北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》同步练习题（附答案）

第第页北师大版七年级数学下册《5.2简单的轴对称图形》同步练习题（附答案）一、单选题（满分24分）1．在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知△ABC中AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PB=BC．下面四个同学的做法，其中正确的是（

）A．B． C． D．2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上．若OD=6，△POD面积为9，则A．2 B．6 C．3 D．93．如图，在△ABC中，点D在BC上AB=AC=CD，BD=AD，则∠C的大小为（A．30° B．32° C．36° D．45°4．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（

）A．AD=BD B．∠CAE=∠C C．DM=EN D．C5．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（A．AD=CD B．∠ABP=∠CBP C．∠BPC=115° D．∠PBC=∠A6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD=6，CD=3，则AC的长是（A．7 B．8 C．9 D．107．如图，在△ABC中BC边的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于F，若∠BAC=50°，∠ACF=46°，那么∠BFE的度数是（A．58° B．60° C．62° D．65°8．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，连接CD，BF平分∠ABC交CD于点F，已知∠A=30°，∠ABC=100°则∠BFC的度数为（A．100° B．110° C．120° D．130°二、填空题（满分24分）9．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AD是∠A的平分线，且BD=3cm，则点D到AC边的距离是______10．如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有___个．11．如图是一风筝的骨架图，AC是BD的垂直平分线，E为垂足．若AB=2，四边形ABCD的周长为14，则CD的长度为______．12．如图，在△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，且CD=CE，若∠ADE=20°，则∠C的度数为13．如图，已知△ABC的周长是18 cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD=3cm14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，若△ABC的周长为26，AF=5，则15．如图ABCD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8cm，16．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC=1000m，BD=2000m，且CD=3000m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在三、解答题（满分72分）17．（9分）如图，已知锐角△ABC（∠B>∠C），请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点D，使DB=DC且点D到AC、BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法）18．（9分）如图，在△ABC中AB=AC,AD⊥BC于点D，E是AC上一点，连接DE，已知DE=AE．求证：DE∥19．（10分）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，过点A作AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连接AE．(1)求证：AB=EC．(2)若CD=8，AC=10，求20．（10分）已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F（1）连接CD、BD，求证：△CDF≌△BDE；（2）若AE＝5，AC＝3，求BE的长．21．（10分）如图，在△ABC中DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．(1)若△CMN的周长为18cm，求AB(2)若∠ACB=120°，求∠MCN的度数．22．（12分）如图①，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点DBD>AD，求证：BC−AC=BD−AD【尝试探究】在图①中，过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，连接OC．因为∠BAC的平分线与∠ABC的平分线交于点O，所以OD=______=______．所以CO是∠ACB的平分线……请同学们补充后面的解答过程．【类比延伸】如图②，在四边形ABCD中，各角的平分线交于点O，试判断AB、23．（12分）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中AB=AC，AD是中线，若∠C=58°则【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中AB=AC，AE=AF，AD、AG分别为△ABC和【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中AB=AC，AB=AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点参考答案1．A【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用PA+PB=BC得到PA=PC，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作AC的垂直平分线即可．【详解】解：∵PA+PB=BC而PC+PB=BC∴PA=PC∴点P为AC的垂直平分线与BC的交点．故选：A．2．C【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点P作PE⊥OB于E，根据三角形面积公式求出PE的长，再根据角平分线的性质可得PC=PE，从而得出答案．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E∵S∴∴PE=3∵OP平分∠AOB∴PC=PE=3．3．C【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理以及外角定理，解题的关键是掌握以上性质．根据等边对等角得出相等的角，根据三角形的外角定理得出角之间的关系，最后利用三角形内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵AB=AC=CD∴∠B=∠C=∠BAD∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠C∵BD=AD∴∠CAD=∠CDA=2∠C∵∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=180°∴5∠C=180°解得∠C=36°故选：C．4．C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求解即可．【详解】解：根据题意，DM是线段AB的垂直平分线，EN是线段AC的垂直平分线∴AD=BD,AE=CE∴∠CAE=∠C，故A，B选项正确，不符合题意；DM与EN不一定相等，故C选项错误，符合题意；∵C∴D选项正确，不符合题意；故选：C．5．D【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D．