广西高考数学改革试题及答案

广西高考数学改革试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间距离3。2.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA的值为（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√3/4D.1【答案】A【解析】cosA=1/2，A为锐角，故sinA=√(1-cos²A)=√3/2。3.设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1,1/2}B.{1}C.{1/2}D.∅【答案】A【解析】A={1,2}，若B⊆A，则a=1或a=1/2。4.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，q=2，则S_4的值为（）（2分）A.15B.31C.15D.16【答案】B【解析】S_4=a_1(1-q⁴)/(1-q)=1×(1-16)/(-1)=31。5.函数y=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的函数是（）（2分）A.y=cos(2x+π/3)B.y=cos(2x-π/3)C.y=-sin(2x+π/3)D.y=-cos(2x+π/3)【答案】B【解析】y=sin(2x+π/3)图像关于y轴对称需满足f(-x)=f(x)，即cos(2x-π/3)。6.已知直线l:ax+by=c与圆C:x²+y²=r²相交于两点P和Q，若PQ的中点为(1,2)，则直线l的斜率为（）（2分）A.-1/2B.1/2C.-2D.2【答案】D【解析】圆心(0,0)到直线l的距离为r/√(a²+b²)，且PQ⊥OP，斜率乘积为-1，得k_l=2。7.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为（）（2分）A.3/4B.4/5C.5/3D.1/2【答案】B【解析】由余弦定理cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×4)=4/5。8.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件共36个，点数和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4个，概率为4/36=1/9。9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.eB.e²C.1/eD.1/e²【答案】A【解析】f'(x)=e^x-a，f'(1)=0得e-a=0，故a=e。10.已知双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为√2，则其渐近线的斜率是（）（2分）A.1B.√2C.-1D.-√2【答案】A【解析】e=√(1+b²/a²)=√2，得b/a=1，故渐近线斜率为±1。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列函数中，在区间(0,π)上单调递增的是（）（4分）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=e^x【答案】C、D【解析】y=sinx在(0,π)先增后减，y=cosx单调递减，y=tanx单调递增，y=e^x单调递增。2.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的公差d为（）（4分）A.1B.2C.3D.4【答案】B、C【解析】a_1+a_3+a_5=3a_1+6d=15，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=21，解得d=2或d=3。3.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0，则a、b的取值分别为（）（4分）A.a=3B.a=2C.b=2D.b=3【答案】A、C【解析】f'(x)=3x²-2ax+b，f'(1)=0得3-2a+b=0，f(1)=0得1-a+b-1=0，解得a=3，b=2。4.在空间直角坐标系中，下列命题正确的是（）（4分）A.过一点有且只有一个平面垂直于已知直线B.若直线l平行于平面α，则l与α内的任意直线平行C.三个平面两两相交可确定两条直线D.若直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α【答案】A、D【解析】B错误，l可能与α内直线异面；C错误，可能交于一点；A、D均为平面几何基本性质。5.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则关于x的不等式f(x)≤5的解集为（）（4分）A.[-3,4]B.[-2,3]C.[-4,2]D.[-3,3]【答案】A、C【解析】f(x)={3-x(x<-2),-1(-2≤x≤1),x+1(x>1)}，解得-3≤x≤4或-4≤x≤2。三、填空题（每题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x²+ax+b在x=1处取得最小值，且f(0)=3，则a=______，b=______。（4分）【答案】-2；1【解析】f(x)=(x+a/2)²-a²/4+b，对称轴x=-a/2=1，得a=-2，f(0)=b=3。2.在△ABC中，若a=5，b=7，C=120°，则c=______。（4分）【答案】√39【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=25+49-2×5×7×(-1/2)=89，c=√89。3.已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，q=3，则S_5=______。（4分）【答案】322【解析】S_5=2×(3⁵-1)/(3-1)=322。4.在△ABC中，若sinA/3=sinB/4=sinC/5，则a:b:c=______。（4分）【答案】3:4:5【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，得a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5。四、判断题（每题2分，共10分）1.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=3。（）（2分）【答案】（×）【解析】f'(x)=3x²-a，f'(1)=3-a=0，得a=3。但需验证是否为极值点，若a=3，f'(x)≥0，无极值。2.若直线l₁:ax+by=c与直线l₂:mx+ny=p相交，则a/m≠b/n。（）（2分）【答案】（×）【解析】l₁与l₂相交需2am≠bn，即a/m≠b/n不一定成立，如a=1,b=2,m=2,n=4时成立。3.已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在R上单调递增。（）（2分）【答案】（×）【解析】f(x)=(x-1)²+2，在x=1处取得最小值，故在(-∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增。4.若集合A={x|x²-x-6>0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a=1或a=-1/6。（）（2分）【答案】（×）【解析】A=(-∞,-2)∪(3,+∞)，若B⊆A，则a=1或a=-1/6。但若a=0，B=∅也满足B⊆A，故a≠0时a=1或a=-1/6。5.已知圆C:x²+y²=1与直线l:ax+by=1相交，则a²+b²>1。（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心(0,0)到直线l的距离d=1/√(a²+b²)<1，得a²+b²>1。但若直线过圆心a²+b²=1时仍相交。五、简答题（每题5分，共15分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的单调区间。（5分）【答案】（1）求导f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)（2）令f'(x)=0得x=0或x=2（3）用导数符号法：当x∈(-∞,0)时f'(x)>0，递增；当x∈(0,2)时f'(x)<0，递减；当x∈(2,+∞)时f'(x)>0，递增。故单调增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求该数列的通项公式a_n。（5分）【答案】（1）由S_n=na_1+n(n-1)d/2（2）S_5=5a_1+10d=25①（3）S_10=10a_1+45d=70②（4）联立①②解得a_1=5，d=2（5）通项公式a_n=a_1+(n-1)d=5+2(n-1)=2n+33.已知圆C:x²+y²-2x+4y-3=0，求圆的圆心和半径。（5分）【答案】（1）配方(x-1)²+(y+2)²=4+3-3=4（2）圆心为(1,-2)（3）半径为√4=2六、分析题（每题12分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，且f(1)=0，求a、b的值，并判断该极值是极大值还是极小值。（12分）【答案】（1）求导f'(x)=3x²-2ax+b（2）由f'(1)=0得3-2a+b=0①（3）由f(1)=0得1-a+b-1=0②（4）联立①②解得a=2，b=1（5）f''(x)=6x-2a=6x-4，f''(1)=2>0（6）故x=1处取得极小值2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)的最小值，并画出函数的图像。（12分）【答案】（1）分段函数：f(x)={3-x(x<-2),-1(-2≤x≤1),x+1(x>1)}（2）当x=-2时f(x)=-1，当x=1时f(x)=2（3）当x∈(-2,1)时f(x)=-1，为最小值（4）图像为折线段：从(-∞,-2)的斜率为-1的线段连接(-2,-1)的线段从(-2,1)的斜率为1的线段连接(1,2)的斜率为1的线段七、综合应用题（每题25分，共50分）1.在△ABC中，若a=3，b=√7，C=120°，求c的值，并判断△ABC是否为直角三角形。（25分）【答案】（1）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+7-2×3×√7×(-1/2)=25（2）得c=5（3）检验是否为直角三角形：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(7+25-9)/(2×√7×5)=3/√7≠0cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(9+25-7)/(2×3×5)=7/15≠0cosC=-1/2（4）三个角均