二项式定理 8种高频考点讲义-2026高考数学专项（含答案）

二项式定理8种高频考点讲义2026高考数

学专项含答案

二项式境理8种富频考点许义

考点目录

求指定项的系数两个二项式乘积展开式的系数问题

三项展开式的系数问题二项展开式的系数和问题

求系数最大（小）的项由二项展开式的系数或系数和求参数

二项式定理的实际应用问题杨辉三角

考点一求指定项的系数

【知识点解析】

（a+b）”型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理展开或+1=。忆"一人‘b”，化简得展开式.

步骤2:令展开式次数等于题目所求次数,求k.

步骤3:将k代入展开式得系数.

【例题分析】

1.（25—26高二下,内蒙古鄂尔多斯•月考乂/+岑）的展开式中常数项为（）

A.6V2B.30C.40V2D.60

2.（25—26高二下・山西忻州・月考）b+贵『的展开式中第三项的系数为（）

A.12B.60C.160D.240

3.（25-26高二下•河南驻马店•开学考试）（班+*）S的展开式中所有有理项的系数之和为

4.（2026・广西北海•一模）在（、0『的展开式中，x的系数是

【变式训练】

6.（2026.湖北荆州.一模）（±+27）"的展开式中的常数项为（）

A.60B.123C.160D.240

6.（2025・陕西延安•模拟预测）在二项式（V3+x）7的展开式中系数为有理数的项的个数是（）

A.4B.5C.6D.7

7.（25-26高二下•湖南株洲•月考）一303『展开式中Z2的系数为.

8.（25-26高三下•北京•开学考试）二项式（次的展开式中常数项是

考点二两个二次式集积展开式的系数问题

【知识点解析】

l.（p+q）•（a+b＞型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理展开或+1=。*1"一为£化简得展开式.

步骤2:分类讨论，令展开式P•q+i与q•Tk+l的次数分别等于题目所求次数，分别求k.

步骤3:分别将k代入展开式p•£+】与〃Tk+l得系数.

2.（p+q）%（a+b）”型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理对8+4厂展开得K+i=C以严fqt对（a+b厂展开得工+]=CW；

步骤2:分类讨论，将题目所求的项的次数分配给（p+q）”'和（Q+b）\分别求k和厂；

步骤3:分别将k和r代入或+】和匕4得系数.

【例题分析】

9.（25—26高三下•山东泰安•月考）在（2—/兴2①+I）2的展开式中力的系数为（）

A.280B.300C.320D.360

1（）.（25—26高二下・福建厦门・月考）[一切（1+2/5的展开式中砂靖的系数为（）

A.100B.60C.40D.20

11.（25-26高二下•广东广州•月考）（1一6兴1+6）4的展开式中x的系数是.

12.（25—26高三上•河南信阳・期末）在（3+2/）（1—2/）5的展开式中，炉的系数为.

【变式训练】

13.（2026•广东•模拟预测）在（c+u）Q-2g）5的展开式中，炉娟的系数为（）.

A.120B.80C.40D.-40

14.（2026・山西晋城・一模）（力十1）（丁一/一2）」的展开式中"的系数为（）

A.-24B.-20C.20D.24

15.（25—26高三上・河北沧州・月考）32+2乂1+工『的展开式中d的系数为.

16.（25-26高三上♦上海杨浦•期末）在（1+/）（2炉一工丫的展开式中，炉项的系数是.（用数字作答）

...........»

考点三三项展开式的系数问题

【知识点解析】

（a+b+c）”型问题的解题思路：

nk

思路一:利用二项式定理展开Tk+}=C^a-（b+c）k=CM,iQbi'cr=令展开式次数等于

题目所求次数,求k与丁,代入展开式得系数.

思路二:将题目所求次数依次分配给%b、c,再利用二项式定理展开.

