2025-2026学年甘肃省兰州市某校九年级（下）月考数学试卷（四）含答案

2025-2026学年甘肃省兰州市某校九年级（下）月考数学试卷（四）

一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一,如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆

锥体），它的主视图是（）

从正面看

2.若。<力,则下列不等式变形正确的是（）

〃6

B.-a<-bC.-\+a<-\+bD.

22

3.已知直线及直线外一点C,如图是小明利用尺规作图作出COII48的痕迹,

他判定两直线平行的依据是（）

A.同位角相等，两直线平行

B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内角互补，两直线平行

D.平行丁同条直线的两直线平行

4.化简二J,的结果是（）

r-1x-1

A.-IB.1C.x-1D.x-2

5.体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2）,如果乙2=20°,则人等于（）

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A.100°B.110°C.115°D.120°

6.为落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程，甲、乙两名同学从“园艺”、“厨艺”、“陶

艺”、“木工”4门课程中随机选择一门学习，则甲、乙两人选择同一门课程的概率是（）

1I11

A.-B.IC.6D.也

7.如图,在平面直角坐标系中,/\。力冬与八CC力是以。为位似中心的位似图

形，若力(-3,2),B(-2,0),D(4,0),则点C的坐标是()

A.(4,-6)

B.(6,-4)

C.(6,-5)

D.(-6,4)

8.若一次函数厂以+〃的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

A/V0

B.当户2时，y=0

C.y随x的增大而减小

D.当x>0时，y>0

9.我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日：疾马至，少三日.疾

马H速倍迟.译为白话文是：把•份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多•天；如果

用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.设未知数XM依题意列出一个方程y

（xH）=2y（x-3）,则用一个未知数列出方程正确的是（）

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900IHIM)IHIMIDOO

10.如图，〃力是菱形45。。的对角线，点尸在边彳。上，连接CF并延长，交BA

的延长线于点E,CE交BD于点G,若/O=44E,CE=18,则CG的长为（）

A.8

B.12

C.：4

D.16

11.如图，四边形中，BCW/D,乙4=60°,4B=BC=l。cm,4D=\6cm,点、P从

点,4出发，以4c〃而的速度沿小。向点。运动，同时，点。从点力出发，以5a〃/s

的速度沿/-B-C向点C运动，直到两点都到达终点.若点P的运动时间为Ms）,

△力尸。的面积为S（。/），则下列最能反映S与，之间函数关系的图象是（）

二、填空题：本题共4小题，每小题3分,

12.分解因式4/-4〃=_____.

13.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进次〃，所

用的时间，即“配速”（单位：min/Aw）.小华参加微机的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列

说法中正确的是—.

①第1八?所用的时间最长；

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②第5妨?的平均速度最大；

③第2km和第3km的平均速度相同；

④前2km的平均速度大于最后2km的平均速度.

配速

6....................................................-.............

■

5.....................................................................

4.................................................V................

3.......................♦.........................................

2..............................................................•---

第Ikm第2km第3km第4km第5km路程

14.如图，为。。的直径，C,。为。。上的点，前—不方，若乙CAB=37°,

则上。£>=.

15.如图，在矩形力8C。中，E,尸是4C边上的三等分点，连接。E,力户相交于点

G,连接CG.若力8=4,BC=6,则taMGb的值是

三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题6分）

计算：IM.U5•T-2）\IS-I.

17.（本小题6分）

先化简,再求值：3a2b+ab2-（-ab-+3a2b+1）»其中a=3,b=-2.

18.（本小题6分）

解方程：2（x-1）2=x-1.

19.（本小题6分）

m

如图，直线产-x+方与x轴交于点,4（2,0）,与y轴交于点8,与反比例函数V-j（/〃为常数〃?W0）的

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图象在第二象限交于点C（-2,a）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求△8OC的面积.

20.（本小题6分）

某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示.其中，A,

B为某建筑物墙面.上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点.已知点A与点C的垂直距

离OA与水平距离OC均为16米，水流在与点力水平距离为6米处达到最高点.

（1）求水枪喷口位于点。处时，水流恰好到达/处着火点所形成的抛物线解析式，并标出x的取值范围；

（2）若将水枪喷口从点。处沿水平方向向左平移3米到点。处，其他条件不变，此时水流能否到达点力

正上方7.5米处的8着火点？请说明理由.

21.（本小题6分）

项目学习

项FI背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，

两栏中间为步道，内栏墙内为泉泡，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综

合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.

项目主题景物的测量与计算

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驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径

活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算

图1为该景点俯视图的示意图，点

力,。是正八边形中一组平行边的中

点，8c为圆的直径，图中点4,B,

C,。在同一条直线上.

