2025-2026学年广东深圳市多校高二下学期第二阶段质量监测数学试题 含答案

/2025-2026学年度第二学期高二年级第二阶段质量监测数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是函数的导函数，，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【详解】由，求导得，所以.2.已知随机变量X的分布列如下表：若，则（）X012PnmA. B.5 C.7 D.21【答案】D【解析】【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案.【详解】由题意，解得，所以．所以．故选：D3.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数图象，利用原函数递增；原函数递减可判断结果．【详解】由原函数图象可得，当时，原函数单调递增，导函数恒为正值；当时，函数在上是先减后增再减，其导数值的符号为负、正、负；结合选项可得，只有A选项满足.故选：A．4.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.5.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B6.某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解.【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示，则.某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为所以.故选:B.7.已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可.【详解】函数的定义域为，导函数为.函数存在单调递增区间，等价于存在使得.因为，所以等价于

.即在上有解.对配方得，在上单调递增，.要使在上有解，只需.因此的取值范围是.8.已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.【详解】令，则，由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，所以是定义域为的偶函数，所以在上单调递减，又因为，所以，所以，所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则.则不等式的解集为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9.关于的展开式，下列结论正确的是（）A.展开式中共有9项B.第3项为C.各项系数的和为256D.二项式系数的最大值为70【答案】ABD【解析】【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确；对于B，第3项为，故B正确；对于C，令，得各项系数的和为，故C错误；对于D，二项式系数的最大值为，故D正确.10.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD.【详解】A选项，由，得，故，由正态分布的对称性可知，A正确；B选项，，B正确；C选项，由题意得，故，C错误；D选项，，D正确.11.已知函数，则（）A.在区间上单调递增B.恰有两个零点C.不等式的解集为D.若，则的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】函数的定义域为，关于原点对称，且函数为偶函数，对于函数求导可判断A项，由单调性及可判断B项，由偶函数及单调性可判断C，D项．【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，对于A项，当时，，对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确；对于B项，因为在区间上单调递增，且，根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确；对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增，所以等价于，得，两边平方得，而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误；对于D项，因为，且为偶函数，得，即，因为，所以，又因为在区间上单调递增，所以，得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确．三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分．12.若，则正整数的值为__________.【答案】1或4【解析】【详解】因为，所以原等式可化为，所以或，解得或，因此正整数的值为或.13.已知函数，曲线经过点的切线方程为___________.【答案】或【解析】【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解.【详解】，则设切点为，可得过点的切线方程为，代入点的坐标有，整理为因式分解为，即，解得或.①当时，所求切线方程为，整理为；②当时，所求切线方程为，整理为，故曲线经过点的切线方程为或.故答案为：或.14.某人工智能博览会有4个不同的场馆，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为____________．【答案】【解析】【分析】首先确定的所有可能取值，分别计算取每个值的概率，再将的取值与对应概率代入公式计算即可.【详解】为被参观的场馆个数，可能取值为，甲乙各选个场馆，总的选法为种，（两人选的场馆完全相同）：共种，故，（两人恰好有1个共同场馆）：甲选2个后，乙从甲的2个中选1个、从甲未选的2个中选1个，共种，故，（两人选的场馆完全不同）：共种，故，.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极值，且．（1）求的值；（2）求在区间上的最大值与最小值．【答案】（1）（2）最大值为46，最小值为10．【解析】【分析】（1）由得到的等式，由在处有极值得到，通过联立方程组求出，经验证得到的值.（2）利用导数求出单调性，利用单调性得到的最大值和最小值．【小问1详解】（1），（2），联立（1）、（2）解得，当时，代入恒成立，所以原函数不存在极值，此组值舍去.所以．【小问2详解】当时，，当或时单调递增，当时，单调递减．又因为所以，所以的最大值为46，最小值为10．16.已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中的有理项.【答案】（1）6（2）60（3）；；60；【解析】【分析】（1）利用已知条件列出关于的组合数方程求解即可；（2）写出展开式的通项公式，令的指数为0求出参数，再代回通项计算出常数；（3）问根据通项公式令的指数为整数，结合取值范围算出所有符合条件的值，再分别计算出对应的每一项.【小问1详解】由题意得，则有，解得.【小问2详解】，令，故常数项：；【小问3详解】有理项指数为整数且且，得，2，4，6当时：，当时：，当时：，当时：17.设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.（1）求的值；（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率【答案】（1）3；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用古典概率公式列式求解.（2）利用条件概率公式求解.（3）利用全概率公式求解.【小问1详解】由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得，所以.【小问2详解】从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球”则，，，所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为.【小问3详解】从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为，则，，由全概率公式得，所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率.18.甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分．（1）求一局比赛中，甲6：0获胜的概率；（2）记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望；（3）若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率．【答案】（1）（2）EX（3）【解析】【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解；（2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解；（3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出.【小问1详解】记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率，.【小问2详解】一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2，则，，，所以.【小问3详解】甲6：0获胜概率P1甲4：0获胜概率；甲2：0获胜概率；记事件C为一局比赛中甲获胜，则，由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数，所以.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）若，函数在定义域内单调递增；若，函数在内单调递增，在内单调递减.（2）证明见详解（3）【解析】【分析】（1）求导，分类讨论参数的正负性，结合导数的符号判断原函数单调性；（2）根据（1）中单调性可得，令，，利用导数证明不等式；（3）令，，根据端点效应可得，并代入检验即可.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，且，若，