【例题分析】

17.（2026•黑龙江双鸭山•模拟预测）展开式Q2+2c—Ip中砂的系数为（）

A.68B.-80C.-68D.80

18.（25—26高二下•吉林四平•月考乂"+工一1『的展开式中的常数项为（）

CD

A.61B.29C.309D.308

19.（2026•河南郑州•模拟预测Nd+rr+yp的展开式中十炉项的系数是

20.（25—26高二下・江苏徐州・月考）（炉一/一2小的展开式中，/2的系数为

【变式训练】

21.（25—26高二下・江苏宿迁・月考）（d+32+2）5展开式中含。项的系数为（）

A.240B.242C.246D.244

22.（24—25高三上・贵州・月考乂/_l+，炉的展开式中矿均2的系数为（）

X

A.30B.-30C.60D.-60

23.（25-26高三上・辽宁沈阳・期中）（21+V一。）5的展开式中，*2的系数为.（用数值作答）

24.（25—26高三上・上海・月考聘+卷一2『的展开式中常数项是.（用数值作答）

考点四二项展开式的系数和问题

【知识点解析】

n2n

已知(ax+b)=Q()+axx+a2x+Q^I?4-...+anx

①令子=0,得a()=〃；

②令宓=1,得Qo+Qi+。2+。3+…+%=(Q+6)n；

③令X=-1,得a。-a1+。2—。3+…+(—l)n%=(-Q+b)n；

才仝②+③，曰上上上_(Q+b『+(-Q+b)”.

'④令一一，得劭+Q2+Qi+…=-------------z--------------，

人②—③/(a+6)n-(-a+6)n

⑤令一5-，得。1+。3+。5+…=-------------5--------------；

Hnn

..入g6,a।।।I||||।।(a+6)_(_Q+6)”(a+6)—(—a+6)

⑥令④+⑤,倚|Q()|+|QJ+|a2|+\a3\+...+|QJ=-----------------------H------------------------------

n23

⑦V(ax+6)=QQ+aix+a^x+a:ix+...+%①”

12n-1n-1

/.[(ax+b)呼=aYx+2a2^+3a3x4-...+nanx=an(ax+6)

n-1

令c=1,，Qi+2a2+3a3+...+nan=an(a+6).

【例题分析】

25.（2026.陕西咸阳・模拟预测・多选）设（1+2%）9=命+。科+02壮+~+的源,则下列说法正确的是（）

A.(7.()—1B.电=8。1

39+1

C.Q2+Q」+~+Qs=t』D.

+Q3H-----bdy=2

26.（25—26高二上•江苏常州•期末•多选）已知（3/-。）”=痴+Q海+0炉+-,+。,H"，且第5项与第8项的

二项式系数相等，则（）

A.n=11B.展开式的二项式系数和为2-2

a11

C.展开式的各项系数和为《广Dc.--i4.--做H.-----1.--a--,,-=--2---4---1-

o3323”311

27.(25—26高二下・河北保定・月考・多选)已知(2c—1尸=00+@任+02炉+~+。/°，则下列结论正确的是

()

A.a0=lB.展开式中含c项的系数为一10

'V04-1

C.&)+。2+Qq+…+Q10=--—D.Qj+2。1+3a2=10

【变式训I练】

r)A3

28.(25—26高三下•河北沧州•月考•多选)若(2c—I)"=ar)x+aAx+a3x+02c?+a[x+QQ,则()

A.a()=lB.a2=-40C.0)+o2+ai=-121D.a,4-a3+a5=122

23:>fi

29.(25—26高二下•福建厦门•月考•多选)已知/(x)=(1-2/)'=斯+axx+a2x+a:ix++a：tx+aox

+。了炉,则()

A.a}=14B.axl4-a24-a14-ae=1093

C.ai+2a2+3。3+4g+5。5+6蛇+7念二-14D./(—3)除以8所得的余数是7

0220

30.(25—26高三上•湖北孝感•月考•多选)若/(C)=(1-22严3=。1)+。@+。2。2+3+。2022砂'2+电。加23,则

下列结论正确的是()

2023

A.a()=-lB.1^1+|aj+|a2|+-+\a2(r23\=3

C.4)+。1+202+3。3+—+2023。2<)23=-4045D./(8)被16除的余数是15

q..................

