2025-2026学年高一数学下学期期中测试卷（范围：北师大版必修第二册第一章+第二章）解析版

高一数学下学期期中测试卷(北师大版

全解全析

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I-cos330+tan600=()

A1-垂＞n1+Gry/3n35/3

2222

【答案】D

【知识点】诱导公式二、三、四

【分析】利用诱导公式化简即可求出.

【详解】cos33()+tan600°=cos(36(r-30)+tan(360°+180+60)

=cos(-30j+tan(180+60)

=cos30+tan60

=立+痒鸣

22

故选：D

2.如图，在△/BC中，。为〃。的三等分点且靠近。点，E为力。的中点，设而=万，AC=b，则向量族=

()

【答案】D

【知识点】用基底表示向量

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】因为。为NC的三等分点且靠近C点,

1/16

[11o

贝|」而=衣+丽=%+-而=配+_（而一码=_G+-B

3333

E为4为的中点,数;而=4/+词=卜+）.

22\33703

故选：D.

3.已知同=2,5=（2,-1）,M+B卜近，则向量1在向量B上的投影向量为（）

A

-惇与B.（-|j）C,（2,-1）D,（-2.1）

【答案】B

【知识点】数量积的运算律、求投影向量

【分析】利用已知可求得"$=-1，利用投影向量的定义可求向量工在向量B方向上的投影向量.

【详解】因为忖+可=近，所以（1+.=7,即7+2/+7=7，

乂同=2,。=（2,-1）,所以4+2。$+5=7，则。•5=—1，

设向量£与向量B的夹角为。，则向量£在向量B方向上的投影向量为：

同34=除方=_"（2,-1）4一咎

故选：B.

4.已知扇形的面积是4cm,当扇形周长最小时，扇形的圆心隹的大小为（单位：rad）（）

A.-B.-C.1D.2

43

【答案】D

【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求和的最小值

【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求

出圆心角的度数.

【详解】设扇形的圆心角力。，半径为〃，

则由题意可得:分2=4,

2

2r+^r=2r+->2^2r--=8,

Q

当且仅当2,・=2时,即/・=2/=2时取等号，

r

当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值8.

故选：D.

2/16

5.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四

周景色.如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m,转盘半径为50m,开启后按逆时针方向匀速旋转,

游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转•周大约需要30min.在运行一周的过程中，游客甲坐上

摩天轮的座舱，开始转动rmin后距离地面的高度为"m,则"关于/的函数解析式为（）

A.77=50sin(-^z-|)+60B./7=50sin(—r--)+60

152

C.//=50cos(—/--)+60D."=50cos(青一今+60

152

【答案】A

【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用

【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐•求出参数值即可.

【详解】依题意，设〃关于f的函数解析式为〃=<sin（在+切+双4区

由转盘半径为50m,得4=50,由最低点距离地面高度为10m,得6-4=10,解得b=60,

由转一周大约需要30min,得@=30,解得。=白，乂当"0时，H=10.

CO15

即sin°=-l,而|夕《，解得夕=_t,

因此H=50sin（E"*+60,或〃=-50cosE，+60,A正确,BCD错误.

1521〉

故选：A

6.在△48。中，cos4=巫，彳反配=6厉，点历在△48C的内部，43的延长线与8C交于点。，若

4

~AD=3AM»则/CM的面积是（）

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】C

【知识点】三角形面枳公式及其应用、用定义求向量的数量积

【分析】由cos4=妪，福就=6/，可得S“sc，然后由而=3布，可得Sw=]s“8c，据此

43

可得答案.

3/16

【详解】-JC=|jfi|.|JC|cosJ=6V15,因cos4=乎，

则|而H%|=24,sinJ=V1-COS2^=^-,得S/8c=；|前'正卜后4=3.

又与=3布，则阿卜g画，过4,M做8c垂线，垂足为G,F,

则△DMF~AD4G,|MF|=||^G|,又ABCM,△砌C底边相同，

9

则SA8cM=]S“=2.

故选：C

一BABC43

7.在MB。中,BC=2,'BC=0,|^-^|'—2，则△[8。的周长为()

C.2+乎D・4

A.5/3B.2考

【答案】B

【知识点】向/_量加法_法、则的几何应用、用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示

【分析】由当+痣•元=（）结合向量的运算分析可知4B=/C,再结合数量积可得乙%C=3即

〔网\AC\]6

可得结果.

