2026年中考数学二轮复习《图形的性质》含答案

2026年中考数学二轮复习知识清单05图形的性质第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向►►考向聚焦►考查形式►能力清单第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用技法01全等三角形的性质与判定的综合技法02等腰三角形性质与判定的综合技法03平面镶嵌问题技法04四边形性质与判定的综合技法05四边型的综合问题技法06切线性质与判定的综合应用技法07尺规作图在几何证明与计算的应用技法08常见最值问题技法09垂直模型的应用技法10旋转模型的应用技法11半角模型的应用技法12倍长中线模型的应用第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁命题解码技法01全等三角形的性质与判定的综合：全等三角形是几何推理的核心工具，常与平移、轴对称、旋转等变换结合，考查学生在复杂图形中识别全等关系并进行推理证明的能力。技法02等腰三角形性质与判定的综合：重点考查等腰三角形"等边对等角""三线合一"等性质，以及"等角对等边"的判定方法，常与角度计算、线段证明结合。技法03平面镶嵌问题：考查多边形内角和及正多边形内角计算，判断给定正多边形能否进行平面镶嵌（密铺），常以选择题形式出现。技法04四边形性质与判定的综合：考查平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定，常与三角形全等、相似结合，要求进行推理证明或计算。技法05四边型的综合问题：四边形与函数、动点、最值等问题的综合，常作为压轴题，考查学生的综合分析能力。技法06切线性质与判定的综合应用：切线的判定与性质是圆部分的高频考点，常出现在解答题中，与三角形相似、勾股定理等结合，考查推理与计算能力。技法07尺规作图在几何证明与计算的应用：以无刻度的直尺和圆规作图为核心，要求保留作图痕迹，并结合作图过程进行几何证明或计算。技法08常见最值问题：几何图形中的线段最值、面积最值问题，常结合动点、函数模型考查，是中考压轴题的热点。技法09垂直模型的应用："一线三垂直"模型是中考高频模型，常在全等、相似、函数与几何综合题中考查，用于证明线段相等或求长度。技法10旋转模型的应用：以旋转中心、旋转角、对应点关系为核心，考查旋转前后图形的全等关系，常用于证明线段相等、角相等或求最值。技法11半角模型的应用：半角模型常见于正方形、等腰直角三角形中，涉及一个大角中包含其半角，常通过旋转构造全等三角形解决问题。技法12倍长中线模型的应用：倍长中线是处理三角形中线问题的常用辅助线作法，常用于证明线段相等、角相等或求线段取值范围。几何部分是中考数学的“压轴主力”，考查呈现基础+模型+综合的层次。技法01-06属于核心几何知识（全等、等腰、四边形、切线）的综合应用，要求熟练掌握性质与判定；技法07尺规作图考查动手操作与推理结合的能力；技法08最值问题常作为压轴题，考查综合思维；技法09-12属于几何模型专题，考查学生在复杂图形中识别模型、运用模型解决问题的能力。命题趋势上，几何与代数结合日益紧密（如函数背景下的几何问题对模型识别能力和转化思想要求越来越高。直观想象能力：能根据条件想象几何图形，识别常见模型（一线三垂直、旋转、半角等）。逻辑推理能力：能依据已知条件，运用定理进行严谨的推理论证。模型识别与应用能力：在复杂图形中识别出基本几何模型，并运用模型结论快速解题。运算求解能力：准确进行线段长度、角度计算，运用勾股定理、方程思想求解未知量。分类讨论意识：在动点问题、存在性问题中，能根据位置变化进行分类讨论。知识必备全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）、常见全等模型、平行线性质、中点性质。答题技法熟悉平移型、轴对称型、旋转型、一线三垂直型等常见全等模型-1。证明时先找已知边角条件，再结合图形特征（如公共边、公共角、对顶角）寻找缺失条件。注意利用平行线找角相等、利用中线或垂线找边的关系。母题精讲【典例01】（2026·山东威海·模拟预测）课本再现（1）如图1，7CAE是△ABC的外角，AD平分7CAE，ADⅡBC，则ABAC填“<”“=”或“>”）类比迁移（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，过点D作DEⅡAB交AC于点E，求证：AE=DE.拓展运用（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC角平分线AD上一点，延长BO至点M，使BO=OM，过点M作MNⅡAB交AC于点N，猜想MN与NC的数量关系，并进行证明.变式应用【变式01】（2026·江苏苏州·一模）如图，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高，(1)△ABP≌△QCA；(2)APTAQ.【变式02】（2025·湖南长沙·一模）如图，△ABC中，ADTBC，垂足为D，BETAC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF=AC.(1)求证：△ADC≌△BDF；(2)若DF=2，AF=3，求BC的长知识必备直角三角形性质（勾股定理）。答题技法遇到等腰三角形，优先联想"三线合一"（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。涉及角度计算时，利用底角相等设未知数列方程；涉及线段证明时，常需构造全等三角形或利用等角对等边判定。母题精讲【典例01】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长某一节气，光线AM平分LBAC，D为AC上一点，连接MD，BD.(1)若MD丄AC，下面是小明证明△ABM≌△ADM的过程，依据1是，依据2是 ;证明：∵AM平分上BAC，MD丄AC，MB丄AB，∴DM=BM（依据1）在Rt△ABM和Rt△ADM中Rt△ABM≌Rt△ADM(2)若△ABD为等边三角形.①说明点M在线段AC的垂直平分线上；②已知日影BM的长为2米，求日影BC的长.变式应用点D，E均在边BC上（点D在点E的左侧且上DAE=α.(1)如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转2α得到△ACF，连接EF，求证：△ADE≌△AFE；【变式02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6点A按逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0。<α<180。)