考点五求系数最大（小）的项

【知识点解析】

考向一:若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决.

考向二:若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最

大值.

【例题分析】

31.（25-26高二下•吉林四平・月考）（6—%『的展开式中仅有第30项的二项式系数最大，则展开式中的

有理项有（）

A.9项B.10项C.20项D.21项

32.（24—25高二下・广东深圳・月考）（1+05的展开式中系数最大的项为（）

A.10/和104B.10/和10炉C.10砂和10/D.10砂和104

33.（25-26高三下•江西•月考）（。+1尸的二项展开式中，系数最大的项为.

34.（25-26高二上•上海浦东新•期末乂2+5『的二项展开式中系数最大的项是.

【变式训练】

35.（24-25高二下•江苏南通•月考）在卜一%）”的二项展开式中，系数最大的项是（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第5项和第6项

36.（24—25高二下•江苏泰州•月考）已知（1-0rl的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系

数的最小值为（）

A.-126B.-84C.-56D.-35

37.（25-26高二上•上海•期末）己知（右+泰）"的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项

是

38.（24—25高三下•浙江绍兴•月考）写出在（小-W的展开式中系数最大的项

...........»

考点六由二项展开式的系数或系数和求分数

【知识点解析】

①若已知所有二项式系数之和为m,则令2"=m,此时九=log?仅；

②若己知所有奇（偶）次项二项式系数之和为则令2?1=小,此时九=l+log2/n；

③若己知所有系数之和为TH,则+电+。3+…+。〃=皿，求解得几；

④若已知第p项和第q项和二项式系数相等，则CT1=,此时九=p+q—2：

⑤若己知只有第p项的二项式系数最大，则第-最大,此时前后各有p—1项，口=2（p—1）；

⑥若已知第P项的二项式系数最大，则需分为只有第P项的二项式系数最大、第P项和第p+1项的二项式系数

最大、第P项和第〃一1项的二项式系数最大三种情况分类讨论；

/^hn-1।八一/^trn—m

।Un—Un+l.~•

【例题分析】

39.（25—26高三下•重庆渝中•月考）在（2石+!）”的二项展开式中，若常数项为240,则矿3项的系数为

X

（）

A.60B.3GC.729D.6

40.（25—26高二下・湖南长沙・月考）（1+力）”的展开式中含炉的项的系数为15,则o=（）

A.5B.6C.7D.8

41.（25—26高二下•天津•月考）已知（砂+5）”的二项展开式中各项系数和为1024,则展开式中常数项的值

为.

2

42.（2026•辽宁大连•模拟预测）已知二项式（Qc+1）三劭++a2x+-+a6T°中各项系数之和为729,则因

【变式训练】

43.（25-26高三上•北京海淀•期末）在（2/-27ymEM）的展开式中存在常数项，则"的最小值为

（）

A.3B.4C.5D.6

44.（25-26高三上•江苏南京•期中）己知（l+i厂的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项

式系数之和为（）

A.8B.16C.32D.64

45.（25—26高二上•辽宁朝阳•期末）已知管一城1+的展开式中各项系数之和为64,贝!该展开式的常

数项为______

46.（25-26高二下•福建福州•月考）已知（。工+」7）的展开式的二项式系数和为64»各项系数和为729,则

其展开式的常数项为.

...........»

