新人教版八年级上数学第十二章全等三角形培优题

全等三角形作为平面几何的入门与基石，其重要性不言而喻。它不仅是后续学习相似三角形、四边形等内容的基础，更能培养同学们的逻辑推理能力和空间想象能力。本章培优，我们将在熟练掌握全等三角形基本性质与判定方法的基础上，深入探讨一些综合性较强、技巧性较高的问题，旨在提升同学们分析问题和解决问题的能力。一、核心知识回顾与深化理解在进入培优专题之前，我们首先要确保对全等三角形的“三基”——基本概念、基本性质、基本判定——有扎实的掌握和深刻的理解。1.全等三角形的性质：*对应边相等；*对应角相等；*对应边上的中线、高线、对应角的平分线相等；*全等三角形的周长相等，面积相等。（*强调“对应”二字的重要性，在复杂图形中准确找到对应元素是解题的前提。*）2.全等三角形的判定方法：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（*注意这里的“夹角”，若为“对角”则可能不成立，如SSA情况*）*ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（*HL仅适用于直角三角形，是SSS的特殊情况*）二、常用辅助线作法与解题策略在解决一些较复杂的全等三角形问题时，往往需要添加辅助线，构造出全等的条件。以下是几种常用的辅助线作法及其体现的解题策略：1.“倍长中线”法：*适用场景：当题目中出现三角形一边的中线，且需要证明线段的数量关系（如相等、和差倍分）时，常考虑延长中线至两倍，构造全等三角形。*原理：通过延长中线，利用SAS构造对顶角相等和被延长的中线相等，从而得到全等三角形，实现线段或角的转移。2.“截长补短”法：*适用场景：当题目中需要证明一条线段等于另两条线段之和（或差）时。*“截长”：在较长线段上截取一段等于其中一条较短线段，再证明剩下的部分等于另一条较短线段。*“补短”：延长较短线段中的一条，使延长部分等于另一条较短线段，再证明延长后的总线段等于较长线段；或者将两条较短线段拼接起来，证明其长度等于较长线段。3.“角平分线”相关辅助线：*向两边作垂线：利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，构造全等的直角三角形（AAS或HL）。*截两边相等：在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形（SAS）。4.“利用已知中点或构造中点”：*适用场景：除了中线问题，当图形中存在中点，或可以通过构造中点来联系不同线段时。*原理：中点可以提供线段相等的条件，有时结合中位线定理（尽管中位线是下一章内容，但思想可以渗透）或倍长中线思想。5.“平移”或“旋转”思想的初步渗透：*适用场景：对于一些图形结构较为特殊，或有明显旋转对称关系的题目，可以尝试通过平移或旋转图形的一部分，使分散的条件集中，从而构造出全等三角形。（*此部分对八年级学生有一定难度，需结合具体例题引导*）三、典型例题精析例题1：倍长中线法的应用题目：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。分析：欲证AF=EF，直接证明似乎条件不足。已知AD是中线，即D为BC中点，且BE=AC。考虑到“中线”这个关键信息，尝试使用“倍长中线”法。延长AD至点G，使DG=AD，连接BG。这样可以构造△ADC≌△GDB（SAS），从而得到AC=BG，∠CAD=∠G。又因为BE=AC，所以BE=BG，进而得到∠G=∠BEG。而∠BEG与∠AEF是对顶角，所以∠AEF=∠G=∠CAD，故AF=EF。证明：延长AD至G，使DG=AD，连接BG。∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。在△ADC和△GDB中，AD=GD(所作)，∠ADC=∠GDB(对顶角相等)，CD=BD(已证)，∴△ADC≌△GDB(SAS)。∴AC=BG，∠CAD=∠G(全等三角形对应边相等，对应角相等)。∵BE=AC(已知)，∴BE=BG(等量代换)。∴△BEG是等腰三角形，∠G=∠BEG(等边对等角)。又∵∠BEG=∠AEF(对顶角相等)，∴∠AEF=∠CAD(等量代换)。∴AF=EF(等角对等边)。点评：本题通过倍长中线AD，成功将AC转移到BG，将∠CAD转移到∠G，从而利用等腰三角形的性质和对顶角性质，建立了AF与EF之间的联系。倍长中线是处理中线问题的“利器”。例题2：截长补短法的应用题目：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。分析：要证AB+BD=AC，这是典型的线段和差问题，考虑使用“截长”或“补短”法。思路一（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE。先证明△ABD≌△AED（SAS），得到BD=ED，∠B=∠AED。再利用∠B=2∠C，可证∠EDC=∠C，从而ED=EC，故AC=AE+EC=AB+BD。思路二（补短法）：延长AB至点F，使BF=BD，连接DF。则∠F=∠BDF。由∠ABC=2∠C，且∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F，可得∠F=∠C。再证明△AFD≌△ACD（AAS或ASA），从而AF=AC，即AB+BF=AB+BD=AC。证明（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中，AB=AE(所作)，∠BAD=∠EAD(已证)，AD=AD(公共边)，∴△ABD≌△AED(SAS)。∴BD=ED，∠B=∠AED(全等三角形对应边相等，对应角相等)。∵∠B=2∠C(已知)，∴∠AED=2∠C(等量代换)。又∵∠AED=∠EDC+∠C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)，∴2∠C=∠EDC+∠C。∴∠EDC=∠C。∴ED=EC(等角对等边)。∵AC=AE+EC，且AE=AB，EC=ED=BD，∴AC=AB+BD。点评：截长补短法的关键在于通过“截”或“补”，将分散的线段关系集中到一个三角形中，或构造出能证明全等的条件。本题两种方法均可，同学们可自行尝试“补短法”的证明过程。例题3：角平分线与全等综合题目：已知在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。分析：已知BD平分∠ABC，AD=CD。要证∠A+∠C=180°，直接证两角互补较难，可考虑构造全等三角形，将其中一个角“转移”，使其与另一个角组成平角或邻补角。过点D分别向BA的延长线和BC作垂线，垂足分别为E、F。利用角平分线性质可得DE=DF，再结合AD=CD，可证Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），从而∠DAE=∠C。因为∠DAE+∠BAD=180°，所以∠C+∠BAD=180°。证明：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F。∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等)。在Rt△ADE和Rt△CDF中，AD=CD(已知)，DE=DF(已证)，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。∴∠DAE=∠C(全等三角形对应角相等)。∵∠DAE+∠BAD=180°(平角定义)，∴∠C+∠BAD=180°(等量代换)，即∠A+∠C=180°。点评：当题目中出现角平分线时，向两边作垂线是一种非常重要的辅助线思路，它能直接利用角平分线的性质定理，快速构造出全等的直角三角形，达到转化角或线段的目的。四、培优训练与总结全等三角形的培优，不仅仅是做难题，更重要的是在解题过程中感悟数学思想，积累解题经验，提升逻辑思维能力。1.善于观察与联想：拿到题目后，先仔细观察图形，辨认已知条件中涉及的三角形，联想学过的判定方法和常用辅助线。2.“执果索因”与“由因导果”相结合：综合运用分析法（从结论出发，看需要什么条件）和综合法（从已知条件出发，能推出什么结论），找到解题的突破口。3.注重一题多解与多题归一：对于同一道题，尝试用不同的方法解决，比较优劣；对于不同的题目，总结其共性的解题思路和方法。4.规范书写过程：证明过程要做到步步有