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．如图所示，设边AD与BC交于点M，边DE分别交BC,AC于点F,N.(1)求证：AM=AN；(2)当△MDF为等腰三角形时，请直接写出DF的长；【变式03】（25-26八年级上·山西长治·期末）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示：（1）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重【观察发现】【类比探究】②如图2，当α=60。时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由.【拓展延伸】CP=3，AP=6，请直接写出BP的长温馨提示：顶角为120。的等腰三角形三边之比为知识必备多边形内角和公式、正多边形内角计算、周角360°、平面镶嵌的条件。答题技法平面镶嵌的关键是同一顶点处各内角之和为360°。先求正多边形每个内角度数（(n-2)×180°/n再尝试组合使和为360°。常见能单独镶嵌的正多边形：正三角形、正方形、正六边形。母题精讲【典例01】（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务.关于同一种正多边形的平面密铺平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖.对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形，得到其内角和是(n-2)×180。，则一个内角的那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺.对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案.对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案.学习任务：(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形，得到其内角和是(n-2)×180。”，其中体现的数学思想主要是填出字母代号即可）A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：.AB=AE．求证BC=DE.变式应用【变式01】（2025·广东清远·二模）【问题背景】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.【探究发现】（1）单独用正三角形、正方形、正六边形等都能进行平面镶嵌．若只用正三角形地砖在一个拼接点处实现平面镶嵌，则需要块；【实际应用】（2）某业主有个房间长4.5m，宽3m；如果业主选用一种长为150cm，宽为75cm的矩形地砖进行镶嵌（缝隙忽略不计在不允许切割，不计损坏的情况下，如果你是铺地砖的师傅，通过计算，需要多少块这样的地砖？【思考拓展】（3）该业主有个长为6.2m，宽为5.4m的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选择了1图的两种边长均为60cm的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙忽略不计．若在不计损耗和损坏的情况下，两种地砖都使用，且按照如2图所示进行镶嵌，最后在四周用其它材料进行封边（每条封边的宽度小于30cm若正三角形地砖每块5元，正六边形地砖每块32元，在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是多少元参 考数据：3≈1.73）【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中上BAC的度数为.知识必备平行四边形的性质与判定、矩形/菱形/正方形的性质与判定、三角形全等与相似、中心对称答题技法掌握从一般到特殊的研究方法，清楚各种四边形之间的区别与联系。证明时，先明确目标四边形的类型，再选择合适的判定方法。注意利用对角线互相平分、对边平行等性质转化条件。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，四边形ABCD中，ADⅡBC，点O是AC，BD的交点，且点O为AC的中点.(2)若E为AB的中点，F为CD的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形AECF为正方形，并证明.变式应用DC∥EF．连接BF交DE于点P，连接CE交PF于点O，满足OF2=OP.OB.(1)求证：四边形DCFE为平行四边形.(2)如图2，当四边形DCFE为正方形，且D在线段AO上时，求证：.【变式02】（2024·湖南·模拟预测）如图，以△ABC的三边为边分别作为等边△ACD、等边△BCF和等边△ABE，连接DE和EF.(1)求证：DE=CF；(2)判断四边形CDEF的形状，并说明理由；若AC=BC=6，AB=6求四边形CDEF的面积.【变式03】（2026·湖南衡阳·一模）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CEⅡBF，连接BE、CF.(1)求证：△BDF≌△CDE若DE=试判断四边形BFCE的形状，并说明理由.知识必备四边形的性质、动点问题、函数思想、最值模型（将军饮马、二次函数最值）、分类讨论思答题技法对于动点问题，用含时间t的代数式表示相关线段，建立函数关系或方程。涉及最值时，常转化为二次函数求顶点或利用将军饮马等几何模型。注意分类讨论点的位置。母题精讲【典例01】（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】（1）如图1，四边形ABCD为矩形，点E为边BC上的一点，连接AE，过E作EF丄AE交边CD于点F，若AB=4，EC=3，则BE的值为；（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，连接AE，过点F作FG丄AE交CD边于点G，求证：AE=FG；【问题解决】（3）如图3，矩形ABCD是某植物园规划的一个花圃，点M处有一个凉亭，现要在AD、BC边上分别设立游客服务中心P、E，沿BM、PE修建两条互相垂直的普通小路，再沿BP和EM铺设两条石板小路，为节约铺设石板小路的费用，要求PB与ME的长度之和尽可能的小，已知，BM=600米，请你帮助植物园规划人员求出两条石板小路长度之和（PB+ME）的最小值凉亭、游客服务中心的大小、所有小路的宽度均忽略不计）变式应用【变式01】（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】如图1．