考点七二项式定理的实际应用问题

【知识点解析】

一、求余数问题

适用:求Q”除以m的余数3,771为正整数,n为正整数）

核心步・：

1.决整拆分:将底数Q拆为Q=hm士/依为整数，O&rVm,r为余数核心），使km能被m整除：

2.二项展开:将（痴士发广按二项式定理展开,展开式中除量后一项（仅含〃）外，其余项均含km因子，能被m整

除：

3.求余化简：只需计算最后一项/除以加的余数，即为d小皿的余数：

若产仍大于a,重复拆分产再求余。

关健:拆分时优先凑km+1或成-1（展开后最后一项为±1，求余最简）。

二、近似计算问题

适用求（1+x/（\x\远小于1）的近似值，或（Q+by（b远小于a，可化为a»（l+»

核心原理：㈤《1时，/"、…、出”为微小项,可忽略，仅保留展开式前2〜3项即可满足精度。

核心步骤：

1.凑标准型:将原式化为（1+江（团《1）,若为（a+b广提取於得以1+曾（令片表㈤《1）：

2.有限展开：按二项式定理展开，仅保留前2项（一次近似）或前3项（二次近似）：

-一次近似（基础精度）：（1+x）n^1+收；

-二次近似（更高精度）：（1+x）r>^1+皿+4;~1）支；

3.计算化简:代入数值计算,得到近似值。

关键仅当㈤远小于1时可用，㈤越小，忽略高次项的误差越小;按需选择一次/二次近似。

【例题分析】

47.（2026•河南南阳•一模）今天是星期一，再过10雨天是星期几I）

A.星期二B.星期三C.星期四D.星期五

48.（25—26高三下•浙江杭州•月考）实数1.9965的近似值（精确到0.001）是（）

A.31.680B.31.681C.31.682D.31.683

49.（2026•重庆万州♦模拟预测）已知14加27।小恰能被13整除，则小的最大负整数取值为.

50.（25-26高三上•安徽蚌埠•期末）干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下：

天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

把天干与地支按以下方法依次配对:把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干

“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则

再从第一个地支开始循环使用.若2026年即丙午年为第1年，则第13、年是年（用干支纪年表

示）.

【变式训练】

51.（25-26高三下•广西桂林•月考）若正整数a,b满足2026M5=2027a+b,其中0<bV2027,则b的值为

（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

52.（24—25高二上•江西萍乡•期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若Q和

b被m除得余数相同，则称a和b模m同余，记为Q三b（modm）,如12和7被5除得余数都是2,则记为

2221

12三7（mod5）.若a=3C?,+3CJ2+3叫务+…+3]/,且a三6（modl7），则b可以为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

53.（24—25高二下・湖南岳阳・月考）设。€2,且04。<13,若512。26+。能被13整除，则。等于.

54.（24—25高二下•广东广州•期中）2项」+1除以15的余数是.

............即

考点八杨辉三角

【例题分析】

55.（2026•湖北黄石•一模•多选）如U所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第九行的

第r个数可以表示为CL也＞1时）.在欧洲,这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南

宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟

大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行133

第4行14641

第5行1510105I

第〃行

A.第2026行共有2026个数

B.从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为Go—1

C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1

D.去除所有为1的项,依次构成数列2,3,346,4,5,10,10,5,…，则此数列前135项的和为2*53

56.（25-26高二下•山东潍坊•开学考试•多选）定义有也行的“杨辉三角”为九阶“杨辉三角”，如图就是一个

8阶“杨辉三角”.

第

0行

1

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

1331

桀

4行

14641

第

5行

第

6行15101051

第

7行1615201561

172135352171

给出的下列命题中正确的是（）

A.记第i（i£N+）行中从左到右的第/（/WN+）个数为%则与=C?；

B第k行所有数的和是2人

C.第k行共有（k+1）个数

D.8阶“杨辉三角”的所有数的和是255

57.（25-26高二下•吉林四平•月考）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年

左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的

司分内容.

