物线y=-：/+.+c交于人，B两点，点A在y轴上，点

(I)求抛物线的表达式；

(2)在第三象限的抛物线上存在一点P,使得APB。的面积是△AB。面积的2倍，求点P的坐

标以及Az48P的面积.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+、+c的图像与y轴交于点8(0,4),

与x轴交于点4(一1,0)和点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)求△8。。内切圆的面积；

⑶在抛物线上是否存在点P,使得AB。。的面积等于|?如果存在，那么这样的点有几个？

如果不存在，请说明理由.

5.如图①，抛物线y=。/+以一3与％轴交于力(-4,0)和点3(1,0),与y轴交于点。，点P是

直线下方抛物线上的点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当^PAC的面积是4力BC面积的g时，求P点的坐标；

(3)如图②，点M是在直线AC上方的抛物线上一动点，当NM4。=/(MC时，求点M的坐标.

6.抛物线y=Q+十k与人轴交丁A,4两点，与)，轴交丁点C(0,-3).

试卷第2页，共6页

(1)抛物线的对称轴是直线一，々的值是「

(2)若抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，AAMB的面积最大？

求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标.

7.如图，抛物线y=—：/—无+4与x轴交于F,B两点(人在8的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点4、点B的坐标;

⑵求△718。的面积：

(3)P为第二象限抛物线上的一个动点，当P的坐标是什么时，△/CP面积有最大值，是多少？

8.如图，已知抛物线、=。/+|%+4的对称轴是直线丫=3,与x轴相交于4,8两点(点

B在点A右侧)，与)，轴交于点C.

(1)求抛物线表达式；

(2)求4,8两点的坐标；

(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与8、。重合)，是否存在点P,

使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形BPC的最大面积；若不存在,

请说明理由.

9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a/+b%经过做4,0),8(1,3)两点.P是抛物

线上一点，且在直线48的上方.

V

⑴求抛物线的表达式；

(2)若404B面积是△P4B面积的2倍，求点P的坐标；

(3)如图，0P交AB于点CPDIIBO交4B于点。.记△CP6,△8。。的面枳分别为工，S2,判

断?是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

52

10.如图，抛物线y=m(x-1)(%-a)(m>0,a>1)与x轴交于4、B两点(8在4的右侧)，

直线y=-mx与抛物线相切.

(I)求a的值；

(2)若直线y=—mx上的点C(l,—m)满足△。。4八OBC,求直线BC和抛物线的解析式；

⑶在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形4BPC面积最大？

若存在，请求出点P的坐标，并求四边形4BPC面积的最大值；若不存在，请说明理由.

11.在平面直角坐标系中，抛物线y=一义2+bx+。与八轴交丁人(-1,0),3(4,0)两点，与y轴

交于点C.

试卷第4页，共6页

⑴求抛物线的解析式；

(2)点。为第一象限内抛物线上一动点，连接BD,CD.

①当点。运动到何处时，CD=BD?请直接写出点。的坐标：

②当点。运动到何处时，么BCD的面积最大？求出点。的坐标和ABC。面积的最大值.

12.抛物线丫=a/-bX-2与％轴交于4B两点,与y地交于C点，且。8=2。。=4。4

育线=-+九与抛物线交于"O,E两点(点。在点E的左小)，连接8C.

(2)如图1,当直线“IBC时，连接OD,OE,若△DOE的面积被y轴分成的两个三角形的面积

比为1:4时,求71的值;

(3)如图2,当直.线，1BC时，垂足为H,且点H在线段BC上，当有最大值时，求九的

值.

13.如图，二次函数y二合一2%-3图象与x轴交于A,8两点(点4在点8左侧)，与)，

轴交于点C.

(1)求A,8两点的坐标.

(2)若点。是直线BC下方抛物线上的动点，当△DBC面积是△DB。面积的一半时，求点。坐

标.

(3)连接/IC,BC,若点、E的抛物线上的一个动点，且满足NCBE=45°-〃C。，求点E坐标.

14.如图1,抛物线y=-x2+bx+c与％轴交于4B两点，与y轴交于C,已知点8坐标为(3,

0),点C坐标为(0,3).