在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE：E按顺时针方向旋转置.操作2．延长DE到点F，使EF=DE，连接CF.试探究DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，.【结论应用】（2）如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、求四边形EFGH的面积.【问题解决】（3）如图3所示，在一个四边形ABCD的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边ABsinB=，点P为AB边上任意一点，连接PC，将PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PE，设BP=x.(1)当CP与AB垂直时，①尺规作图：在图1中找到点P和点E（保留作图痕迹，不写作法②CP=；PC旋转到PE所扫过的面积=（结果保留π);(2)当点E落在对角线CA的延长线上时，分别过点C，E作直线AB的垂线，垂足分别为M，N，如图2.①求证：△PCM≌△EPN；②求x的值；(3)连接PD，在旋转PC的同时，将PD绕点P逆时针旋转90。得到线段PF，连接AE，AF，如图3．当△AEF是直角三角形时，直接写出x的值.上取一点E，AE=1，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上.(1)当四边形EFMN是正方形时，求AF的长；(3)△BFM面积的最大值为；此时AF的长为；(4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长为.知识必备切线的判定定理、切线的性质定理、圆周角定理、相似三角形、勾股定理、垂径定理。答题技法证明切线常用方法：①直接法（证垂直②间接法（利用平行或角的关系转化③三角形全等法。涉及计算时，常构造直角三角形，利用勾股定理、相似三角形或三角函数建立方程。母题精讲【典例01】（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60。的扇形，优弧(1)求点D到直线AB的距离.(2)如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30。，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线lⅡOC，直线l与优弧COD交于另一点N.①当直线l与优弧COD相切时，t的值为.②当t=2时，求阴影部分面积.(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP丄OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为.变式应用【变式01】（2026·四川雅安·二模）如图ΘO是△ABC的外接圆，上AB点D，连接AD，使得ADⅡOC，AB交OC于E.(1)求证：AD与ΘO相切；【变式02】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图1和图2，在△ABO中，上AOB=90O，AB=10，BO=AO．点D是线段BO延长线上一点，以OD(0<OD≤10)为半径，在BO的左侧作半圆O，交AO于点M，交BO于点C.(1)如图1，点Q是半圆O上一点（可与点C，D重合当OD=4时，求线段AQ长的最大值和最小值；(2)将线段AB绕点A顺时针旋转75O得到线段AN.①如图2，当点D恰好落在AN上时，求OD的长；②在①的条件下，求半圆O与线段AN所围成的封闭图形的面积.(3)在（2）的条件下，若半圆O与上NAB的边相切于点T，直接写出弧DT的长.延长CB至点D，连接AD交ΘO于点E，过点E作EF丄CD于点F，连接BE、CE，.请从“①上ABE=上DBE；②AB=BD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号再解决下列问题：(1)求证：EF与ΘO相切；(2)若AB^CE，求的值；(3)若AB=5，设△BEF的面积为S1，四边形ACBE的面积为S2，当时，求BE的长.知识必备五种基本作图、垂直平分线性质、角平分线性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定。答题技法理解基本作图（作角平分线、线段中垂线、过一点作垂线等）的原理。作图后，常根据所作图形的性质（如中垂线上的点到两端点距离相等）进行推理证明。母题精讲【典例01】（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形ABC中，上ACB=90。，点D为AB边上的点.(1)尺规作图：在△ABC的外侧作△CBE，使得△CBE≌△CAD不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图形中，当AD=2DB时，求tan上CEB的值.变式应用【变式01】（2024·北京丰台·二模）如图，等边△ABC中，过点A在AB的右侧作射线AP，别交射线AP于点D,F.(1)依题意补全图形；(2)求LAFE的大小；(3)用等式表示线段AF,CF,DF之间的数量关系，并证明.【变式02】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在。ABCD中，AB=5，BC=8，以D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点F，交CD于点Q，分别以F、Q为圆心，大于FQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE丄BC，则ED的长为.______于点D.(1)尺规作图：作LABC的角平分线，交CD于点E，交AC于点O（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE，四边形ABCE的形状，并证明你的结论；(3)连接OD，若AB=BE=3，求OD长.知识必备二次函数的性质与最值、将军饮马模型、垂线段最短、三角形三边关系、勾股定理。答题技法分两类处理：①几何模型法（将军饮马、胡不归、阿氏圆等②代数法（设变量建立二次函数求最值）。代数法步骤：选自变量、定范围、求解析式、配方法或顶点公式求最值。