（1）求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数；

（2）观察图1,确定笫63行的第k列（从左往右）与第64行的第左十1歹U（从左往右）的关系式，并求十

2C*+3,+■••+64Cg的值；（用整数指数易表示结果）

⑶把杨辉三角中的每一个数&都换成鬲赖'得到图2所示的莱布尼茨三角’证明：连鹏

1

,rGTV,Kr

s+i）a

1…第。行…1

11…第1行…yy

121…第2行…TI7

1331你1111

用3仃412124

…一11111

14641…第4仃…J2030205

图1图2

【变式训练】

58.（25-26高二上♦内蒙古呼和浩特•期末•多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详

解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能

够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书,

且我国北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）曾用过.由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪上半

上.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫

做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常

值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质，可以解决很多数学问题.观

察杨辉三角中数字排列的规律，下列结论正确的是（）

笫0行

1

第1行

11

第2行

121

第3行

第4行1331

第5行14641

第6行15101051

1615201561

ic；..c3…c3c；.i-c：:Jc詈i

第〃行1C：或…C：…C：2C：-11

A.第11行的奇数项和为1024B.（a）2+（ay+（a；）2+-+（a?）2=cx.

D.―…

C.a+C"+G+2+…=GF（n＞吟

59.（24—25高二下•内蒙古赤峰•期末•多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章

算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余

每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是

（）

_________亩

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

••••••••••••••••••••••••

A.第6行中,有两个相等的最大数B.C?+Cf+-+C?1=219

C.第九行所有数之和为2nD.在第3行以后，还会出现全为奇数的行

60.(24—25高二下•广东东莞•月考)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著

的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨

辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.

左

期现

Mo行

第I行

加2h

第3行

W5M4行

夕We第S行

中

命

以

ar髭

女

廉

次

麦

而

桑

乃

乃确hi行ICC「C；G「c：；c：；I

除

ff税

ti碉

之

数

Ini。

方ft第■行|C戏…c：…c：'।

图I图2

请结合上图，回答以下问题：

(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；

(2)证明：c=a=;+c；T：

⑶在(1+4+(1+口+.-+(1+0)田的展开式中，求含炉项的系数.

二双K正建8升启强考JL精*

考点目录

求指定项的系数两个二项式乘积展开式的系数问题

三项展开式的系数问题二项展开式的系数和问题

求系数最大（小）的项由二项展开式的系数或系数和求参数

二项式定理的实际应用问题杨辉三角

考点一求指定项的系数

【知识点解析】

（a+b『型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理展开或h=。忆"一人‘b”，化简得展开式.

步骤2:令展开式次数等于题目所求次数,求k.

步骤3:将k代入展开式得系数.

【例题分析】

1.（25-26高二下•内蒙古鄂尔多斯•月考乂/+岑）的展开式中常数项为（）

A.6V2B.30C.40V2D.60

【答案】。

【详解】『的展开式通项为舞产或•Q2）i•（卓/=然.2K1*我代=0,1,2,-,6）,

令12—3k=0,可得k=4,

故展开式中的常数项为最•22=15X4=60.

2.（25-26高二下•山西忻州・月考）卜+蚩『的展开式中第三项的系数为（）

A.12B.60C.1G0D.240

【答案】B

【详解】（宓+券）的展开式通项为或+1=或述-比（套）：

则第三项的系数为Cgx22=15x4=60.

3.（25—26高二下•河南驻马店•开学考试乂次+力）的展开式中所有有理项的系数之和为

【答案】29

【详解】由二项式知，其展开式通项为Z+i=&1（沟厂=公/6,r=0,1,•••,8,

所以，当『=2,8时对应项为有理项，故所有有理项的系数之为为以+绫=29.

4.（2026•广西北海•一模）在（右-白）"的展开式中，立的系数是

【答案】7

【详解】由题意知（右一；『的通项为£+1=或（6）8一*:（一；）人=（一4）号处一竽次=0,1r〜8,

令4一警>=1,则k=2,即c的系数是（一4）a=7.

【变式训练】

5.（2026•湖北荆州•一模乂的展开式中的常数项为（）

A.60B.123C.160D.240

【答案】。

【详解】共有6个因式，从2个因式中选择士，在剩下的4个因式中选择2肛

x-

贝］（5+2c）的展开式中的常数项为戊信;（2姆=240.