(1)求抛物线的解析式：

(2)点P为直线8C上方抛物线上的一点，当△P8C的面积最大时，求点P的坐标及△尸8C的面

积的最大值；

(3)如图2点M为该抛物线的顶点，直线MDlx轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N

到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系％Oy中，抛物线Z：y=a/-2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B

两点(点4在点B的左侧)，其顶点为C,。是抛物线第四象限上一点.

(2)当Q=1时，若△4CD的面积与△480的面积相等，求tanzi/lBO的值；

⑶在(2)的条件下，将原抛物线向右平移，使得平移后的抛物线经过点D,过点(k,0)作不轴

的垂线i,已知在直线i的右侧，平移前后的两条抛物线都递减，请直接写出k的范围.

试卷第6页，共6页

《2026年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题(面积问题)》参考答案

1.(l)y=|X2-X-4

(2)P(2,-4)；面积的最大值为4

【分析】考查二次函数解析式(交点式)、一次函数解析式、三角形面枳最值(铅垂高法);

核心技巧是用铅垂高PH表示面积，转化为二次函数求最值；易错点是铅垂高计算时

符号错误，或配方时符号出错.

(1)利用交点式设抛物线，代入C点求〃；(2)作铅垂线P”,将△8PC面积拆分为两个小

三角形面积之和，转化为二次函数求最大值.

【详解】(1)由题意得：y=a(x+2)(%—4)=a(x2—2x—8),

则—8a=—4,则a=

则抛物线的表达式为：y=g/-x-4；

(2)由抛物线解析式得C(0,-4),又8(4,0).

设直线BC的解析式为y=kx+8,将8(4,0)、C(0,—4)代入:

f0=4/c+/)

I-4=h

将b=-4代入0=4k+b.得4k-4=0=k=l.

故直线8c的解析式为：y=x-4.

过点，作轴交于点H,

2-x-4)

则PH=%-4--x-4)=z+2x,

则S△^PC=SS△PHB，

11

=-xP/7xx+-xPHx(4-%)

1

=-xPHx(x+4-x)

乙

1

=-xPHx4

乙

答案第1页，共29页

=2xPH

将PH=-1x2+2x代入面积公式：

1.

SABPC=2x(--x2+2x)=-x2+4x

乙

S>BPC=-(x-2)2+4

即ABPC的面积的最大值为4,此时x=2,则点P(2,—4)

2.(1)B(1,O),C(-l,4)

(2)8

(3)P(-V2-1,2)

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴，用待定系数法求

解函表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，是解题的关键.

(1)根据二次函数的对称性，结合点A的坐标，即可求出点B的坐标，将点A和点B的坐

标代入表达式，求出。和沙的值，即可求出顶点C的坐标；

(2)根据Su.=-九即可求解；

(3)先得出SMBP=\S^ABC=4,再根据点P在第二象限，得出力>>0,xP>0,根据三角

形面积公式得出蚱=2,壬蚱=2代入得：一/-2%+3=2,求解即可.

【详解】(1)解：设点B横坐标为x,

〈A点坐标为(-3,0),对称轴为％=-1,

解得：x=1,

J8(1,0)，

把(一3,0),8(1,0)代入、=。工2+/^+3得：

(0=9。-3b+3

I0=a+b+3'

解得：忆U，

lb=-2

・•・抛物线表达式为y=-X2-2X+3=-(x+l)2+4,

AC(-1,4)；

(2)解：V/l(-3,0),5(1,0),

"8=1—(-3)=4,

答案第2页，共29页

・“△48c="8%=，x4x4=8

(3)解：••・△/IBP的面积是a/lBC面积的5

••^AABP=5sAz18c=4，

•・•点尸在第二象限,

•,yP>0,xP>0

•*-SAABP=^AB•yp=3x4xyp=4，

解得：yP=2,

把=2代入得：-2x+3=2,

解得：Xj=V2-1(舍去)，x2=-V2-1,

/.P(-V2-1,2).

3.(l)y=-1x2+x+4

(2)P(-4,-8),ShABP=20

【分析】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达

式的方法和步骤.

(1)先求出点人和点B的坐标，再把点人和点8的坐标代入y=—3产++c,求出力

和c的值，即可得出抛物线表达式；

(2)易得•。8=8,则5心80=2sMBO=^B•\yP\=16,进而得出力,=-8,

求出y=-8时自变量的值,则P(-4,-8),连接4P,BP,OP,根据S”.=S9B。++

S“p。，即可求解.