【详解】设1=

则6、e2均为单位向量，且q与刘同向，/与就同向,

~ABAC

可知同+国与2%c的角平分线的方向向量共线，

因为黑+痣•血=0,可知/A4c的角平分线与8c垂直,

即△XBC的角平分线与高线重合，所以△48。为等腰三角形，且

4/16

BA~BC/G

又因为网同2",=了

且N/18Cc(O,7r),可得//8C=f,

6

贝ij8C1边上的高为力=O^tanZ=^^,/IB=AC=2h=.

2633

所以A/18C的周长为毡x2+2=2+述.

33

故选：B.

8.如图，/尸。。=?,点力*为射线”上两动点，且力8=2,若射线。。上至多有一个点。，使得

6

ZACB=g则。4长度的取值范围为（）

A.（0,1）B.（0,1]

【答案】D

【知识点】向量垂直的坐标表示

【分析】以0为原点，。。为.轴建立平面直角坐标系，设月（后回，6（技⑹，C（c,0）,利用两点

距离公式可得〃=I+。，再利用NACB=|和向量垂直的坐标表示可得c2-（氐+亚卜+4ab=0,根据

题意该一元二次方程至多有一个解，令ASO即可.

【详解】以。为原点，。。为工轴建立如图所示平面直角坐标系，

因为NPO0哈所以设力（板,〃），B网,b）,C（c,0）,（Z）>a>0）,

由48=2可得J（JL一亚『+｛。一〃f=2,解得力=1+。，

5/16

因为否=(阮-c,a),而=(屏-c,/“，Z^C5=p

所以C4C8=(Ga—c)(Gb-c)+R)=0,整理得c?+y/5b^c+4ah=0,

由题意可得关于。的一元二次方程氐+麻)。+4砧=0至多有一个解，

所以A=+-16ab<0.将b=1+a代入整壬里得一4a?—40+3«0，

解得azg,所以|O川21,

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知角。的终边为射线y=x(KWO),则下列错误的是()

A.。=里

B.cosa=—

42

71n•f兀

C.tana+—D.Sina+—=1

2J【4

【答案】ABD

【知识点】找出终边相同的角

【分析】根据角的终边的知识来确定正确答案.

【详解】由于角。的终边为射线…(…)，所以"苧2mg

则A选项错误.

传+2吁57r71冗4,B选项错误.

B选项，cosa=coscos—=COS7C+—=-cos-=

44J4

7t(5n,,TI77Krf_兀、n71,

C选项，tana+-=tan——+2/CJI+—=tan—=lan2兀—=-tan—=-1

\乙)42)44J4

C选项正确.

D选项，sin(a+g)=sin传+2E+"=siT=-l,D选项错误.

4；2

故选：ABD

10.已知点4(1,2),8(3,1),C(4,〃?+l)(〃?eR),则下列说法正确的是()

A.|益|二石B.若方_L而，则〃?=一2

c.若丽//沅，则〃?=-gD.若瓦沅的夹角为钝角，则加<2且加工-;

6/16

【答案】ACD

【知识点】由向量共线(平行)求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数

【分析】根据给定条件，求出而，前的坐标，再逐项计算判断各个选项即得.

【详解】由点N(L2),3(3,1),C(4,zn+1),得切=(-2,1)灰=

对于A,|而|=|叼=正2)2+『=石,A正确：

对于B，由方1前，得而灰=-2xl+lx切=(),解得切=2,B错误；

对于C,由刘//月心，得一2阳=1,解得〃1=一5，C正确；

对于D,由而，册的夹角为钝角，得雨.前＜0且加与肥不共线，

即加＜2且niD正确.

2

故选：ACD

11.在平面中，设Ox,Or是平面内相交成。角的两条数轴，•分别是与x轴，V轴正方向同向的单位向量,

若向量而=》柒+y耳，则把有序数对(X/)叫做向量而在坐标系中的坐标，记作而=('/).若在

坐标系必中，,动=g，向量1=(2,1),则下列结论正确的是()

A.\a\=＞/3

B.若5=(x/),则。工6的充要条件为"十户。

C.若B=(X,3),且G与5的夹角为锐角，则实数x的取值范围为(0,可“6,+8)

D.若石=(1,2),则'+5与5的夹角为丁

6

【答案】ACD

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计.算、垂直关系的向量表示

【分析】根据新定义，利用数量积的运算法则"算可判断A,根据垂直的充要条件数量积为0运算可

判断B,根据数量积为正数且不共线可判断C,根据夹角公式化简运算可判断D.