母题精讲【典例01】（2023·河南南阳·二模）综合与实践问题提出（1）如图①,请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小（保留作图痕迹，不写作法思维转换（2）如图②,已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用（3）如图③,在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE=AF，分别过点E、F作EM丄BD，FN丄BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值.变式应用【变式01】（2021·四川绵阳·二模）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH.(1)求sin∠AHC；(2)连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；(3)把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值.【变式02】（2025·四川广安·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，7BAD=75O， 7ABC=7ADC=90O，AB=BC=42，E为边CD上的一个动点，连接AE，过点D作DFTAE，垂足为F，在AF上截取FP=FD，在四边形ABCD内存在一点P，使得△PBC的面积最小，则△PBC的最小面积为.【变式03】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形ABCD的边长为4，7B=60O，E为BC边上的中点，P为直线BC上方AE左侧的一个动点，且满足7PAE=7PEB，则线段CP长度【变式04】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC中，7ACB=90O，7CAB=30O，BC=6，D为AB上一动点（不与点A重合△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小【变式05】（2025·天津·一模）如图，M是等边三角形ABC的边BC的中点，P为平面内点M、P之间的距离为1，则MQ的最小值为，最大值为.【变式06】（2024·海南·三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF=4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG、DG，则2知识必备一线三垂直模型、全等三角形的判定、相似三角形的判定、同角的余角相等、勾股定理。答题技法识别图形中的垂直条件，构造"一线三垂直"基本图形。在直角坐标系中，常利用K型全等或相似转化坐标关系。注意通过同角的余角相等证明角相等。母题精讲【典例01】（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，7ABC=90O，【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AMTDF，垂足为点M，过点C作CNTDF，垂足为点N，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵AMTDF，CNTDF，oo ； ；【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP丄DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF变式应用【变式01】阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①,在△ABC中，上C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB.（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②,可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由.（2）学以致用：如图③,在平面直角坐标系中，直线y=与直线CD交于点M(2,1)，且两直线夹角为且tanα=请你求出直线CD的解析式.（3）拓展应用：如图④,在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90。，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长.【变式02】如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°,AC＝3，BC＝2，则MD知识必备旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角）、全等三角形的判定、等腰三角形的性质。答题技法旋转前后对应边相等、对应角相等。遇共顶点等线段（如等腰三角形顶点常考虑旋转构造全等。注意旋转中心的确定，以及旋转角与图中角的关系。母题精讲【典例01】综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动.数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形AOB和等腰直角三角形COD按图1的方式α(0O<α<90O)，连接BC,AD，延长BC交AD于点M．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：,【初步探究】(1)如图1，直接写出线段BC和AD的关系：.(2)如图2，当CDⅡBO时，则α=.【深入探究】(3)如图3，当0O<α<90O时，连接OM，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在△COD旋转过程中,上CMO的度数不发生变化，请给出推理过程并求出上CMO的度数.【拓展延伸】(4)如图3，试探究线段AM,BM,OM，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由.变式应用【变式01】在△ABC中，AC=BC=6，上ACB=90O，D是AB边上的中点，E是直线AC右侧的一点，且上AEC=90O，连接DE，过点D作DE的垂线交射线CE于点F.(1)点C到AB的距离为______；(2)如图1，当点E在△ABC的外部时.①求证：DE=DF；②如图2，连接BE，当BE=AC时，试探究AE与CE之间的数量关系；若sin7DCE=请直接写出AE的长.变式应用【变式01】问题提出(1)如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，则7APB=.