平面向量的数量积 课后练习（含答案）-2025-2026学年高中数学人教A版必修第二册

6.2.4平面向量的数量积课后练习

第一部分

—・平面向量数量积的概念（3b=|a||b|cos仇〃£[0,兀]）

1.己知同=4,网=5,当（1）%：（2）“上力；（3）。与〃的夹角为135。时，分别求。与〃的数量积.

2.设的，62是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是（）

A.epe2=1B.er€2=—IC.|epe2|=1D.|C「C2|<1

3.已知向量°,力满足kz|=2,\b\=l,ab=1,则向量。与。一方的夹角为（

A匹B.胃D.与

A，6J6

4.已知同=2|。|工0,月.关于4的方程『+|仇丫+。必=0有实根，则。与》的夹角的取值范围是（）

「八兀1cl"71"!〃「兀2]、「花

A.0,不B.不兀C.3,71D-1，兀

二.平面向量的投影和投影向量

1.已知⑷一4,e为单位向量，4生e方向上的投影为一2,则。与e的夹角为.

2.已知例=3,。在方方向上的投影是弓，则。山为（）

14

A.rB.?C.3D.2

3.在中，。是三角形的外心，过点8作4G_LAO于点G,A3=8,则（）

A.16B.8C.24D.32

4.如图，在正/'、边形ABCOX厂中，向量A4在向量C7J上的投影向量是〃C。，则〃1二（）

B-IC.1D.-1

5.已知向量a，0，满足”=3,忖=4,“与。的夹角的余弦值为《，则向量a在向量〃上的投影向量为（）

9-9-

A.aB.3aC.-bD.—b

416

三.平面向量数量积的性质1（a_L〃oa〃=0）

1.已知单位向量〃、〃满足则”与〃的夹角为（）

2.已知⑷=3,叫=2,向量ab的夹角为60。,c=3a+5b,d=〃ia-3b,求当〃?为何值时,c与d垂直?

3.已知|3=2,叫=1,且3a+25与痴一力垂直，则2等于

四.平面向量数量积的性质2（a2=|a|2）

1.已知向量0与b的夹角为120。,且同=4,|加=2,求：（l）|a+州（2）|3+处3—%）|.

2.若非零向量a,b满足⑷=3网=|〃+2"，则。与力夹角的余弦值为.

3.已知向量。,3不共线,且|2。+力|=|。+2切,求证：（a+b）JL（°一方）.

4.已知非零向量a,b,满足同=1,(a—b)(a+b)=2，且°功=亍

(1)求向量0,♦的夹角;(2)求|G一臼.

五.平面向量的数量积运算法则

1.已知⑷=6,步|=4,a与力的夹角为60。，求(a+2加“-3万).

2.设e/和62是互相垂直的单位向量，且。=3e/+2e2，8=—3e,+4e2，则。协等于()

A.-2B.-1C.1D.2

3.已知⑷=|臼=|c|=l,且满足3。+"亦+7c=0,其中。与方的夹角为60。，则实数/〃=,

4.在一A8C中，A3=1,AC=4,NZMC=],点。为边3C上靠近8的三等分点，则AD8C的值为()

1616

A.-----B.—C.—4D.4

33

5.己知向量AB、4c夹角为120°,且AC\=3,若AP=A8+/IAC，且AP_L8C，则实数4的值

为

41

A.5-B.6-

6.(多选)设。为SBC所在平包上一点，内角A,B,C所对的边分别是〃，b,c,则正确的是()

A.。为A8C的外心o(04+04)A3=0

B.。为必BC的重心u>OA+O3+OC=()

C.。为工8C的垂心o040B=080C=0C04

D.。为ABC的内心。“OA+力O8+cOC=0

7.已知向量a,b»c满足忖=W=H=1，且a+〃+c=0，则8s(a-c,b-c)=()

A--T

第二部分

六.巩固提高

I.已知正三角形八AC的边长为I,求：（1MRAC：（2）AN/?C：（3/C/C

2.若向量〃与〃的夹角为60。，|力|=4,且（〃+2"（。-3〃）=-72,则。的模为（）

A.2B.4C.6D.12

3.（I）以下四种说法中正确的是.

①如果”力=0,则a=0或。=0；

②如果向量a与人满足ah<0,则。与人所成的角为钝角：

③△A8C中，如果油.正=0,那么△A3C为直角三角形：

④如果向量a与b是两个单位向量，则a2=b2.

（2）已知⑷=3,网=5,且。山=-12,则。在b方向上的投影为,b在a方向上的投影为.

（3）已知等腰△A8C的底边8c长为4,则法•正=.

4,给出下列判断:①若a2+b2=0,则a=b=0；②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=。,则|ec|=|力c|；

③①〃共线㈡。仍=同|例；®\a\\b\<a-b；⑤。。。=闷3；⑥标+622。力；⑦向量a,力满足：abX）,则a与方

的夹角为锐角；⑧若。，b的夹角为仇则仍Icos。表示向量力在向量。方向上的投影长.

其中正确的是.

5.已知平面向量a,〃满足2闷=忖，,+可=|2〃-“，则向量“，方夹角的余弦值为（）

6.已知两个单位向量满足,+。卜卜-.，则向量a-&，〃的夹角为（）

A.150°B.120°C.60°D.30。

7.已知点A,B,C满足丽|=3,|应］=4,|CA|=5,则B辰+正•成+之成的值是（

A.-25B.25C.-24D.24

8.已知向量”，b,|«|=2,|^|=3,〃与〃的夹角为与，则,一叫的值最小时，实数x的值为.

9.已知单位向量3，生的夹角为60。，求向量a=ei+e2,b=e2—2ei的夹角.

10.在“WC中,M是8C的中点，4M=1,点P在AM上,且满足%=—2PM，贝ijPC）=

4444

A.-B.——C.-D.——

9339

11.已知卜|=2,\b\=y/2,且〃J.5-8）,则向量a在〃方向上的投影为（）

A.1B.V2C.2D.—

2

12.已知。为58C的外心，。4+208+指0。=0,则NAC8的正弦值为（）

A.."iD,手

2

参考答案

第一部分

I.

【答案】(1)20或-20;(2)0:(3)-10V2

2.

【答案】C

3.

【答案】A

4.

【答案】B

1.【答案】120°

2.

【答案】D

3.

【答案】D

4.

【答案】A

5.

【答案】D

二•

1