【探究导学练】人教版七年级数学下册：二元一次方程组的概念（含答案）

t探究导学练】人教版七下数学10.1二元一次方程组的概念

课题10.1二元一次方程组的概念单元第十章学科数学年级七年级

学习通过用含有两个未知数的方程表示实际问题中的相等关系，理解二元一次方程（组）及其解的概念，

目标发展抽象能力。

重点二元一次方程（组）及其相关概念。

难点二元一次方程（组）及其解的定义。

探究过程

|日_、导入新课I引入思考,

问题1.请举例说明什么是方程？

答：含有的等式叫做方程，洌如：,等。

问题2.请举例说明什么是一元一次方程？

答：在方程中，只含有一未知数（元），并且未知数的指数是一（次），这样的方程叫做一元一次方程。例如

♦等。

|日二、新知探究本节课来研究：

本节我们借助实际问题中的数量关系,研究二元一次方程（组）。

问题：新疆是我国棉花的主要产地之一。近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式。某种棉大户租用

6台大、小两种型号的采棉机，lh就完成了8hm?棉田的采摘。如果大型采棉机lh完成2hm2棉田的采摘，小型

采棉机lh完成Ihm?棉田的采摘。那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？

思考：列方程要先找到相等关系.本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租

用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？

答：大型采棉机台数+_________台数=总台数，

大型采棉机lh采摘面积+采摘面积=lh采摘总面积.

即：x+=6

+y=8

观察：这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？

（1）都含有个未知数x和y

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（2）未知数的项的次数是一

（3）方程的左右两边都是—

归纳：可以看出，在上面两个方程中.每个方程都含有一个未知数（x和y）,且含有未知数的式子都是.

含有未知数的项的次数都是一，像这样的方程叫作二元一次方程c

想一想：前面的问题中，未知数x,y必须同时满足这两个方程

这样方程x+y=6①和2x+y=8②这就组成了一个方程组

归纳：这个方程组中含有一个未知数，且含有未知数的式子都是—，含有未知数的项的次数都是一，一共有

一个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.

探究：满足方程①：x+y=6,且符合问题的实际意义的■1y的值有哪些？把它们填入表中.

X

y

上表中哪对x,y的值还满足方程②：2x+y=8?

归纳1：一般地，使二元一次方程两边的值_____的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.

想一想：如果不考虑方程x+y=6与上面实际问题的联系，那么x=—l,y=；x=,y=5.9；…也都是

这个方程的解.所以，一个二元一次方程有解

我们还发现，x=—,y=—既满足方程①，又满足方程②.也就是说，x=2,y=4是方程①与方程②的

解.我们把x=2,y=4叫作二元一次方程组的—，这个解通常记作

归纳2：一般地，二兀一次方程组的两个方程的解，叫作二兀一次方程组的解.

请你用所学知识解决前面的问题：

解：设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意可列方程组

这个方程组的解为

答：这个种棉大户租用了一台大型采棉机，一台小型采棉机。

例1：已知3xm-,+（n+2）y=10是关于x,y的二元一次方程，求m,n的值.

分析：x的指数必须是1,y的系数必须不等于0,上述方程才是二元一次方程.

例2：列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.

加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位

工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？

|口三、课堂练习|知识技能类作业、

一、必做题1：

1.下列是二元一次方程组的是（）

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[1,.x=1

A.歹+y=4B.

x-y=ly=2

2.下列四组数是二元一次方程2x-y=6的解的是（）

俨=1（x=4（x=2X=3

BD.

卜=4[y=2[y=4y=2

3.如果官二；是二元一次方程组二;的解，那么小匕是（）

A.a=-1,b=0B.a=1,b=0C.a=0,b=1D.Q=0,b=-1

二、选做题1：

4.已知｛jl]是方程2x-3y+Q=°的解，

（1）求Q的值.

（2）请将方程2x-3y+Q=0变形为用工的代数式表示y.

|综合拓展类作业》

5.已知关于”的方程矶需5”°.

（1）请直接写出方程x+2y=5的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足x+y=0,求〃?的值；

im四、课堂小结说一说：今天这节课，你都有哪些收获?

|目五、作业设计|知识技能类作业》

三、必做题2：

6.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

x+2y=6

A.B.

（.5%—y=7.xy=1

3x—y=5

-y=1

D.

£+z=0"2y=6

7.下面4组数值中，是二元一次方程3x-y=l的解的是（）

1

Zo

VBX=,--

«.c3

A.Hy=1lxD.