问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，BCTCD，EDTCD，7ABC=165O，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且PQ=BC，PQⅡBC．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由.【变式02】（2023·陕西西安·三模）在四边形ABCD中，AB=BC，ÐB=90°;求四边形ABCD的面积； 度.知识必备旋转的性质、全等三角形的判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理。答题技法处理半角模型的核心是将半角两边的三角形通过旋转拼合，将分散的线段集中到一个三角形中，然后利用全等或勾股定理求解。母题精讲【典例01】探究题：(1)特殊情景：如图（1在四边形ABCD中，AB=AD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且7EAF=7BAD，连接EF，若7BAD=7B=7D=90O，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系为提示：延长CD到H，使DH=BE，连接AH）(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“7BAD=7B=7D=90O”改成一股情况“7B十7D=180O，”如图（2小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论.(3)解决问题：如图（3在△ABC中，7BAC=90O，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，变式应用【变式01】（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足7EAF=45O，连接EF，则DE，BF，EF之间的数量关系为.（2）如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，E，F分别为DC，BC边上的点，且上EAF=上DAB，试猜想DE，BF，EF之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG按如图3所示摆放在一起，A为公共顶点，①四边形ABCD是______（填特殊四边形的名称②BE，DF，EF之间的数量关系为.(2)类比探究如图（1线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.知识必备中线的定义、全等三角形的判定（SAS）、三角形三边关系、平行线的判定。答题技法遇到三角形中线，可倍长中线构造全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中。倍长后常得到"SAS"全等，进而实现边角的转移。母题精讲【典例01】（2025·吉林松原·三模1）【问题探究】如图1，已知AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE=AD．连结BE,CE，求证：四边形ABEC是平行四边形.（2）【拓展提升】如图2，在△ABC的中线AD上任取一点M（不与点A、点D重合过点M、点C分别作MEⅡAB，CEⅡAD，连结AE，BM，求证：四边形ABME是平行四边形.点M是直线AD上的动点，且MEⅡAB，CEⅡAD，当ME+MC取得最小值时，求线段CE的长度.变式应用【变式01】（2025·山东济宁·一模1）如图①,在△ABC中，若AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是；（2）如图②,在△ABC中，D是BC边上的中点，DE丄DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；点作一个70O角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明.【变式02】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：中线AD的长x的取值范围是.【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法.点F是CD的中点，连接AF．求证：BE=2AF．小明发现，如图④,延长AF至点A，使FA=AF，连接AD，通过证明△ABE≌△DAA，可推得BE=AA=2AF.下面是小明的部分证明过程：证明：延长AF至点A，使FA=AF，连接AD，∵点F是CD的中点，∴△ACF≌△ADF(SAS)，请你补全余下的证明过程.点M，N分别是BC和EF的中点．若BC=4，EF=6，则MN的取值范围是.巩固提升22026·江苏南通·一模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为.则CE+DF的最小值是.42026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，则将△ABM绕点B逆时针旋转60得到△FBG，则AM+BM+MC的最小值是线段FC的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形ABCD中有任意两个点P、Q，则AP+BP+PQ+DQ+CQ的最小值是.(1)尺规作图：作ΘO，使得圆心O在边AB上，ΘO经过点B并且与边AC相切不写作法，保留痕迹）(2)D是边AB上一点（点D不与点B重合若以BD为直径的圆与AC边有两个公共点，则BD长的取值范围是.62026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空：第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作上ABO的角平分线交对角线AC于点E；作上CDO的角平分线交对角线AC于点F；连接BE、DF（不写作法，第二步：证明猜想如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．BE平分上ABO，DF平分上CDO．求证：四边形BEDF是菱形.证明：在菱形ABCD中，AC丄BD，OB=OD，ABⅡCD，:上ABO=上CDO（两直线平行，内错角相等:①,:BE∥DF（内错角相等，两直线平行:△BOE≌△DOF(ASA)，:③,又:BEⅡDF，:四边形BEDF是平行四边形，:AC丄BD，且E、F均在AC上，:EF丄BD，:四边形BEDF是菱形(④).725-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，且DC=DB，点O在AC边上，ΘO经过点C且与AB边相切于点E.