2025-2026学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2025.2026学年吉林省吉林市丰满区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.一元二次方程炉-4=0的解为（）

A.XI=X2=2B.X]=X2=-2C.X]=2,XZ=-2D.X）=4,A'2=-4

2.下列成语描述的事件为不可能事件的是（）

A.水中捞月B.一箭双雕C.守株待兔D.熟能生巧

3.社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则.下列标忐是中心对称图形的是：）

.如图，点P在反比例函数（））的图象上

4y=±4•#,过点P作PQlx轴于点iyt

X

Q,连接OP,若△OPQ的面积为2,则%的值为

A.-2

B.-4

C.2

D.1

5.如图，。。是△ABC的外接圆，点。在R上,若“二50。，则乙。的度数为条-----、

（）

A.25°

B.400

C.50°

D.100°

6.二次函数产aAfx+cQWO）的图象如图所示，下列说法正确的是（

AGO

B.b>0

C.cVO

D.f-4acV（）

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

7.请写出一个一元二次方程：_.

8.将抛物线尸F向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为_.

9.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每

次飞镖均落在游戏板k）,击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为—.

10.如图，在△ABC中，zC=90°,AC=2,8al.将△ABC绕点A顺

时针旋转90。得到△”'C,连接88,，则的长为—.

II.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问

题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问

径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大

小，用锯去锯这木材，锯口深。石=1寸，锯道长48=1尺（1尺=10

寸〕，直径CDL4B于点E.则这根圆柱形木材的直径CO的长为一寸.

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

12.解方程：J-2―1=0.

四、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13.（本小题6分）

现有三张正面分别写有汉字“新”“年”“好”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相反将三张卡片

的背面朝上洗匀.

（I）若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“好”的概率为.

（2）若从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽得的两张卡片是“新”和“年”的概

率.

14.（本小题6分）

如图，在4义4止方形网格中，每个小止方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，用无刻度直

尺，在给定网格中作出一个符合要求的图形即可.

（1）在图I中，画出△ABC经过平移后得到的且△ABiG的顶点都在格点上.

（2）在图2中，画出aABC经过轴对称后得到的△△282c2,且△A2&C2的顶点都在格点上.

（3）在图3中，画出△A8C经过旋转后得到的△A383C3,且△即&。3的顶点都在格点上.

即图2图3

15.（本小题7分）

在矩形ABCQ中，AB+BC=\0.

（1）若矩形A5CO的面积为24,求A6的K.

（2）矩形A8CO面积的最大值为_____.

16.（本小题7分）

如图，人B是。。的直径，“BP=45°,AB=AP.

（1）求证：PA是。。的切线.

（2）若AB=4,则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）

17.（本小题7分）

如图，将线段A8绕点A顺时针旋转90°得到线段4D,再将线段AB绕点B逆顺时针旋转90°得到线段

BC,连接CD

（1）判断四边形A3CO的形状，并说明理由.

（2）若点户在线段CO上，A8=l,则AP+8P的最小值为

18.（本小题8分）

如图，反比例函数由=竺（〃M的图象与一次函数”二依+"&W0）的图象相交于A（-1,3）,B（3,

〃）两点.

(I)"尸n=

（2）求一次函数的解析式.

（3）当时，直接写出自变量x的取值范围.

19.（本小题8分）

如图，在心△AAC中，Z4CB=9O°,乙4=30°,人8=4.点P从点八出发以每秒2个单位长度的速度沿线段

向终点B运动.当点P不与点八重合时，过点P作PQJL4C于点Q,作点4关于尸。的对称点为点/X

连接。P,设点P的运动时间为x秒，△DPQ与△ABC重叠部分图形的面积为F

（1）PQ=______,AQ=_______.（用含x的式子表示）

（2）当点。和点C重合时，x=______.

（3）求），关于％的函数解析式，并写出自变量4的取值范围.

20.（本小题10分）

在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深

入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用.

【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静

止释放.从弹珠运动到A点处开始，川计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间/（$）、

运动快慢v（c〃而）、运动路程y（cm）的数据.

160

140

100

80

60

40

20

04812162024t($)O24681012141618202224t(s)

RI2阳3

【收集整理数据】

运动时间/（5）048121620•••

运动快慢v（cm/s'）12108642♦•♦

运动路程y（cm）04480108128140•••

【数学建模探究】

【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提

示：函数图象要画在答题卡上）

①V与，之间的关系可以近似地用函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）

②了与，之间的关系可以近似地用函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）

【检验】直接写出口与ZJ与，之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证.

【应用】当弹珠到达水平轨道上才点时，前方5点处有一辆电动小车以3c〃心的速度向前匀速直线运动.当

/=10时，弹珠刚好追上小车，则八，B两点间的距离为cm.

21.（本小题10分）

如图1,在△A8C中，ZC=9O°,.4。==点。在边人C上，且AB=2AD点P在边AB上，连接

PD.

（1）AD=

（2）当^A。尸是等腰三角形时，直接写出AP的长.

（3）将线段P。绕点尸逆时针旋转45°得到线段PE,过点E作EMI8C交线段4B或线段AB的延长线于

点尸.

①如图2,当点〃在线段上时，求证：ZVIOP之②连接BE,当△A。。面积是△3EF面积的2倍

时，直接写出AP的长.

22.（本小题12分）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线产-f+2/c经过点（0,3）,点4在此抛物线上，其横坐标为叽先作

出点A关于x轴的对称点8,再作出点A关于坐标原点。的对称点C,顺次连接A,B,C三点得到

△A8C.

（1）求此抛物线对应的函数解析式.

（2）当点。在此抛物线上时，求机的值.

（3）当此抛物线的最高点在△AEC的边上时，直接写出〃?的值.

（4）当此抛物线在△ABC内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出〃?的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】Zr+3x-4x=0（答案不唯一）

8.【答案】尸入2

9.【答案】，

•Z

io.【答案】/io

11.【答案】26

12.【答案】解：b=-2,c=-\,

.•.A=〃-4ac=(2)2-4XlX(-1)=8>0,

.-b-Q空—40c—(—2)ir-

'•x=--------------=------------=1±v2»

2a2x1

•••JJ\、J*i

13.【答案】\\

14.【答案】如图1中，即为所求(答案不唯一)；

如图2中，△4生。2即为所求（答案不唯

图3

一）如图3中，Z\A383c3即为所求（答案不唯一）

15.【答案】AB的长为6或425

16.【答案】-AB=AP,

3乙440=45°,

•••乙PAB=180°-Z.P-Z,ABP=9O°,

.^PALAB,

•••AB是。。的直径，

.•.04是。0的半径，且PA1Q4,

是。。的切线6-n

17.【答案】结论：四边形ABC。是正方形.

理由：由旋转得A8=A庄BC.,

.”+出180°.

.•.ADIIBC.

：AD=BC,

.•.匹边形人8c。是平行四边形，

••2=90°,

平行四边形ABCO是矩形，

.AB=BC,

.・.矩形A8C。是正方形瓜

18.【答案】・3;-1F