【详解】(I)解：把％=0代入y=-x+4得：y=4,

••"(0,4),

把y=0代入y=-%+4得0=-x+4,

解得：%=4,

・・・8(4,0),

把4(0,4),8(4,0)代入y=-1x2+bx+c得：

(4=c

I。二-8+4b+c'

答案第3页，共29页

解得：F二:,

lc=4

••y=-1x2+x+4.

(2)解：V/l(0,4),8(4,0),

：,OA=4,OB=4,

•“△ABO=^OA-0F=1x4x4=8,

•••△PB。的面积是448。面积的2倍，

=

••SAPBO=2sAABO1'\yP\=16,

即gx4x\yp\=16,

解得：\yp\=8,

•・•点P在第三象限，

yP=—8,

把y=-8代入y=-^x2+x+4得-8=-^x2+x+4,

解得：与=-4,x2=6(舍去)，

/.P(-4,-8),

连接AP,8P,0P,

••SA/»8P=SAABO+S^PBO十S&APO=4+8+^OA>\xP\=12+1x4X4=20.

48

4.(l)y=--Xo2+|X+4

(2)内切圆的面积为TT

⑶存在这样的点P，这样的点有2个.

【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2)如图，记OQ为△BOD的内切圆，内切圆的半径为r,E,尸,G为切点，连接8Q,QO,DQ,

QE,QF,QG,结合直角二角形的内切圆的性质求解即可;

答案笫4页，共29页

(3)设P的坐标为P%+4),到)，轴的距离为㈤,则x4|x|=解出%=±

进而得出P点坐标.

【详解】(1)解：把点力(一1,0)和点8(0,4)代入二次函数y=Q/+?%+c中得：

0=(-l)2a+-x(-1)+c

3>

4=c

解得：卜=一£,

.c=4

・••二次函数的解析式为：y=-；x2+^+4.

(2)解：如图，记OQ为的内切圆，内切圆的半径为r,E,F,G为切点，连接8Q,QO,

DQ,QE,QF,QG,

：.OF=OEtBF=BG,DE=DG,/-QFO=Z-QEO=LFOE=90°,

工四边形OEQ尸为正方形，

：.0F=QF=r,

x

•*i=3，x2=-1>

AD(3,0),

•••8(0,4),

：.BF=BG=4-r,DE=DG=3—r,BD=V32+42=5,

，4—r+3—r=BD=5,

解得：r=1,

・••内切圆的半径为L

因此内切圆面积S=nr2=n.

(3)解:存在这样的点P，理由如下：

如图，

答案第5页，共29页

设P的坐标为P（%,-#+1+4）,到y轴的距离为|%|,

,:SABOP=\BO-\X\=\,

・6x4|x|=|,

解得：％=±J,

4

2

把X=：代入y=-（/+gx+4中得：y=-gx（g+：x：+4,

即：y=B，

把x=_：代入y=_g%2+g%+4中得：丫=一：x+gx（_：）+%

即：y=-*

综上:论（透）、02W），

・•・满足条件的点p有两个.

5.(l)y=*+*3

44

⑵P(-2，W)

⑶M(2,J

【分析】(1)利用待定系数法求解即可：

⑵求解4c的面积是当x>6,设直加4c解析式为尸二丘+人可得直线/C解圻式

为y=—^x—3»设P(m,^m2+'m-3),则E(m,—|?n—3),求解PE=—^m—3—^m2—

，+3=-泞？-3m,可得gx4(-泞2一3m)=6,再进一步即可求出结果；

(3)设直线交y轴于D,证明AA。。三△AOC,求得。的坐标，同理得直线AD解析式为

y=；%+3,联立方程组，解方程组即可得出答案.

【详解】(1)解：把力(-4,U),8(1,0)代入［=0%2+法一3中得,

答案第6页，共29页

(16a—4Z?-3=0

Ia+b-3=0'

3

4

9，

4

，抛物线解析式为y=；x2+；x-3；

(2)解：在y=?/+2/-3中,

44

当x=0时，y=-3

•••C(0,-3),

如图，连接力P,CP,

•••0A=4,0C=3,OB=1,

•・•△P/C的面积是448C面积的芯

•••△PAC的面积是当x”6,

设直线4C解析式为y=kx+b1,

.(-4k+"=0

'I=-3

,3

...k=—4

①=-3

二直线4C解析式为y=一右丫一a,

设P(皿3瓶2+g7n-3),则E(m,-3),

•••PE=--m­3--7n2--7n+3=--m2-37n.