(1)求证：BC是ΘO的切线；若BC=12，sinA=，求△AOD的面积.82026·河北沧州·一模）如图1，在△ABC中，AB=AC,O为线段AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作ΘO的切线，交AC于H点.(1)求DH与AC的位置关系，并说明理由.(2)如图2，若O为AB的中点.①探究BD与CD的数量关系，并说明理由；②连接OD，若DE∥AB,BC=10，求阴影部分的面积.92025·陕西西安·一模）问题提出（1）如图1，在正方形ABCD中，E,F分别在边BC,CD上，连接AE,BF，交于点G，且问题解决（2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE,AG,GF,EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E,F,G分别在边BC,AB,CD上，且AE^GF于点H．若AB=60m,CE=2BE，求小路AG+EF的最小值小路的宽度均忽略不计）102025·山东·模拟预测1）如图1，四边形ABCD是边长为5cm的正方形，E，F分别如图2，延长EA到H，使AH=CF，连接BH，先证△ABH≌△CBF，再证△EBH≌△EBF，得EF=EH，从而得到△DEF的周长=cm；别是线段BC，CD上的点．且上EAF=50O．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系；CD上的点，且2上EAF=上BAD2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；线上，且2上EAF=上BAD，请画出图形，并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系.冲刺突破112025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地.丙：A←G←H←B，路程为l丙.下列关系正确的是()122025·山东济南·中考真题）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在7ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于1CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ2交AC于点E，交BC于点F.根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=3则线段AE的长为()132025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，7C=90O，AC=BC=8，D是AB的中点，M是边AC上的动点，作DNTDM，交BC于点N，延长MD到点P，使得MD．当△PNB面积最大时，AM的长等于.142025·江苏南京·中考真题）如图，O是□ABCD的对称中心，BC与ΘO相切于点E.(1)求证：直线AD是ΘO的切线.选择其中一位同学的想法，完成证明；(2)当AB与ΘO相切时，□ABCD是菱形吗？说明理由.152023·湖南张家界·中考真题）如图，ΘO是△ABC的外接圆，AD是ΘO的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且7DCF=7CAD.(1)求证：CF是ΘO的切线；若AD=10，cosB=，求FD的长.162025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在△ABC中，D，F分别为边AB，BC的中(1)△AED≌△DFB；172025·北京·中考真题）在△ABC中，上ACB=90O，上ABC=α,点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180O—2α得到线段AE（点E不在直线AB上过点E作EFⅡAB，交直线BC于点F.(2)如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明.182025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB=DF.(1)求证：AG丄AF；(2)试问上EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH丄EF，垂足为H．求MH的最小值.192025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB>BE点E，G分别在AB，BC上，根据图形提出问题：点H，连接BH，探究线段AH，BH，CH之间的数量关系.【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α(180。<α<360。)，直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH之间的数量关系.的中点，点E为边AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点E顺时针旋转45。得到线段EF.(1)线段AB的长为；(2)当EF∥AC时，求AE的长；(3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF；(4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长.技法清单知识必备全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）、常见全等模型、平行线性质、中点性质。答题技法熟悉平移型、轴对称型、旋转型、一线三垂直型等常见全等模型-1。证明时先找已知边角条件，再结合图形特征（如公共边、公共角、对顶角）寻找缺失条件。注意利用平行线找角相等、利用中线或垂线找边的关系。母题精讲【典例01】（2026·山东威海·模拟预测）课本再现（1）如图1，7CAE是△ABC的外角，AD平分7CAE，ADⅡBC，则ABAC填“<”“=”或“>”）类比迁移（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的一条角平分线，过点D作DEⅡAB交AC于点E，求证：AE=DE.