【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC∴AD=CD，∠ABP=∠CBP；选项A、∵∠A=40°∴∠ACD=∠A=40°∵∠A=40°∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠ABP=∠CBP=35∘≠∠A∠BCP=∠ACB−∠ACD=70°−40°=30°,∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=115°，选项C正确；故选：D【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键6．C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质推出AD=BD=6，即可求出AC的长．【详解】解：∵DE垂直平分AB∴AD=BD=6∴AC=AD+CD=6+3=9故选：C．7．C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到BF=CF，EF⊥BC，则∠FBC=∠FCB，∠BEF=90°，由角平分线的定义得到【详解】解：∵EF垂直平分BC∴BF=CF∴∠FBC=∠FCB∵BF平分∠ABC∴∠ABF=∠FBC∵∠BAC=50°∴∠ABF+∠FBC+∠FCB=84°∴∠FBC=∠ABF=∠FCB=28°∴∠BFE=180°−∠FBE−∠BEF=62°故选：C．8．B【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得∠ACD=∠A=30°，由三角形外角性质得∠BAF=60°，由角平分线定义得∠DBF=12∠ABC=50°【详解】解：∵DE是边AC的垂直平分线∴CD=AD∴∠ACD=∠A∵∠A=30°∴∠ACD=30°∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+30°=60°∵BF平分∠ABC交CD于点F∠ABC=100°∴∠DBF=∴∠BFC=∠BDF+DBF=60°+50°=110°．故选：B．9．3【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据角平分线的性质定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中∠B=90°，AD是∠A∴点D到AC的距离为BD的长，即3故答案为：3．10．4【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点．根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解．【详解】解：△APO为等腰三角形①以O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P此时OA=OP1=O②以A为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P此时OA=OP③作OA的垂直平分线，与直线l交于点P此时OP即满足条件的点P位置有4个故答案为：4．11．5【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得AB=AD=2，【详解】解：∵AC是BD的垂直平分线∴AB=AD=2∵四边形ABCD的周长为14∴BC=DC=故答案为：5．12．40°/40度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，进而求得∠CDE=70°，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵AB=AC，AD是∴AD⊥BC∵∠ADE=20°∴∠CDE=90°−∠ADE=90°−20°=70°∵CD=CE∴∠CED=∠CDE=70°∴∠C=180°−∠CDE−CED=180°−70°−70°=40°故答案为：40°．13．27【分析】本题考查了角平分线的性质，解题关键是将三角形分成三个等高的三角形，利用周长来求面积．先利用角平分线的性质得到O点到各边的距离相等，再将三角形分成3个三角形，将它们的面积相加即可．【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示：∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC∴OE=OD=OF∵OD=3cm，∴S=1=1==27cm故答案为：27．14．8【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出AC+BC=16，再得出AC=AE后即可求解．【详解】解：连接AE，∵△ABC的周长为26∴AB+BC+AC=26∵EF垂直平分AB∴AB=2AF=10∴AC+BC=16∵D为线段CE的中点∴CD=DE∵AD⊥BC∴AC=AE∴AC=EB∴AC+DC=EB+DE=∴BD=8．故答案为：8．15．40【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．作PE⊥BC于点E，根据AB∥CD，AD⊥AB，得到∠BAP=∠CDP=90°，根据BP平分∠ABC，CP平分【详解】解：过点P作PE⊥BC于点E∴∠BEP=∠CEP=90°∵AD⊥AB,AB∥CD∴∠BAP=∠CDP=90°∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCB∴AP=PE∴AP=PE=PD=∵BP=BP∴△EBP≌△ABP(HL)∴S同理可得：△ECP≌△DCPS∴四边形ABCD的面积=2故答案为：40．16．1000【分析】此题主要考查了最短路线问题，作B点关于直线b的对称点B′，连接AB′交b于点P，此时P点到A【详解】解：作B点关于直线b的对称点B′，连接AB′交直线∴BP=B∴AP+BP=AP+B′P≥AB′此时P过B′作B′M∥CD，延长AC与∴∵AC=1000m，∴AM=1000∴∠CAP=45°∴AC=CP∴P点与C点的距离是1000故答案为：1000．17．见详解【分析】作线段BD的垂直平分线与∠ACB的角平分线的交点即可．【详解】解：DB=DC，则点D在线段BC的垂直平分线上点D到AC、BC的距离相等，则点D在∠ACB的角平分线上如图所示∴点D即为所求点的位置．18．证明见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由AB=AC且AD⊥BC推出∠BAD=∠CAD；再由DE=AE，利用“等边对等角”得到∠CAD=∠【详解】证明：∵AB=AC∴∠BAD=∵DE=AE∴∠CAD=∴∠BAD=∴DE∥AB．19．(1)见解析(2)26【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE=EC，AE=AB，进而证明（2）根据题意求出AB+BD=8，再根据三角形周长公式计算，得到答案．【详解】（1）证明：∵EF垂直平分AC∴AE=EC∵AD⊥BC∴AD垂直平分BE∴AE=AB∴AB=EC；（2）解：∵AB=EC∴AB+BD=DE+EC=CD=8∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=8+8+10=26．20．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）连CD、BD，如图，根据角平行线的性质定理得到DE=DF，根据线段垂直平分线的性质得CD=BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE；（2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，再由Rt△CDF≌Rt△BDE得出BE=CF，进而解答即可．【详解】证明：（1）如图，连接CD、BD∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF又∵DG垂直平分BC∴CD＝BD在Rt△CDF和Rt△BDE中∵{∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中∵{∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）∴AE＝AF∵Rt△CDF≌Rt△BDE∴BE＝CF∵CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2∴BE＝2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质．21．(1)18(2)60°【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，【详解】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC∴AM