4444

x4(-：加2-3血)=6,

解得：机i=血2=-2,

答案第7页，共29页

(3)解：如图，设直线交y轴于D,

•••LMAO=404C,0A=OA,/.AOD=Z.AOC=90°,

•••LAOD三△HOC(ASA),

二OD=OC=3,

•••0(0,3),

二同理可得：直线4D解析式为y=：x+3.

,y=^x+3

联立《39，

y=-x2+-x—3

解得匕二或匕二14(不符合题意舍去)，

y—7(y-u

・•.M(2,J

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质和

判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关健.

6.(l)x=-1,-4

(2)P(-l,-2)

⑶当点M运动到抛物线的顶点时，的面枳最大为8,点M的坐标为(-1,-4)

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，面积问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌

握二次函数的性质是解题的关键.

(1)根据解析式可得抛物线的对称轴为直线无二-1,将点C(0,-3)代入解析式，待定系数

法即可求解；

(2)连接力C,交对称轴于点P,根据两点之间，线段最短可得点P即为所求，求得直线4c的

解析式，令％=-1,即可求解.：

(3)由于线段A3为定值，所以当M点在抛物线的顶点上△力8M的面积最大，由A、B.M

三点的坐标即可得出48及高，再由三角形的面积公式即可得出结论.

答案第8页，共29页

【详解】(1)解：抛物线y=(x+I/+k的对称轴为直线％=-1,

把C(0,-3)代入y=(x+I)2+Zc

得-3=1+k,

•••k=-4,

故答案为：x=-1,—4：

(2)解:连接AC,交对称轴丁点P,

：-PA+PC的最小值为4c的长，此时点P即为所求

对于y=(%+1)2-4,令y=0,则(％+1)2—4=0,

解得必=1，%2=-3,

A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),

设直线4C的关系式为：y=mx+b,

把4(一3,0),C(0,-3)代入y=m%+b

得｛-3胃早,

解得圈二，

•••直线力。的关系式为y=-%-3,

当无=—1时，y=l-3=-2,

二P点坐标为(-1,一2)；

(3)解：如图，

答案第9页，共29页

依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时.，ZiAMB的面积最大.

V抛物线表达式为y=(x+I)2-4,

・•・抛物线的顶点坐标为(一1,-4),

.•・M(-1,-4),

••・△的最大面枳S0M8=1X(1+3)X4=8.

7.⑴点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(2,0)；

⑵12；

(3)当点。的坐标是(-2,4),△4CP的面积有最大值，最大值是4.

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二次

函数与几何的综合.

(1)解方程一：/一%+4=0,即可求出抛物线与工轴交点的坐标；

(2)分别求出点4、B、。的坐标，根据点的坐标可得4B=6、0C=4,根据三角形的面积公

式求解即可；

(3)过点P作PDIIy轴，交AC于点。，利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标是

(X,-1X2-X+4),则点D的坐标是(%,X+4),根据SMCP=SMDP+SKDP，可得S“CP=

-(x+2)2+4,根据二次函数的性质求出点P的坐标和44CP面积的最大值.

【详解】(1)解：解方程/一%+4=0,

可得：Xi=-4,x2=2,

•••点4在点B的左侧，

•••点、A的坐标是(一4,0),点、B的坐标是(2,0)；

(2)解:当％=0时,

可得：y=-^x2—x+4=4,

答案第10页，共29页

点C的坐标是(0,4),

OC=4,

••,点A的坐标是(一4,0),点8的坐标是(2,0),

•••AB=6,

:.S6ABC=三-OC=-x6x4=12：

22

(3)解：如下图所示，过点P作POIIy轴，交AC于点0,

设直线力。的解析式是y=kx+b(k*0),

把点力(-4,0)和点C(0,4)代入y=kx+b(k丰0),

可得：「4)+b=0,

Ib=4

解得：E=:,

3=4

.••直线4C的解析式是、=x+4.