拓展运用（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC角平分线AD上一点，延长BO至点M，使BO=OM，过点M作MNⅡAB交AC于点N，猜想MN与NC的数量关系，并进行证明.【答案】（1）=2）见解析3）MN=NC，见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.（1）由角平分线的定义得7DAE=7DAC，由平行线的性质得7DAE=7B，7DAC=7C，等量代换得7B=7C，进而可证AB=AC；（2）由角平分线的定义得7DAB=7DAC，由平行线的性质得7DAB=7ADE，等量代换得7DAC=7ADE，进而可证AE=DE；（3）由角平分线的定义得7DAB=7DAC，根据SAS证明△ABO≌△ACO得7ABO=7ACO，OB=OC，然后证明7CMN=7MCN即可得出MN=NC.【详解】解1）:AD平分7CAE，:7DAE=7DAC.:ADⅡBC，:7DAE=7B，7DAC=7C，:7B=7C，:AB=AC.故答案为：=；（2）:AD平分7BAC，:7DAB=7DAC.:DEⅡAB，:7DAB=7ADE，:7DAC=7ADE，:AE=DE；（3）MN=NC，证明如下，连接CM，CO，如图，:AD平分7BAC，:7DAB=7DAC.:AB=AC，AO=AO，:△ABO≌△ACO)SAS(，:7ABO=7ACO，OB=OC.:OM=OC，MNⅡAB，:MN=NC.变式应用【变式01】（2026·江苏苏州·一模）如图，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高，(1)△ABP≌△QCA；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键.判定△ABP≌△QCA；在△ABP和△QCA中，【变式02】（2025·湖南长沙·一模）如图，△ABC中，AD丄BC，垂足为D，BE丄AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF=AC.(1)求证：△ADC≌△BDF；(2)若DF=2，AF=3，求BC的长【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质.（1）先证明上BDF=上ADC，上CAD=上FBD，然后根据AAS，再结合已知条件可得结论；BD=AD=5，CD=DF=2，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可.∴△ADC≌△BDF(AAS)；∵△ADC≌△BDF，知识必备直角三角形性质（勾股定理）。答题技法遇到等腰三角形，优先联想"三线合一"（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。涉及角度计算时，利用底角相等设未知数列方程；涉及线段证明时，常需构造全等三角形或利用等角对等边判定。母题精讲【典例01】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表”AB的日影最长（BC的长某一节气，光线AM平分上BAC，D为AC上一点，连接MD，BD.(1)若MD丄AC，下面是小明证明△ABM≌△ADM的过程，依据1是，依据2是 ;证明：∵AM平分上BAC，MD丄AC，MB丄AB，∴DM=BM（依据1）在Rt△ABM和Rt△ADM中Rt△ABM≌Rt△ADM(2)若△ABD为等边三角形.①说明点M在线段AC的垂直平分线上；②已知日影BM的长为2米，求日影BC的长.【答案】(1)角平分线的性质，HL；(2)①见解析；②日影BC的长为6米.【分析】（1）由角平分线的性质可得DM=BM，然后通过“HL”即可求证；直平分线的判定即可求证；②通过30。角所对直角边是斜边的一半即可求解.∴DM=BM（角平分线的性质）在Rt△ABM和Rt△ADM中，∴Rt△ABM≌Rt△ADM(HL)，故答案为：角平分线的性质，HL；（2）解：①如图，∵△ABD是等边三角形，∵AM平分上BAC，∴点M在线段AC的垂直平分线上；∴日影BC的长为6米.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，直角三角形的性质等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键.变式应用点D，E均在边BC上（点D在点E的左侧且上DAE=α.(1)如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转2α得到△ACF，连接EF，求证：△ADE≌△AFE；【答案】(1)见解析(2)见解析△ADE≌△AFE；（2）将△ABD绕点A逆时针旋转90O得到△ACF，连接EF，CF，先求出EF2=FC2+EC2，根据（1）中的方法，同理可证明△ADE≌△AFE，得出DE=FE，问题得证；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转60O得到△ACF，连接EF，CF，过F点作FG丄BC，交BC的延长线于点G，可得△ABC是等边三角形，根据（1）中的方法可证明：BD=FC=1，再证上CFG=30O，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股Rt△CFG，Rt△EFG，问题得解.【详解】（1）证明：根据旋转的性质，可得：△ABD≌△ACF，:△ADE纟△AFE(SAS)；（2）证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90O得到△ACF，连接EF，CF，:在Rt△ECF中，EF2=FC2+EC2，根据（1）中的方法，同理可证明△ADE纟△AFE，:DE=FE，又“BD=FC，:DE2=BD2+EC2；交BC的延长线于点G，如图，:△ABC是等边三角形，“BD=1，:DE=BC—BDEC=4EC，根据（1）中的方法可证明：△ADE纟△AFE，∵在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2，解得：.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质等知识，合理作出相应的辅助线是解答本题的关键.【变式02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6点A按逆时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0。<α<180。)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．如图所示，设边AD与BC交于点M，边DE分别交BC,AC于点F,N.