6.（2025•陕西延安•模拟预测）在二项式/+x）7的展开式中系数为有理数的项的个数是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】4

【详解】通项公式为T+i=C?3?c「，

易知当7—厂=0或2或4或6时，

即r=7或5或3或1时，可得有理数项，

所以有理数的项的个数是4,

故选：力

7.（25—26高二下•湖南株洲•月考）（工一3炉『展开式中炉的系数为

【答案】135

【详解】由二项式展开式的通项公式为：M+1=a（'广，（一3"）「=Q（-3）V-6

X

令4丁-6=2=>〃=2,所以展开式中炉的系数为：森（-3）2=15乂9=135.

8.（25-26高三下♦北京•开学考试）二项式（次的展开式中常数项是

【笞-案】7

【详解】由题知，展开式的通项公式为：Z+i=Q（次）81白'：=与/呼

2c'2r

令8^二=0,则r=2,

于是常数项为冕=孚=孕=7.

2~4

考点二两个二次式束积展开式的系数问题

【知识点解析】

...........»

l.（p+q）•（a+b）”型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理展开或+1=化简得展开式.

步骤2:分类讨论,令展开式p•或+|与q•K+i的次数分别等于题目所求次数,分别求k.

步骤3:分别将k代入展开式p♦或+l与q・£+i得系数.

2.（p+q）%（Q+b）”型问题的解题思路：

步骤1:利用二项式定理对（p+qf1展开得玛+]=。打严一小qt对（。十匠展开得K+】=

步骤2:分类讨论，将题目所求的项的次数分配给（p+q）'n和分别求k和吃

步骤3:分别将k和7•代入或+】和匕+1得系数.

【例题分析】

9.（25-26高三下•山东泰安•月考）在（2-d）5（2/+1尸的展开式中力的系数为（）

A.280B.300C.320D.360

【答案】4

【详解】在（2-—）5的展开式中，第丁+1项为二+1=或25_十一”=磔5-（-1）«,其中1=0,1,…5,

含.的项为6=C修（-1）2短=80〃,

含d的项为T=。辔（-1）%6=-40*

结合（2x+1）2=4x2+4c+1,

可得（2—镇甘仁①+的展开式中含谈的项为80/x4x2+（-40x6）x1=280/i,

在（2T）5（2、+I）2的展开式中谈的系数为280.

10.（25-26高二下而建厦门・月考）卜一卷）（1+2城的展开式中炉"的系数为（）

A.100B.60C.40D.20

【答案】Z?

【详解】因为g"）Q+2y）5=%（c+2u）5-13+2办,

其中（z+2g）5展开式的通项为7；+]=。、・（2"）「（/€{0,123,4,5}）,

所以（。一方）（1+2yr的展开式中含有3v的项为£•C?•①2.（2力一/玛•〃.（2疗=8（ky-20t包：，

=60二3靖，

所以展开式中砂联的系数为60.

11.（25—26高二下♦广东广州•月考）（1-6厂（1+6）4的展开式中x的系数是.

【答案】-3

【详解】法一：（双通项法）（1一分户的展开式的通项为~右严=0%-1广小,（1+无厂的展开式

的通项为Cf（£『=CfN。

（!1

贝1（1一①）（1+份）」的展开式的通项为。?（_1户（牙/+二其中771=0,1,2一・・,6,九=0,123,4.令

得小十几=2,于是（1一石厂（1+小）4的展开式中0的系数等于仁）・（-1产。？+禺・（-1广。+玛・（

-i）2y）=-3.

法二：（1—Vx）fa（l+Vx）4=［（1—Vx）（H-Vx）］4（l—Vx）2=（1—x）4（l-2Vx+x）,

于是（1一6）6（1+6）4的展开式中,的系数为0?・1+05・（一1卢1=一3.

故答案为:—3.

12.（25—26高三上•河南信阳•期末）在（3+2①2）（1-2。）5的展开式中，炉的系数为.

