（二模）2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试卷（含答案及解析）

2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第1页共4页后附原卷扫描版 试卷类型：后附原卷扫描版2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学 2026.4本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，留存试卷，交回答题卡。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=21-i,A. 2 B.\sqrt{3} C.2 D. 52.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x²-3x+2≤0},则A∩B=A.{-1} B.{1} C.{1,2} D.{0,2}3.1+2A.20 B.40 C.60 D.804.设a,b∈R,则“3a>3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在平行四边形ABCD中，AE=2ED6.已知直线l，平面α，满足l⊄α，则下列命题一定正确的是A.存在m⊂α,使得l,m相交 B.存在m⊂α,使得l∥mC.存在m⊂α,使得l,m的夹角为π/6D.存在m⊂α,使得l⊥m7.双曲线C:x2a2-y2b2=1（a＞0,b>0)A.1+2 B.1+3 C.38.已知函数fx=exx-1+x2-x,则满足f(mA.(0,+∞) B.-12+∞ C.(-1,+∞) D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.f(x)的最小正周期为2π BC.fx+5π4为偶函数D.f(x10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：月份x12345销售额y/万元1.82.2t2.83.1根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为y=A.变量y与x正相关 B.t=2.6C.样本数据y的下四分位数为1.8 D.当x=8时,y的预测值为4.1万元11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过O，A.AB=3B.平面OAB⊥平面OA₁B₁C.截面α的面积为8D. 该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为132026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第2页共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线y=3x+b是曲线y=2x+lnx的一条切线,则b=.13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=20,S26为Sn的最大值，则14.已知圆O:x2+y2=1,A是圆O上的一动点，B(2，0).若存在一个半径为r的圆与直线AB相切于点B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出说明、明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(1)求sinB的值;(2)若△ABC的面积为1,求△ABC的周长.16.(15分)已知函数f(1)若f(x)在x=1时取极值,求a的值和f(x)的极小值;(2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.17.(15分)已知抛物线C:y2=2pxp0)的焦点为F，A，B是C上不同的两点(其中A在第一象限)，点M-p20(1)求C的方程;(2)若Q为x轴上一点,且|AQ|=|BQ|(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①A,B,F三点共线;②AQ∥y轴;③MB⊥AB.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第3页共4页18.(17分)如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2，其中O为底面圆心，母线.PA=3,动点M从A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L.(1)求L长度的最小值；(2)若点Q在圆O上,且PM=23-cosθPQ(θ是AQ所对的圆心角，0≤θ≤(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α，求平面MPO与α夹角余弦值的取值范围.19.(17分)一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格.方格C是初始位置，A是营养丰富的角落，每次到达方格A时，微生物进行一次繁殖.记该微生物第n次繁殖时所经过的总移动步数为X(1)求PABABCBABA(2)求E(X₁);(3)求E(Xn).参考公式:1.若0＜q＜1,对于∀a,b∈R,则lim2.