设点P的坐标是卜,一1%2-％+4),则点。的坐标是(％x+4),

PD=--x2-x+4-x-4=--x2-2%,

22

,:S&ACP=^^ADP+SMDP»

2

•••S^ACP=1(x+4)(-1x-2x)+1(0-X)(一#一2M),

2

整理得：S^ACP=—x—4x=—(x+2)2+4,

二当％二-2时，△ACP的面积有最大值，最大值是4,

当％=一2时，一：％2-x+4=X(一2>+2+4=4,

二点P的坐标是(-2,4),

二当点。的坐标是(-2,4),UCP的面积有最大值，最大值是4.

8.⑴y=-^x2+|x+4

(2)点力的坐标为(一2,0),点8的坐标为(8,0)

答案第II页，共29页

(3)存在点P(4,6),使ABPC的面积最大，4BPC面积的最大值为16

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：

(1)根据对称轴公式可以求出从而可得抛物线解析式，

(2)解出抛物线解析式y=0时的两个根，即可得到48的坐标；

(3)根据解析式可求出C点坐标，然后设直线8C的解析式为y=kx+力(kHO),从而可求

该解析式方程，假设存在点P,使三角形ABPC的面积最大，设点P的坐标为1,一；/+,工+

4),然后过点P作PDlly轴，交直线BC于点D,从而可求答案.

【详解】(1)解：•・•抛物线的对称轴是直线％=3,

3

———=3,

2a

解得。=一;，

4

，抛物线的解析式为：y=+4；

(2)解：当y=0时，-1一+,%+4=0,

解得与=-2,必=8,

・••点A的坐标为(一2,0),点8的坐标为(8,0)；

(3)解：存在；

当％=0时，y=-2

-4X+-2X+4=4,

••・点C的坐标为(0,4),

设直线8c的解析式为y=kx+b也+0),

将B(8,0),C(0,4)代入y=/ex+b得,上：］；0,

解得卜=一1

.b=4

・•・直线8c的解析式为y=-1x+4,

假设存在点尸，使三角形A8PC的面积最大，

设点尸的坐标为(匕一：/+|x+4),

如图所示，过点P作POIIy轴，交直线BC于点0,

答案第12页，共29页

则点D的坐标为-gx+4),

则P0=--X2+-%+4-(--X+4^=--x2+2x,

42\2/4

2

,SAP8c=：P。♦。8=：x8(-(/+2%)=一第2+8x=-(%-4)+16

・••当％=4时，ZiBPC的面积最大，最大值是16,此时P(4,6)；

・•・存在点P(4,6),使△BPC的面积最大，aBPC面积的最大值为16.

9.(l)y=-x2+4%

(2)P(2,4)或(3,3)

(3)见解析

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式；

（2）利用待定系数法求出直线的解析式，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离列方程

可得到点P的坐标；

<3）利用相似三角形的判定与性质得到相似比即可得到金的最大值.

【详解】（I）解：将4（4,0）,8（1,3）代入y=a/+加

得,16Q+4/）=0

'Ia+b=3'

解得:｛葭;1■

，抛物线的解析式为：y=-x2+4%；

（2）解：设直线45的解析式为：y=kx+C,

将“（4,0）,8（1,3）代入y=kx+£得匚;，

解得：（\=，

tt=4

/.直线的解析式为：y=-%+4,

•・・力（4,0）,B（l,3）,

=X

•"△0A824X3=6,

答案第13页，共29页

•AOAB=2s&PAB=6»

即SAPAB=3»

过点P作PM1%轴于点M,PM与A8交于点N,过点B作BE1PM于点E,如图,

•­ShPAB=S.PNB+S“NA=\PNxBE+^PNXAM=\PN=3,

:・PN=2,

设点P的横坐标为m,

P(m,-m2+4m)(1VmV4),N(m,-m+4),

/.PN=-m24-4m—(—m+4)=2,

解得：机=2或zn=3；

・・・P(2,4)或(3,3)；

(3)解：在存在最大值.理由如下：

TPOIIOB,

:•乙DPC=乙BOC,Z-PDC=乙OBC,

：.△DPC~ABOC,

：.CP:CO=CD-.CB=PD-.OB,

,,Si_CD_PD

9

'S2~CB~OB

设直线48交y轴于点F,则F(0,4),

过点P作P"lx轴，垂足为H,P”交AB于点G,如图，

答案第14页，共29页

y

■:乙PDC=乙OBC,

二人PDG=乙OBF,

VPGHOF,

:,乙PGD=^OFB,

：.PD：OB=PG：OF,

△PDGs△OBF,

:,PD：OB=PGtOF,

设P(〃,一九2+4n)(1<n<4)