X(y-o

8.关于刈y的二元一次方程组3二]的解是[J：：其中'的值被盖住了，不过仍能求出m.则m的值

是.

四、选做题2：

9.如臭Lf1：一二中的解X、N相同，求小的值・

IX-1771—1）y—0

I综合拓展类作业〉

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10.按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下：

X-y=1（x+y=lfx4-y=1（x=_

x-y=r-2y=4'（x-3y=9'（y=_....

Ix=1（x=2（x=3（%=_

y=o[y=_l[y=_2，（y=_....

!（I）依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处.

（2）猜想第〃个方程组和它的解并验证.

（3）若方程组（:范二:6的解是求用的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律・

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】A中，由「+y=4,不是二元一次方程组，所以A不符合题意；

{x-y=l

B中，由是二元一次方程组，所以B符合题意；

C中，由不是二元一次方程组，所以C不符合题意；

D中，由不是二元一次方程组，所以D不符合题意.

故选：B.

【分析】本题考查了二元一次方程纽的定义，由两个结合在一起，并含有两个未知数的一次方程叫二元一次

方程组，结合选项，据此定义，逐项分析判断，即可得到答案.

2.【答案】B

【解析】【解答】

解：

A、代入计算左边2xl-4=-2,-2x6,不是方程的解•

B、代入计算左边2x4-2=6,6=6,是方程的解•

C、代入计算左边2x2-4=。，0工6,不是方程的解•

D、代入计算左边2x3-2=%4=6,不是方程的解•

故答案为：B.

【分析】根据二元一次方程解的定义：将未知数的值代入方程计算，使等号成立，这样的解即为方程的解,

计算并逐一判断即可解答.

3.【答案】B

【解析】【解答】

解:代入第案;得;

[Q+2b=1

5+2Q=2

L：o

故答案为：B.

【分析】根据二元一次方程解的定义：将未知数的值代入方程计算，使等号成立，这样的解即为方程的解,

<=2代入偌:器;得计算第b的值，解答即可.

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4.【答案】(1)解：把｛获二代入2x—3y+a=0得：

2x(-1)—3x2+(3=0

解得a=8

(2)解：由a=8得2x-3y+8=0

移项得：-3y=-8-2x

两边同时除以-3得：y=包客

【解析】【分析】

(1)、根据二元一次方程解的定义把代入2x—3y+a=0得2x(-1)—3X2+Q=0,计算可

得a的值，解答即可.

(2)、由a=8得2x—3y+8=0,先移项，再由等式的性质两边同时除以-3得、=殳守，解答即可.

5.【答案】⑴解:g：tg：2

(2)解：由方程组的解满足％+y=0代入％+2y=5得：y=5

/.x=-5

把x=-5,y=5代入x-2y+mx+9=0得：

-5-10-5m+9=0

6

-

解得m=5

【解析】【解答】

解：(1)由％+2y=5变形得：x=5-2y,

当y=l时，x=3；

当y=2时，x=l

•••正整数解为

故答案为：g：tg：2

【分析】

(1)、将方程％+2y=5变形得：x=5-2y,根据x,y为正整数，从1依次取值计算，即可得到方程的所有

正整数解，解答即可；

(2)、将x+y=0代入x+2y=5得：y=5,由此计算可得x=-5,再把x=-5,y=5代入x-2y+mx+9=0,计算可

得a的值，解答即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：二元一次方程组的是

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故答案为：A.

【分析】根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数的两个一次方程组成的方程，判断即可解答.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：A.3XO—1=—1H1,・♦・｛；；：不是二元一次方程3x—y=l的解；

B.3x(-1)-2=-5H1,••・｛不是二元一次方程3K-y=1的解；

C.3x9—O=1,・••卜是二元一次方程3%—y=1的解；

3(y=0

D.3x2-(-5)=11H1,，｛;:工不是二元一次方程3%—y=1的解；

故选：C.

【分析】将各组解代入方程逐项进行判断即可求出答案.

8.【答案】5

【解析】【解答】解：把]；彳代入％+y=5,得3+口=5,

解得：□=2,

故方程的解为｛；片，

把1:代入％-my=-7,得3-2m=-7,

解得m=5,

故答案为：5.

【分析】将方程组的解代入方程x+y可得口=2,再代入方程my=-7即可求出答案.

9.【答案】解：:'二4①的解x、y相同

lx-(m-l)y=6②

x=y

把x=y代入①解得：x=2,y=2；

把x=2,y=2代入②