若ξ，η是离散型随机变量，则.E(ξ+η)=E(ξ)+E(η).2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第4页共4页数学试题参考答案及评分标准第1页共16页2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=21-iA.2 B.3 C.2 D.5答案：A2.已知集合.A=-1012A.{-1} B.{1} C.{1,2} D.{0,2}答案：C3.1+2A.20 B.40 C.60 D.80答案：B解析：由于(1+2x)⁵的展开式的第3项为T3=4.设a,b∈R,则“3a>3A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：C5.在平行四边形ABCD中，AE=2ED答案：A解析：由于BE=BA6.已知直线l，平面α，满足l⊄α，则下列命题一定正确的是A.存在直线m⊂α,使得l,m相交 B. 存在直线m⊂α,使得l∥mC.存在直线m⊂α,使得l,m所成角为π/6 D. 存在直线m⊂α,使得l⊥m答案：D解析:对于选项A,若l∥α,任意直线m⊂α,l,m不相交,矛盾;对于选项B，若l与α相交，不存在直线m⊂α，使得l∥m，矛盾；对于选项C,若l⊥α,任意直线m⊂α,l⊥m,矛盾;对于选项D,若l⊥α,任意直线m⊂α,l⊥m;若l∥α,存在直线n⊂α,l∥n,令m⊥n,则l⊥m;若l与α相交,存在平面β,l⊥β,α∩β=n,令m∥n,则l⊥m,D正确.7.双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右焦点分别为FA.1+2 B.1+3 C.3答案：A解析在△OPF₂中,O则OF22+PF2于是PF1=22c,由于P8.已知函数fx=exx-1+x2-x,则满足f(mA.(0,+∞) B.C.(-1,+∞) D.(-∞,0)答案：B解析：由于函数y=x2-x关于直线当x>12时，函数y=x2-x单调递增，于是函数f(由f(m)＜f(m+2),则∣m+2-12∣>∣m-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.f(x)的最小正周期为2π B.f数学试题参考答案及评分标准第2页共16页C.fx+5π4 为偶函数D.f(x)答案:AD10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：月份x12345销售额y/万元1.82.2t2.83.1根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为y=A.变量y与x正相关 B.t=2.6C.样本数据y的下四分位数为1.8 D.当x=8时,y的预测值为4.1万元答案:ABD解析：对于选项A，由于k=0.32>0，则变量y与x正相关；对于选项B，由于x=3,则y=1.8对于选项C，由于5×14=1.25对于选项D,当x=8时,y₈=4.1,选ABD.11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过A，A.AB=3B.平面OAB⊥平面OA₁B₁C.截面α的面积为8D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为13答案:BCD解析：如图，取上底面，下底面的中心分别为O₁，O₂，取AB，A₁B₁的中点M，N，取MN中点I，于是四边形O₁NMO₂为矩形，则(O于是O₂M=1,CM=3,则. AB=23对于选项B,由于AB∥A₁B₁,且AB⊂平面OAB,A₁B₁⊄平面OAB,则AB∥平面OAB,又因为A₁B₁⊂平面OA₁B₁,平面OA₁B₁∩平面OAB=l,则l∥AB∥A₁B₁,如图,连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥A₁B₁,则∠MON为平面OAB与平面OA₁B₁所成角平面角，由于ON=OM=2,MN=2, 则OM2+ON2数学试题参考答案及评分标准第3页共16页对于选项C,如图,连接MO,交NC₁于H,过点H作AB的平行线交A₁C₁,B₁C₁于E,F,由于△HO₁O~△MO₂O,则(O1H=C1H=O1N=1,则H为C₁N上靠近C₁的三等分点，于是EF=13AB=233,由于MH⊥对于选项D，由于正三角形△C₁EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点，于是CEF-CAB为正三棱台,₁V而三棱柱的体积V=2×3则较小部分与较大部分的体积之比为13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12. 若直线y=3x+b是曲线y=2x+lnx的一条切线,则b=.答案:-1解析：设切点为(x02x0+lnx0,由于y'=1x+2,则1x0+13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，首项(a₁=20,S₂₆为Sn的最大值,则S₂₆的值可以为.(写出一个符合条件的值即可)数学试题参考答案及评分标准第4页共16页答案:260([260-270]均可)解析：设an=20+n-1d,由S₂₆那么{S26≥S27SS14.已知圆O:x2+y2=1,A是圆O上的一动点，B(2，0).