【答案】-260

【详解】依题意可知，（1-2+）5展开式中含rr的项为。卜（一2工）1含x3的项为C?•（-2x）3,

因此（3+2〃）（1-205的展开式中含炉的项为2d・C・（-2#+3C?•（—2⑼3=—260〃,

所以"的系数为一260.

故答案为：一260.

【变式训练】

13.（2026•广东•模拟预测）在此+妨（2—2”）5的展开式中，xV的系数为（）.

A.120B.80C.40D.-40

【答案】。

【详解】根据二项式定理，（①一2«）5展开式的通项公式为：

TM=3c5f（_23二绫（-

令k=3,可得七=C?X2（-2V）3=-80XV，此时与I+y相乘可得"暝的系数为一80:

令k=2,可得耳=C?炉（一2/=40x•%2，此时与£+g相乘可得2号的系数为40;

所以炉炉的系数为一80+40=-40.

14.（2026・山西晋城・一模）（4+1）（支2—%—2）4的展开式中"的系数为（）

A.-24B.-20C.20D.24

【答案】。

【详解】（①+1）（X2—X—2'）4=3+1）5（0?-2）\

3+I），展开式中x（\x\x2的系数分别为Cl,Cg,Cl,

而Q—2）4展开式中以出炉的系数分别为（一2）、5（—2）3,。?（一2汽

所以原展开式中"的系数为C3（-2）2+0C?（—2）3+C?G（—2）4=24—160+160=24.

15.（25-26高三上♦河北沧州•月考）（"+2乂4+工丫的展开式中域的系数为_____.

X

【答案】8

【详解】3+2）卜+工『的展开式中含d的项为玛炉.上.婷+2xC?d=8*

所以展开式中d的系数为8.

故答案为：8

16.（25-26高三上•上海杨浦•期末）在（1+。）（2①2—工『的展开式中，砂项的系数是_____.（用数字作答）

X

【答案】-40

【详解】由题患得卜〃一J_）'的展开式的通项为耳+1=3（2炉）5一『（）'=（_1r25）3〃0-和,

而（1+以2"-工）=（2x2——）+a:（2a;2——）,

•C^2/»Z/

令10-3T=2,解得『=得，不符合题意；令10—3丁=1,解得『=3,

O

所以含"的项为（―l）325-3C5X10-9=-40x2,

所以展开式中含炉的项的系数为一4（）.

故答案为:—40.

q..................

考点三三项展开式的系数问题

【知识点解析】

（a+b+c）”型问题的解题思路：

nk

思路一:利用二项式定理展开Tk+}=C^a-（b+c）k=CM,iQbi'cr=令展开式次数等于

题目所求次数,求k与丁,代入展开式得系数.

思路二:将题目所求次数依次分配给%b、c,再利用二项式定理展开.

【例题分析】

17.（2026•黑龙江双鸭山•模拟预测）展开式Q2+2c—Ip中砂的系数为（）

A.68B.-80C.-68D.80

【答案】C

【详解】（〃+2i—I》表示5个Q2+2C-1）相乘，每个（〃+2工-1）在相乘时均有三种选择，

选X2或2%或一L

设选炉的有。个，选2名的有b个，那么选一1的有（5一0一力）个，

则有2a+b=5,解得卜=?或IrJ或，

[b=5（6=3[6=1

即选5个21；或者选1个炉、3个2/、1个—1;或者选2个〃、1个2I、2个一1;

因此含/项的系数为绫.2>+C>C?23•（-1）+C?-QJ•2•（-1）2=-68.

18.（25-26高二下•吉林四平・月考）（砂+工-1『的展开式中的常数项为（）

X

A.61B.29C.309D.308

【答案】C

【详解】3+工一1）的展开式中的常数项为0?（—1）8+禺30（-1）4+0?玛（一1）“=309.

19.（2026•河南郑州•模拟预测）（C2+/+夕）6的展开式中炉嫡项的系数是.

【答案】60

【详解】将（x2+x+yf看作6个（①'?+式+0）因式相乘，

则得到炉炉需从6