由(2)可知，PG=-n2+4n-(-n+4)=-n2+5n-4,

它盗港="G=T-，

VI<n<4,

.••当n=［时，”的最大值为

N2>2lo

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系内两点之间的距离,

平行线的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

10.⑴a=4

⑵抛物线的解析式为y=x/3x2-5V3x+4百，直线"的解析式为y=果一乎

■JJ

(3)存在，「仁，一竿)，最大值为萼

【分析】(1)联立函数解析式可得ma—l)a—a)=—mx,再根据△=。解答即可求解；

(2)由(1)可得抛物线丫=机(％-1)0-4),把y=0代入可得A(l,0),8(4,0),进而由

。(1,-血)得。。=仍下滔，再利用相似三角形的性质解答可求得加=百，即得求出点C的

坐标和抛物线的解析式，最后利用待定系数法求出直线8C的解析式即可：

答案第15页，共29页

(3)过点P作PHIIy轴，交BC于H,设P(t,遍d_56t+4⑹，则H(t,弓t一苧)可得

HP=一百产+型〜竽，进而得到SMCP=S&PHC+SNHB=一当产+86”8V3,可

*504

知当ABCP的面积取最大值时，四边形48PC面积最大，再利用二次函数的性质解答即可求

解.

【详解】(1)解：由m(x-1)(%-Q)=-mx,得m/-am%+am=0,

•・•直线y=一mx与抛物线相切，

/.△=(—am)2—4m-am=a2m2—4am2=0,

*/TH>0,

/.a2-4a=0,

解得Q=4或Q=0(不合，舍去)，

'.a=4；

(2)解：Va=4,

J抛物线y=m(x-1)(%-4),

当y=0时,m(x—l)(x-4)=0,

解得％1=1，x2=4,

•,"(1,0),8(4,0),

：.OA=1,OB=4,

•••点

ACA1斓I,

：・OC=V1+m2,

:△OSFOBC,

,OC_OA

“,OB~OC'

即匹正=

4x/l+Tn2

整理得，1+血2=4,

解得m=百或m=1不合，舍去)，

r.C(l,-V3),抛物线的解析式为y=V3(x-l)(x-4),

即抛物线的解析式为y=、后%2_5V3X+4V3,

设直线BC的解析式为y=kx+b,把8(4,0)和C(l,一百)代入得，

答案第161/1,共29页

0=4k+b

—V3=k+b'

(k=^

解得

,4V3

b=~—

・,・直线8c的解析式为y=日工一殍

:・HP=^t-^-(V3t2-5V3t+4V3)=-V3t2+半t一竽，

•・SA8CP=S4PHC+S&PHB

*(-'+16a166

x(4-l)

33

t2+8V3t-8V3,

2

S-BC的值固定，

当ABCP的面积取最大值时，四边形为8PC面积最大,

SAB”=-喙2+&倔-86=一苧(t一T+竽,

当1=轲，ABCP的面积取最大值，最大值为苧,

PQ竽），

S^ABC=T*仔-1)XV5=竽

四边形48PC面积的最大值二塔+停=萼,

3No

在直线BC下方抛物线上存在点P（|,一竿），使得四边形48PC面积最大，最大值为华.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角

形的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键.

答案第17页，共29页

11.(l)y=-x2+3x+4

⑵①(V5+1,而+1)；②点。的坐标是(2,6),△8co面积的最大值是8

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角

形面积是解题的关键.

(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)①设09T2+3亡+4),根据C0=80,列出方程求£的值即可求。点坐标；

②设0(科一m2+3m+4),过点。作DE||y轴交BC于点E,则+4),由此可得5=

-2m2+8m=-2(m-2)2+8,当m=2时，，△BCD面积的最大值是8,此时点。的坐标是

(2,6).

【详解】⑴解：•・•抛物线、=一/+以+。与％轴交于4(一1,0)，8(4,0)两点，把4(一1,0),

8(4,0)两点代入y=-x2+b%+c,

.1-1—b+c=0

••l-16+4b+c=0'

lc=4

，抛物线的解析式为:y=-%2+3x+4.