若存在一个半径为r的圆与直线AB相切于点B答案:1.2解析:如图,取圆的圆心为P,连接PB,PO,设点P(x,y),由于|OP|=4-r=4-|PD|,则|PB|+|PO|=4(>|OB|=2),于是点P的轨迹是以O，B焦点的椭圆，从而椭圆的中心为(1，0)，于是设点P的轨迹方程为：x-1{2a=42c=2,由于直线AB始终与x2+y不妨设PB的倾斜角为θ，如图，θ>π2才能取到最小值，θ-π由OH=要求|PB|的最小值，由焦半径公式：∣PB∣=数学试题参考答案及评分标准第5页共16页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(1)求sinB的值(2)若△ABC的面积为1,求△ABC的周长.解：(1)由余弦定理：a2=b2且A∈(0,π),则A=3π4由正弦定理：a所以sinB=sinCsinA=2又因为sin2B+cos因为B∈0π4解法2A=34π,于是由余弦定理：aa由正弦定理，asin(2)解法1由(1),A=由正弦定理，a于是b=Sa=解法2由(1),A=则12sinB=如图,延长BA,过点C作CH⊥BA,由∠CAB=34π,数学试题参考答案及评分标准第6页共16页数学试题参考答案及评分标准第7页共16页于是设CH=AH=x,AC=2x=b,tanB=CHAH=12,则16. (15分)已知函数f(1)若f(x)在x=1时取极值,求a的值和f(x)的极小值;(2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.解:(1)由于f则f'(1)=e-2+2-a=0,则a=e,于是f令tx=e令t'(x)=0,则x=ln2,则f'(x)在(-∞,ln2)上单调递减,所以f(x)在(-∞,ln2)上没有极小值,又因为f'(x)在(ln2,+∞)上单调递增,且f'(1)=0,故f(x)在(ln2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,于是f(x)在x=1处取极小值,极小值为f(1)=1.(2)解法1由于不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立,则f(1)≥1,即e-1+2-a≥1,所以a≤e,下证:当a≤e时,e由于a≤e,则e令mx=ex-x2+2-ex,由(1)可知,m(x)在[1,+∞)上单调递增,于是m(x)≥m(1)=1,所以f(x所以a∈(-∞,e].解法2令fx=e设gx=exx-x-1x,则a-2≤g数学试题参考答案及评分标准第8页共16页由于g设g1x=ex-x-1,于是g1x≥g11=e-于是g(x)在[1,+∞)上单调递增,于是gxmin=g1=e-2解法3由于ff则f'(x)在[1,+∞)上单调递增,由于f'(1)=e-a,若f'(1)=e-a＜0,a>e,由于f'(x)在[1,+∞)上连续,则存在x∈(1,x₂),f'(x)＜0,于是f(x)在(1,x₂)上单调递减,则fx若f'(1)=e-a≥0,a≤e,则f'(x)≥f'(1)=0,于是f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(1)=1+e-a≥1,则a≤e恒成立,综上所述,a∈(-∞,e];解法4由fx=e设gg若3-a≤1,则a≥2,则g'(x)≤0,g(x)在[1,+∞)单调递减,则gxmax=g1=ae若3-a>1,a＜2,令g'(x)=0,x=3-a>1,令g'(x)>0,1≤x＜3-a,则g(x)在[1,3-a)上单调递增;令g'(x)＜0,x>3-a,则g(x)在(3-a,+∞)上单调递减,于是gxmax=g3-a=4-ae3-a,令t=3-a>1,设ht=et-t-1,则h(t)>e-1-1>0,即4-ae3-a＜综上所述:a∈(-∞,e];17.(15分)已知抛物线C:y2=2pxp0)的焦点为F，A，B是C上不同的两点(其中A在第一象限)，点M-p20(1)求C的方程;(2)若Q为x轴上一点,且|AQ|=|BQ|(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①A,B,F三点共线;②AQ∥y轴;③MB⊥AB;注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解:(1)由题,A,B关于x轴对称,令y=p,则x=p2,于是直线AB过焦点F，在Rt△AFM中,有∣AM∣2=∣FM∣2+∣AF∣2,(2)①②⇒③解法1：由题意知，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(x₁,0),x₁≠x₂,则k于是直线AB:y-y1=若A,B,F三点共线,y1+y取A,B中点P,连接PQ,由|QA|=|QB|,则PQ⊥AB,而k则kPQ=kBM,PQ‖BM,解法2：由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线.AB:x=ty+1,点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(x₁,0),x1≠x2,{取A,B中点P,连接PQ,由|QA|=|QB|,则PQ⊥AB,而则kPQ=kBM,PQ∥BM,则MB⊥AB;解法3：如图，设C的准线为l：x=-1，过点A，B分别作l的垂线，垂足为A₁,B₁,过点F作FH⊥AA₁,设直线AB的倾斜角为θ,于是|AF|=|AA₁|,则|.AF|=p+|AF|cosθ,即∣AF∣=21-cosθ数学试题参考答案及评分标准第9页共16页在△QFA与△BFM中,∣QF∣=取A,B中点P,连接PQ,于是∣FP∣=2cos2于是cosθ(1+cosθ)=1,且∣QF∣且∠QFA=∠BFM,则△QFA~△BFM,于是∠MBF=∠AQF=π2,即MB①③⇒②解法1:由题,AB与x轴不垂直,不妨设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(m,0),x₁≠x₂,则k于是直线AB:y-y1=若A,B,F三点共线,则.y取A,B中点P,连接PQ,由于k由|PA|=|PB|,PQ⊥AB,且MB⊥AB,则PQ∥BM,kPQ=kBM,4y1+则y1y2则m=-y1y2=y124=x解法2:由题,AB与x轴不垂直,不妨设直线AB:x=ty+1,点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(m,0),x1≠x2,{取A,B中点P,连接PQ,数学试题参考答案及评分标准第10页共16页由于k由|PA|=|PB|,PQ⊥AB,且MB⊥AB,则PQ∥BM,kPQ=kBM,4y1+则y1y2则m=-y1y2=y124解法3：如图，设C的准线为l：x=-1，过点A，B分别作l的垂线，垂足为A₁，B₁，设直线AB的倾斜角为θ,于是|AF|=|AA₁|,则|AF|=p+|AF|cosθ,即∣AF∣=21-cosθ在△BFM中,∣FM∣=取A,B中点P,连接PQ,∣FQ∣=于是cosθ=∣BF∣∣MF∣=∣PF∣∣FQ∣=11+cosθ则∣FQ∣=在△QFA与△BFM中,∣QF∣=∣QF∣且∠QFA=∠BFM,则△QFA~△BFM,于是∠MBF=∠AQF=π2,即AQ⊥x轴,AP②③⇒①解法1:由题,AB与x轴不垂直,不妨设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(x₁,0),x₁≠x₂,则k于是直线AB:y-y1=取A,B中点P,连接PQ,由|QA|=|QB|,则PQ⊥AB,数学试题参考答案及评分标准第11页共16页而由PQ⊥AB,MB⊥AB,则.PQ‖BM,4y2-y则直线AB:y1+y2y+4=4解法2:由题,AB与x轴不垂直,不妨设直线AB:x=ty+m,点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(x₁,0),x₁≠x₂,联立直线AB与C:{取A,B中点Q,连接PQ,由|QA|=|QB|,则PQ⊥AB,而由PQ⊥AB,MB⊥AB,则PQ∥BM,kPQ=kBM,4y2-y1=则直线AB:x=ty+1恒过定点F,即A,B,F三点共线.18.(17分)如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2，其中O为底面圆心，母线PA=3，动点M从A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L.(1)求L长度的最小值；(2)若点Q在圆O上，且PM=23-cosθPQ(θ是AQ所对的圆心角,0≤θ≤2π),证明：存在非零向量(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α，求平面MPO与α夹角余弦值的取值范围.解：(1)如图，沿圆锥PO的母线PA，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形PAA'，其中B为AA的中点，A'与A在圆锥中是同一点.因为轨迹L在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹L是扇形PAA'上连接A'与A两点的曲线.又L是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，所以，轨迹L是侧面展开图扇形PAA'上连接A'与A两点的线段，即线段AA'.由于AB=2,所以AA的长度为2π,又PA=3,所以∠AP数学试题参考答案及评分标准第12页共16页所以，在等腰三角形.PAA'中，AA'=33(2)如图，在底面圆O中，过点O作OE⟂AB交圆O于点E，由于PO⟂平面ABE,,则OA,OE,OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y于是A(1,0,0),P(0,0,22),Q(cosθ,sinθ,0),设M(x,y,z),则PM于是则M2于是AM于是令n=22(3)解法1由(2)可知,n=22设平面MPO的法向量为n由于OP则{n1·于是平面MPO的一个法向量为n设平面α与平面MPO所成角为α，于是cosα=∣数学试题参考答案及评分标准第13页共16页即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为0解法2由(2)可知，平面α的法向量n=220则平面POM即平面POQ的法向量可以是底面上任意方向的向量，如图,在平面PAB内,过点O作ON⊥AF,则ON→‖n,设平面MPO与平面α所成的角为θ，则∠NOA≤θ≤π2,易知tan∠NOA=32即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为019.(17分)一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格.方格C是初始位置，A是营养丰富的角落，每次到达方格A时，微生物进行一次繁殖.记该微生物第n次繁殖时所经过的总移动步数为Xn(n∈N°).(1)求P(2)求E(X₁);(3)求E(Xn).参考公式:1.若0＜q＜1,对于∀a,b∈R,则lim2.若ξ，η是离散型随机变量，则