最大高度与最大面积问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4实际问题与二次函数第1课时最大高度与最大面积问题新课导入某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆．现在需要调往A县10辆，需要调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；解：(1)设乙仓库调往A县农用车x辆，则乙仓库调往B县农用车(6－x)辆，甲仓库调往A县农用车(10－x)辆，调往B县农用车(2＋x)辆．根据题意，得y＝30x＋50(6－x)＋40(10－x)＋80(2＋x)＝20x＋860(0≤x≤6).(2)求最低总运费是多少元？(2)y＝

20x＋860(0≤x≤6).∴y随x的增大而增大，∴当x＝0时，y最小值＝860.∴最低总运费是860元．∵k＝20>0，探究新知例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（単单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.解：对于二次函数h=−4.9t2+2.8t+11，

因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.请将二次函数h＝－4.9t2＋2.8t＋11化成顶点式，并指出其对称轴和顶点坐标；h＝－4.9t2＋2.8t＋11

你能解释该图像顶点横、纵坐标的含义？函数h=−4.9t2+2.8t+11的图象,直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？

例2

如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为xm，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题.(1)矩形的面积公式是什么？提出问题：(2)如何用x表示另一边？矩形的面积=长×宽面积S关于x的函数解析式是什么？20−2xS＝－2x2＋20x(3)由函数解析式S＝－2x2＋20x(0＜x＜10)可知抛物线的开口方向如何？所以面积S在何时取得最大值？

因为a

=−2<0，所以抛物线开口向下.

因为0<5<10，所以当x

=5时，面积S取得最大值.

即S=−2x2+20x

(0<x<10).

因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m2.在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义．如菜园的边长应为正数，即x>0，且20−2x>0，于是自变量x的取值范围是0<x<10.①根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：②确定自变量的取值范围；③根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；④根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.知识归纳一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最______(______)点，也就是说，当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__________.低高

例1例题与练习

某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为xm，面积为Sm2.(1)写出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；解：(1)∵矩形的一边长为xm，周长为12m，∴另一边长为(6－x)m，∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6.(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．(2)∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∴当x＝3，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2，这时设计费最多，为9×1000＝9000(元).例2

如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2.(1)求y与x之间的函数解析式．解：(1)y＝

x(30－3x)

(2)y有最大值．(2)y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值．

1．如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？解：由例2得，S=−2x2+20x.因为墙的长度为8m，

对称轴为x

=5，抛物线开口向下.所以当x

=6时，S有最大值S最大值

=−2×62+20×6=48m2因此当垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为8m时，菜园面积最大，最大面积是48m²。2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（単单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）的关系近似为h=30t−5t2（0≤t≤6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？解：抛物线化为顶点式为=−5(t2−6t+9−9)对称轴：t

=3，因为a

=−5<0，顶点坐标：(3，45).所以抛物线开口向下.所以小球运动到3秒时达到最高点.小球运动的最大高度是45米.h=30t−5t2=−5(t−3)2+45（0≤t≤6）3．用长12m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是

(

)A．9m2

B．2m2

C．6m2

D．8m2C课堂小结利用二次函数解决最大高度和最大面积问题．随堂检测1.已知一个直角三角形两条直角边的和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为()A.25

cm2

B.50

cm2

C.100

cm2

D.不确定B2.如图是一个长为20m，宽为16m

的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm，宽增加xm，要使修改后的花园面积达到最大，则x的值为(

)A.1 B.1.5 C.2 D.4C3.如图，在长20m，宽14m

的矩形花圃里建有等