二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2二次函数的图象和性质26.2.2二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质第3课时二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质新课导入1．填空：函数开口方向对称轴顶点坐标最值y＝2x2y＝－x2＋2y＝3x2－5y＝0.5(x－6)2y＝－8(x＋4)2向上y轴或x＝0(0，0)最小值0向下y轴或x＝0(0，2)最大值2向上y轴或x＝0(0，－5)最小值－5向上x＝6(6，0)最小值0向下x＝－4(－4，0)最大值02.把抛物线y＝－2x2向左平移1个单位长度得到的抛物线是

(

)A．y＝－2(x＋1)2

B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1A探究新知探究：

解：先列表：x…-4-3-2-1012…y=-(x+1)2-1…-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.5…

描点、连线，画出这个函数的图象.开口_______，对称轴是__________，顶点坐标是_________.向下直线x=−1(-1,-1)根据图象，你能指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

y=-(x+1)2-1y=-

x2

向左平移1个单位y=-(x+1)2向下平移1个单位还有其他的平移方法吗？

y=-

x2向下平移1个单位y=-

x2-1向左平移1个单位y=-(x+1)2-1

函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？

①开口向下；②对称轴为直线x=−1；③顶点坐标为(−1，−1)；④当x=−1时,y有最大值为−1；⑤x<−1时，y随x增大而增大；x>−1时，y随x增大而减小.请依据上述问题中的发现，说说抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？你能由此归纳出y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的性质吗？y=ax2y=a(x-h)2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度y=a(x-h)2+k向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度y=ax2+k向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.y=a(x-h)2+ka>0，h>0a>0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.向上直线x=h（h，k）x=h时，y最小值=k二次函数y＝a(x−h)2+k的图象和性质：y=a(x-h)2a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=hx=h时，y最大值=k（h，k）例2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为y=a(x−1.6)2+3(0≤x≤3.6)由这段抛物线经过点（3.6，0），可得0

=a(3.6−1.6)2+3.

当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08m.知识归纳1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状______，位置______．把抛物线y＝ax2向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据______的值来决定．相同不同h，k2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向______；当a＜0时，开口向______；②对称轴是x＝______；③顶点是________；上下h(h，k)3．从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜h时，y随x的增大而____，当x＞h时，y随x的增大而_______，当x＝h时，取最小值，最小值为k；如果a＜0，那么当x＜h时，y随x的增大而______，当x＞h时，y随x的增大而______，当x＝h时，y取得最大值，最大值为k.减小增大增大减小例1例题与练习

C例2

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口向上对称轴为x＝1顶点坐标为(1，－5)

（1）y=2(x+3)2+5；

开口向上，1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况：对称轴为x=−3，顶点坐标为(−3，5).当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.（2）y=−3(x−1)2−2；开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为(1，−2).当x<h时,y随x增大而增大;当x>h时,y随x增大而减小.（3）y=4(x−3)2+7；

开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3，7).当x<h时,y随x增大而减小;当x>h时,y随x增大而增大.（4）y=−5(x+2)2−6.开口向下，对称轴为x=−2，顶点坐标为(−2，−6).当x<h时,y随x增大而增大;当x>h时,y随x增大而减小.2.说出下列二次函数的最大值或最小值：

3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是

(

)A．m＞1

B．m＞0

C．m＞－1

D．－1＜m＜0B

y3＞y1＞y2课堂小结1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和二次函数y＝ax2的图象之间的关系.随堂检测1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(

).A.y=3(x-2)2-1

B.y=3(x-2)2+1C.y=3(x+2)2-1

D.y=3(x+2)2+1C

B解：由函数顶点坐标是(1,−2)，3、