(2)①当％=0时，y=4,

."(0,4),

设。(t,—产+3£+4),

VCD=BD,8(4,0),

At2+(一£2+3£/=(t-4)2+(-F+3£+4)2,

解得：t=l+而或£=1一遥(舍)，

・••点。的坐标为(6+1,75+1)；

②设直线BC的解析式为：y=/cx+4,8(4,0),

A4/C+4=0,

解得：k=T,

・•・直线8c的解析式为y=-x+4,

丁点。为第一象限内抛物线上一动点，

，设。(m,-m2+3m+4),连接CD,BD,过点。作DEIIy轴交8C于点E,如图：

答案第18页，共29页

.\E(m,-m+4),

：,DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m,

••SABCD=/E-4=2DE=2x(—m2+4m)

=-2m2+8m=—2(m—2)2+8,

・•・当血=2时，△BCD面积的最大值是8.

把m=2代人—m?+37n+4,-m2+3m+4=6,

••・此时点。的坐标是(2,6)；

12.(l)y=jX2-1x-2,

(2)n=g

(3)当九=3时，DH-EH有最大值20

【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到相似三角形的判定和性质、待定系数法求

函数解析式、一元二次方程根与系数的关系，运用数形结合思想是解题的关键.

(1)根据。8=2。。=4。4,求出力(一1,0),B(4,0),代入y=Q/-法一2,即可求出解

析式，再将函数解析式的一般式化为顶点式即可求出顶点坐标；

(2)作DFly轴于点入作EGly轴于点G,由△DOE的面积被y轴分成的两个三角形的面

积比为1:4,可设点D横坐标为-则点E横坐标为4m,求出直线8c的解析式，进而得到

直线，的解析式，联立直线和抛物线的解析式，得到产-4义-4-2〃=0,再根据韦达定理

得到点。的坐标，代入y=1x+九即可求出"的值；

(3)过点H作HG1%轴于点G的垂线，过点。作。M1HG于点M,过点E作EN1HG于点N,

证△DMHs/kENHs/kBOC,联立直线8C:y=三%—2和直线=-2x+九，可得孙二

2

誓设。点横坐标为s,E点横坐标为3联立直线和抛物线的解析式，得到

几=0,根据韦达定埋得至Js+t=-l,st=-4-2n,利用相似二角形的性质得到OH=

答案第19页，共29页

任DM,EH=V5F/V,从而表示出利用配方法即可得到当?i=3时，DH•EH有最

大值20.

【详解】(1)解：令％=0,得y=-2,

二。(0,-2),

:.OC=2,

•••OB=2OC=4。4,

：.OB=4,。4=1,

AA(-l,0),5(4,0),

将4(-1,0),8(4,0)代入y=Q/-以一2中，

即(a+b-2=0

116(7-4^-2=0*

(a=\

解得1；，

二抛物线的函数解析式为y=^x2-1x-2,

・•・顶点坐标为—

设点。横坐标为一〃，，则点E横坐标为4〃人

设直线8。解析式为：y=kx+b,

将8(4,0),C(0,-2)代入得,

直线BC解析式为y=x2,

答案第20页，共29页

•••直线BC与直线，平行，

2

二直线，解析式为y=+n,

•••直线，与抛物线交于0、E两点，

1+n=打2-2,

222

整理得，x2-4%-4-2?1=0»

由韦达定理得，》1+必=4,

即一m+4m=4,

•••m=4-,

3

,"(TJ

将。(一O代入直线解析式y=^x+n,

得九二手

(3)如图，过点H作“G轴于点G的垂线，过点。作。M_L"GF点M,过点E作EN_L77G

图2-ILBC,直线8C:y=[x-2,

二直线，：y=-2x+n,

•・•直线11BC,

AZ.DHM+Z.BHG=90%

•:乙OBH+乙BHG=9。°,

Z-DHM=Z-OBH,

又•••乙DMH=Z.B0C=90°,

•••△DMHBOC,

•••DM||EN,

答案第21页，共29页

•••△DMHFENH,

•••△DMH淮ENHFBOC,

二前=丽=荷=V5'

