2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第八章立体几何与空间向量第一节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课标解读考向预测1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．3．知道球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．近三年高考考查了空间几何体的体积及外接球的相关知识．预计2026年高考会继续考查空间几何体的体积，涉及空间几何体的结构特征、直观图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，主要以选择题或填空题的形式出现，难度不大．必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础名称棱柱棱锥棱台图形底面互相______且_____多边形互相______且_____1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征平行全等平行相似侧棱___________相交于______，但不一定相等延长线交于____侧面形状____________________梯形分类按底面多边形的边数平行且相等一点一点平行四边形三角形名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于_____延长线交于_____轴截面_________________________________________等腰梯形圆面侧面展开图________________________扇环

(2)旋转体的结构特征垂直一点一点矩形等腰三角形矩形扇形2．直观图(1)画法：常用__________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面________；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别_______坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_______．斜二测画法45°(或135°)垂直平行于不变一半圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_______S圆锥侧＝______S圆台侧＝__________3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2πrlπrlπ(r1＋r2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积Sh4πR2题组一走出误区——判一判(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

)(3)斜三棱柱的侧面积也可以用c·l来求解，其中c是底面周长，l为侧棱长．(

)(4)底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等．(

)×√××题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册习题8．1T6改编)下列说法正确的个数为(

)①圆柱的所有母线长都相等；②棱柱的侧棱长都相等，侧面都是平行四边形；③底面是正多边形的棱锥是正棱锥；④棱台的侧棱延长后必交于一点．A．1 B．2

C．3 D．4解析：对于①，由圆柱的性质知，母线长都相等，故①正确；对于②，棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形，故②正确；对于③，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥是正棱锥，故③错误；对于④，用平行于底面的平面去截棱锥可得到棱台，所以棱台的侧棱延长后必交于一点，故④正确．故选C．(3)(人教A必修第二册8．3．2练习T1改编)已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为(

)A．2π B．3πC．4π D．5π(4)(人教B必修第四册第十一章复习题C组T2改编)中国是瓷器的故乡，中国瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献．如图是明清时期的一件圆台形青花缠枝纹大花盆，其上口直径为20cm，下底直径为18cm，高为24cm，则其容积约为(

)A．1448πcm3 B．1668πcm3C．2168πcm3 D．3252πcm3考点探究—提素养

基本立体图形(多考向探究)考向1空间几何体的结构特征

(2025·河北唐山阶段考试)下列说法错误的是(

)A．球体是旋转体B．圆柱的母线平行于轴C．斜棱柱的侧面中没有矩形D．用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台解析：球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得的几何体，即球体是旋转体，A正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确；如图，斜平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若AD⊥平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，则AD⊥AA1，侧面四边形ADD1A1是矩形，C错误；由正棱台的定义知，D正确．故选C．

空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．1．(2025·湖北襄阳五中月考)下列说法正确的是(

)A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台解析：对于A，虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B，球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C，以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，故D错误．故选B．考向2平面图形与其直观图

利用斜二测画法解题的策略2．(2025·广州南武中学模拟)如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．8考向3空间几何体的展开图

如图，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长为1cm，侧面积为9cm2，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A′的最短路线的长为________cm．

多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．考向4空间几何体的截面图(多选)如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面图形可能是该几何体的截面的是(

)解析：对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，但此时剖面中间应该是一个正方形，故A图形不可能是该几何体的截面；对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如B图形，故B可能是该几何体的截面；对于C，当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH的位置，截面形状如C图形，故C可能是该几何体的截面；对于D，如图3所示，按图中截面A1B1C1的位置去剖开正方体，截面形状如D图形，故D可能是该几何体的截面．故选BCD．

作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．4．圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是(

)解析：圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如图1所示，则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如图2．故选D．空间几何体的表面积

空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．(3)组合体的表面积注意衔接部分的处理．空间几何体的体积(多考向探究)考向1直接法求体积(2)(2024·全国甲卷)已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．

直接法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解．考向2补形法求体积

如图，已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为36，E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A1－AEFD的体积为________．12

把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算．常见的补形有：(1)将正四面体补形成正方体；(2)将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体；(3)将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补形成正方体；(4)将台体补形成锥体等．9．如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为(

)A．90π B．63πC．42π D．36π

分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，可将其分割转化成比较好求体积的几何体．10．如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．4考向4转化法求体积

(1)等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性．(2)尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积．转化的目的是找到易于计算的“好底”与“好高”．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考向基本立体图形空间几何体的体积基本立体图形基本立体图形基本立体图形空间几何体的表面积与体积空间几何体的体积空间几何体的体积基本立体图形空间几何体的表面积与体积考点平面图形与直观图圆锥的体积(直接法求体积)；圆柱与圆锥的侧面积空间几何体的截面图空间几何体的展开图空间几何体的结构特征棱柱、棱锥、球的表面积与体积棱锥的体积(直接法求体积)分割法求体积平面图形与直观图圆锥的侧面积与体积(直接法求体积)关联点扇形弧长公式二面角题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向空间几何体的表面积与体积空间几何体的体积空间几何体的表面积基本立体图形空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积空间几何体的体积基本立体图形基本立体图形空间几何体的表面积与体积考点棱柱的表面积；棱锥的体积(直接法求体积)棱台的体积棱锥的表面积空间几何体的展开图圆锥的体积空间几何体的结构特征正方体内嵌几何体的相关计算关联点余弦定理3．用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为(

)①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤圆．A．①②③ B．①②④C．①②③④ D．①②③④⑤解析：用一个平面去截一个正方体，A，B，C，D，E，F分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示，故选C．5．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是(

)A．该几何体的面是等边三角形或正方形B．该几何体恰有12个面C．该几何体恰有24条棱D．该几何体恰有12个顶点解析：据图可得，该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．故选B．6．设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为S1，S2，S3，则(

)A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3C．S3<S1<S2 D．S3<S2<S1三、填空题12．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．2813．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，若BD＝1，则三棱锥D－ABC的表面积为________．四、解答题15．