【详解】对于A,1&=同•同cosg=-；,

同=而^+e■e+e2兀

2苴2='闻+咽但COSy+C

32

7/16

=J"4x；+1=百，故A正确;

对于B,当时，fl-b=(I,即(2g+%)•1q+_)0)=0，

—•2—2,—•—•13jV

所以2xq+ye2+2yet-e2+xe]-e2=2x+y-y-—x=—=O,:.x=Of

所以q/B的充分条件为x=0,故B错误；

3v

对于C,ab=^2ey+e2)-(xe]+3e2)=—>0,故x〉0,

若人与B共线，则x=6,所以实数x的取值范围为(0,6)u(6,y),故C正确;

伍俯+欧录+动

对于D,+4,=32=6$+%4+3$=(

忖+可=«^+3g)=《9e：+18q・g+9/2=3，

所以cosG+B,+：+，产

'/收+胴3x62

因为(万+员@«0,司,所以曰+*故D正确.

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知1二(3,-4),则万方向上的单位向量的坐标为

34

【答案】

5，-5

【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模

【分析】根据单位向量的定义直接可得解.

【详解】由已知五=(3,-4),

则同=j32+(_4『=5,

则G方向上的单位向量为?=(|,司，

故答案为：］,一：］.

13.若夕为第二象限角，且sin。］,cos(兀+6)cos仁+。、=

5\/

8/16

【答案】—述

99

【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六

【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】因为。为第二象限角，且sine=；,则cosO=—Ji二，？=一，^以=一半

•（一。）=，242

因此,cos（兀+。）cosl—+l=（-cossinsin6cose=x

~9~

\/

故答案为：_巫.

9

14.如图，在△48C中，点。满足29=正，过点P的直线与力反4C所在的直线分别交于点M,N,若

AM=xAB^AN=yAC，x>0,y>0,则2x+y的最小值为.

【答案】3

【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】先由题意得万=春布+：充，进而由共线定理得;+；=］，接着结合基本不等式即可求解.

333x3y

【详解】由题意知力=刀+即=而+!旅=而+!（％_而）=2而+_［配，

33、733

又因新=工茄，AN=yAC^所以15=，而，AC=-AN,

工y

—•2—1——2-----*1—.

所以力。=一4？+—力。=一47+—4%,

333x3y

因为M,P,N三点共线，所以《•+；=1，

3x3y

……小21\52y2x、5\ly2x54.

所以2x+y=（2x+y）—+—=—+—+—>—+2J--------=—+—=3,

'\3x3y}33x3y3\3x3j；33

当且仅当?=3时，即x=N=l时等号成立，

3x3y

所以2x+y的最小值为3.

故答案为：3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

9/16

已知角a的终边经过点尸?-1)-

(1)求sina的值;

sin—a,、

（2）求（2Jtan（a-兀）的值.

sin（a+jt）cos（3几一a）

3

【答案】（l）sina=-g

虏

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式

【分析】（1）根据三角函数的单位圆的定义即可求值：

4

（2）由（1）及余弦函数的定义可得cosa=《，借助诱导公式化简代入即可.

【详解】（1）因为|。片=1，所以点尸在单位圆上.

由正弦函数的定义得sina=），=-1.

4

（2）由（1）及余弦函数的定义“J'得cosa=g，

cosatana5

原式=

-sina-cosasinacosacosa4

故所求式子的值喘.

16.(15分)

已知向量a=(3,2)[=(x,-l).

⑴当（Z+25）_L（23-可且x>0时，求X；

（2）当，，=（一8,-1）,“〃0+（7）,求向量"与B的夹角。

【答案】（l）x=6

【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量枳的坐标表示

【分析】⑴由向量的坐标运算法则求得Z+2，和力-右的坐标，再由«+24（21可=0,求得x的

值：

（2）由向量的坐标运算法则先求得否+2的坐标，由当2〃®+,,求得x的值，再由向量的夹角公式

求得夹角的大小.

10/16

【详解】(1)因为向量。=(3,2),b=(x,7),所以a+乃=(3,2)+2(x,-l)=(3+2x,0),

2a-?=2(3,2)-(x,-l)=(6-x,5),

又因为伍+2山(21B),所以仅+24(21q=0,

所以(3+2x>(6r)+0x5=0,解得x=6或尸-；，

又囚为x>0,所以x=6.