DH=遥DM,EH=6EN,

:・DH-EH=5DM-EN,

y=-2

vjz2，

y=-2x+n

._2.+2)

•,孙一s'

设。点横坐标为s,E点横坐标为3

y=-2x4-n

y=-1xz2——3x—2n»

U22

•••：/+，-2-7i=0,

22

•••s4-1=-1,st=-4-2n,

•••DH-EH=5DM-EN

=5(如一S)Q-%H)

2

=5(t-xH-xH-st+s-xH)

=5[-XH2+(s+t)xH-st]

4.2464

=--n^+—n+—

ooo

4-

=--(Zn-3)2+20

•J

当九=3时，OH•EH有最大值20.

13.(1)4(-1,0),8(3,0)

(2)D(l,-4)

(3)E点坐标为(号，-芳)或(2,-3)

【分析】(1)当y=0时，解方程/一2%一3=0,即可求人、8点坐标；

(2)过。点作DMlly轴交BC于点M,设。(3t2-2t-3),则M(3£-3),由题意

可得：x3(-t2+2t+3)=2x1x3(-t2+3t),求出，的值即可求。点坐标；

(3)在OC上取点G,使0G=4。=1,直线BG与抛物线的交点为E；过点B作BN||y轴,

答案第22此共29页

过点C作CNIIX轴，交于N点，在CN上取点H,使HN=4。=1，直线与抛物线的交点

为E.

【详解】(1)解：当y=0时，x2-2x-3=0,

(x-3)(x+1)=0

解得％=-1或%=3,

：.A(-1,0),B(3,0)；

(2)当x=0时，y=-3,

・"(0,-3),

设直线BC的解析式为y=kx-3,

・・・3k-3=0,

解得k=1,

.*.y=X-3，

过D点作。M||y轴交于点M,

设。(3t2-2t-3),则M(3t-3),

:・MD=t-3-/+2£+3=-£2+33

/.△D5C®tR=ix3(-t2+3t),△。80面积=：乂3(t2+2t+3),

•一△DBC面积是△DBO面积的一半，

A-x3(-t2+2t+3)=2xix3(-t2+3t),

22

解得£=1或t=3(不符合题意，舍去)，

AD(1,-4)；

(3)*：0B=OC,

:.乙OBC=乙OCB=45°,

在。。上取点G,使。G=AO=1,

・"OBG=/LACO,

答案第23页，共29页

\^CBE=45°-^ACO,

:•乙CBE=45°-乙OBG=乙CBG,

*：G(0,-1),B(3,0),

・•・直线BG的解析式为y=：x-l,

当;％-1=M-2%-3时，解得％=3(不符合题意，舍去)或％=

«5J

•・项/-》

过点B作BNIIy轴，过点C作CNIIx轴，交于N点，

■:乙CBN=45°,

在CN上取点”，使HN=AO=1,如图

:.乙CBH=45°-LACO=乙CBE,

*：CH=2,

(2,-3),

工直线8"的解析式为y=3x-9,

当3%—9=/一2%-3时，解得％=3(不符合题意，舍去)或x=2,

：,E(2,-3)；

综上所述：E点坐标为E(吗一.)或(2,-3).

【点评】本题考直次函数的图象及性质，元二次方程，熟练掌握次函数的图象及性质，

等腰直角三角形的性质，能够确定8/所在的直线解析式是解题的关键.

14.(I)y=-x2+2x+3

(2)P(|,号，APBC的面积的最大值获

(3)存在，N(l,-4+2e)或(1,一4一2后)

【分析】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及了二次函数的解析式求解、二次函数

答案第24页，共29页

与面积及线段问题等知识点，利用待定系数法求出解析式，利用数形结合的思想解决面积问

题，本题掌握二次函数的相关性质是解题关键.(1)将点B(3,0),。(0,3)代入y=-x2+bx+c

即可求解；

(2)连接OP,根据，8”=S&OCP+S&OBP-Sgoc可确定当仆P8C的面积最大时，点P得坐

林；

(3)过点N作N/7J.MC于"，连接N4可求直线MC的解析式，可推出当N，=4N时，MN=

V2AN,据此即可建立方程求解.

【详解】(1)解：将点B(3,0),。(0,3)代入得:

0=-9+3b+c

3=c

解得:｛国

•••抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

(2