图2为测量方案示意图，直径笈C

所在水平直线与外栏墙分别交于点

方案说明

E,F,外栏墙/E与。尸均与水平地

面垂直，且AE=DF.BE,均表示

步道的宽，8E=C户.图中各点都在同

活动过程

一竖直平面内.

L-I-।....................•…_LJ

■1■>

在点A处测得点B和点C的俯角分

别为乙。44=37°,匕£MC=8.5°,

数据测量

AD=26米.图中墙的厚度均忽略不

计.

计算•••

交流展示♦・♦

请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径8C的长（结果精确到1米.参考数据：（sin8.5°^0.15,

cos8.5°=0.99,tan8.5°比0.15,sin37°凫0.60,cos37°比0.80,tan37°g0.75）.

22.（本小题6分）

为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某

中学开展了建党100周年知识测试.该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学牛•的成

绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：

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。.八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50Wx<60,60<x<70,70«80,80Wx<90,90«100）；

儿八年级学生.成绩在80WxV90的这一组是：

808182838383.583.58484858686.587888989

七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表:

年级平均数中位数众数

七年级87.28591

八年级85.3m90

根据以上信息，回答下列问题:

（1）表中的值为;

（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在年级抽样学生中排名更靠前，理由是

_______9*

（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数.

23.（本小题6分）

请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.

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数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：

题目：已知正方形48c。，利用尺规作一个正方形，使点£,凡G,〃分别在48,BC,CD,

D4边上.

勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1.作法如下：①作线段力。的垂直平分线分别

交4。，

BC于点H,F；②作力8或少〃或CO的垂直平分线分别交4?,CD于煎E,G,连接EF,

FG,GH,则四功形月"GH是所求的正方

任务:

（1）如图1,勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段力。垂直平分线作法依据的定理是______;

（2）如图2,作线段力。的垂直平分线分别交力。，BC于点H,F：请在图2中，用不同于图I的方法作出

满足条件的正方形EFG"；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（3）如图3,点E是边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形EFGH.（要求：尺规作图，保

留作图痕迹，不写作法）

24.（本小题6分）

如图，己知。O是△44C的外接圆，44是C>。的直径，。为。。外一点，AD工CD于点D,且4C平分4比1D

（1）求证：直线CO为。。的切线：

（2）若4>3,AC=4,求。O的半径.

25.（本小题6分）

【问题呈现】

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如图1,nMAN的顶点在正方形48CZ）两条对角线的交点处，乙MPN=9。：将乙绕点P旋转，旋转过

程中，乙UPN的两边分别与正方形48C。的边力。和CO交于点£、尸（点尸与点C,。不重合）.探索线段

DE、DF、片。之间的数量关系.

（1）【问题初探】

爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论.请你写出线段。£力。之间的数量关

系______：

（2）【问题引申】

如图2,将图1中的正方形48CQ改为4100120°的菱形，乙EPF=60°,其他条件不变，请你帮小悦得出

此时线段。E、DF、4。之间的数量关系，并说明理由；

（3）【问题解决】

如图3,在（2）的条件下，当菱形的边长为16,点尸运动至与4点距离恰好为14的位置，且乙EPF旋转至

。户=2时，请直接写出。E的长度___.

26.（本小题15分）

在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,对于平面内点P和y轴上点。，给出如下定义：将点尸绕着点

。旋转90°得到的对应点尸恰好在。。上，称点P为。。的“赋能点”.

（1）已知点0的坐标为（0,1）.

①如图1,在点乃（2,1）,Pi（1,1）,。3（-1,2）中，00的“赋能点”是:

②如图2,若直线尸-.叶〃上存在点尸，使点尸为。。的“赋能点”，求力的取值范围；

（2）如图3,点。（0,f）,M（-1,2）,N（2,2）.若线段MN上存在点P,使点Q为。。的“赋能点”，

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直接写出，的取值范围.

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1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】4(a+h}(a-h)

13.【答案】®®®

14.【答案】26.5°

15.【答案】:

4>

16.【答案】0.

17.【答案】2ab2八,23.

18.【答案】解：方程变形得：2(x-1)Z(x-1)=0,

分解因式得：(x-1)(2x-2-1)=0»

(A-1)(27)=0,

可得r1=0或2x-3=0»

解得：X1=1,X2=1.

8

19.【答案】y---2

X

20.【答案】y)了hr■Jf.JIJ-161不能，理由如下：

根据题意可知，水枪喷口位于点。处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点D处水流形成的抛物线形状

相同，位置不同，

•••可得水枪喷口位于点。处水流形成的抛物线的解析式为，b3r25,即

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y=一扣-3），+25.

•••兰x=0时，尸22.75,即水流正好到点（0,22.75）处.

•••16+7.5=23.5,22