(2)由)=(-8,-1),S=(x,-1),可得书+"=(x-8,-2),

又1=(3,2),又所以3'(-2)-2'(》-8)=0,解得x=5,

22

所以3=(5,-1),可得W=Jl+22=拒,p|=A/5+(-l)=V26,

7B=3X5+2X(-1)=13,

ab13V2

所以丽

乂ae[0,7t],所以a=(.

17.(15分)

⑴求函数/(x)的解析式.

(2)将函数.，=/("的图象上所有点保持纵坐标不变，把图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再

把图象上所有点向右平移[个单位，得至廿=g(x)的图象.则当xj-¥，兀]时，求函数g(x)的值域.

3L6J

/\

【答案】⑴/(x)=2sin2工+々

(2)[-2,2]

【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、求图象变化前(后)的解析式

11/16

【分析】(1)根据图象信息结合a。,。的范围，分别求出儿，。,。，即可得到函数的解析式；

1in-

(2)先根据伸缩平移变换得到函数g(x)的表达式，再求函数g(x)在区间--1,兀上的最值，即可得

O

到函数g(x)的值域.

【详解】(1)r/(x)=4sin3x+r),如图知:A=2

3T13nit3兀T

—1=------=—,/=n

41234

271

：.3=—=2.

T

又代入K，。得:

V.J/

71=2sinf^-+^j=0,解得e=g71+2eZ,

3;3

U7C

H<-»'^=~

/./(x)=2sin2x+j

(2),.•/(x)=2sin^2x+yj

.•・把函数〃x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍

再把图象上所有点向右平移;个单位即：g(x)=2sin根吧卜n

3

g(x)=2sin

IE

•/xe

3兀2K

267T

/.g(.r)G[-2,2]

18.(17分)

如图,设△力3C中角CB、C所对的边分别为a,b,c,4。为8c边上的中线,

IJ2]

c=2,2asinCcosB=as\nJ-.^sin^+―csinB,cosZ.BAD=

(1)求b边的长度;

12/16

（2）求的面积；

⑶设点民厂分别为边48,4。上的动点（含端点），线段即交力。于G,且△/1£?的面积为面

积的;，求而•呼的取值范围.

【答案】（1）8

（2）473

⑶[3,17]

【知识点】正弦定理边角互亿的应用、三角形面枳公式及其应用、向量在几何中的其他应用、平面向

量共线定理的推论

【分析】（1）由题意，利用正弦定理和余弦定理，转化求解，即可求出b的值.

（2）设/历ic=e,利用中线的向量表示，计算而•标以及I而I，利用cos/①1。=与求出cose,再

计算ZU8C的面积.

_______________i_i__

（3）设1方=左]6，~AB=AJE^AC=〃AF,其中义，〃，AwL+cc）,根据力。=5X8+54。，得出

AG=^-AE+^-AF,由E、F、G三点共线得义+〃=23计算前.正的取值范围即可.

2k2k

【详解】（I）由已知条件可知：2«sinCcosZ?=asin/f-4--csin/?,

4

ab

在△48。中，由正弦定理2R,

sinJsinBsinC

得2〃ccos8=a~-b1+—bc,

4

在△月8C中，由余弦定理cos8="———,^a2+c2-b2=a2-b2+—,

lac4

?.b=4c,Xvc=2,.,./>=8.

__——1-1一

（2）设ABAC=/:为8c边上中线,.•.力。=548+5X。，

则万.砺=而•，而+衣）=g|而『+；|荔J|衣卜05夕=2+8cos0

府卜扃;即FT高Wj

研+函|2+2阿狗COS0=J17+8COS0

~AB-7D4cos0+1考①,

cosNB4D=

\'AB\-\~AD\V17+8cos<9

13/16

...28cos2^+8cos0-\\=0,/.(2cos^-l)(14cos^+11)=0,

cos夕=；或COS。=~~

由①，得4cos0+l>0,/.cos^>cos夕=I,，sin。=叵

422

「•S-ABC=；|前11配卜in。=45.

(3)设AD=kAG,AB=2AE,AC=e[1+8)),

7D=-AB+-AC=>2kAG=AAE+uAF=>AG=—AE+^-AF,

222k2k

根据瓦F、G三点共线，得4+〃=2女，

而而而.(方一码=*而+码(1刀_:刘

。」，0为/BAC)

・cos。(cos

2

1(64488)1(7212112(62-//)

2〃(〃A.〃2)丸+〃(〃2)(4+〃)2〃

<JC|sin<9

-^-=2---------------------=3.•.4/=3.

S“EFl|Zg||JF|sin6>

A=->l=>/t^3=>2e[l,3]