(1)求证：AM=AN；(2)当△MDF为等腰三角形时，请直接写出DF的长；【答案】(1)见解析【分析】本题考查了图形的旋转性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合运用，分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键.（1）利用旋转的性质得到边和角的等量关系，结合全等三角形的判定定理（ASA）证明三角形全等，进而推出线段相等；（2）先借助勾股定理求出等腰三角形的高，再根据等腰三角形的不同顶角情况进行分类讨论，结合旋转性质和等腰三角形的边角关系，分别计算出DF的长度.【详解】（1）证明：:将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，得到△ADE，在△ABM和△AEN中，:△ABM≌△AEN(ASA)，:AM=AN；（2）解：如图，过点A作AH丄BC于点H，当FD=FM时，则点C、M、F重合，构不成三角形，故该种情况不存在；当DM=DF时，如图：则AB=BM=5，当MD=MF时，如图，:NA=NE，NF=NC，则EF=FN+EN=AN+CN=AC=5，【变式03】（25-26八年级上·山西长治·期末）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示：（1）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，点D为线段AB上的一动点（点D不与A，B重【观察发现】①如图1，小明发现当α=90O时，线段AD=BE且AD丄BE，请说明理由.【类比探究】②如图2，当α=60O时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由.【拓展延伸】CP=3，AP=6，请直接写出BP的长温馨提示：顶角为120O的等腰三角形三边之比为 【答案】（1）①见解析，②ACⅡBE，理由见解析2）37【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键.②根据①的方法证明△ACD≌△BCE，即可得出结论；（2）将线段CP绕点C逆时针旋转得到CH，连接PH，HB，根据①的方法证明:△ACD≌△BCE(SAS)，:AD丄BE；②ACⅡBE，理由如下：:CA=CB，在△ACD和△BCE中，:△ACD≌△BCE(SAS)，:ACⅡBE；（2）将线段CP绕点C逆时针旋转得到CH，连接PH，HB，:△ACP≌△BCH(SAS)， PH2+BH2 PH2+BH22:BP=知识必备多边形内角和公式、正多边形内角计算、周角360°、平面镶嵌的条件。答题技法平面镶嵌的关键是同一顶点处各内角之和为360°。先求正多边形每个内角度数（(n-2)×180°/n再尝试组合使和为360°。常见能单独镶嵌的正多边形：正三角形、正方形、正六边形。母题精讲【典例01】（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务.关于同一种正多边形的平面密铺平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖.对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形，得到其内角和是(n-2)×180。，则一个内角的度数就是若那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺.对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案.对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案.学习任务：(1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形，得到其内角和是(n-2)×180o”，其中体现的数学思想主要是填出字母代号即可）A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想(3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：.AB=AE．求证BC=DE.【答案】(1)B(2)36o(3)正六边形(4)见解析【分析】题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角；全等三角形的性质与判定；（1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解；（2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解；（3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被360o整除，即可求解；（4）先证明△AEB是等边三角形，进而证明BEⅡCD，根据平行线间的距离相等可得CN=DM，进而根据AAS证明△CBN≌△DEM，根据全等三角形的性质，即可得证.【详解】（1）根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成(n个三角形，得到其内角和是(n-2)×180o，可得体现的数学思想主要是转化思想，故选：B.进行密铺的正多边形：正六边形，故答案为：正六边形.（4）如图所示，连接BE，分别过点C,D作CN丄BE,DM丄BE垂足分别为N,M，:△ABE是等边三角形，:BEⅡCD，:CN=DM，:△CBN≌△DEM(AAS)，:BC=ED.变式应用【变式01】（2025·广东清远·二模）【问题背景】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.【探究发现】（1）单独用正三角形、正方形、正六边形等都能进行平面镶嵌．若只用正三角形地砖在一个拼接点处实现平面镶嵌，则需要块；【实际应用】（2）某业主有个房间长4.5m，宽3m；如果业主选用一种长为150cm，宽为75cm的矩形地砖进行镶嵌（缝隙忽略不计在不允许切割，不计损坏的情况下，如果你是铺地砖的师傅，通过计算，需要多少块这样的地砖？【思考拓展】（3）该业主有个长为6.2m，宽为5.4m的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选择了1图的两种边长均为60cm的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙忽略不计．若在不计损耗和损坏的情况下，两种地砖都使用，且按照如2图所示进行镶嵌，最后在四周用其它材料进行封边（每条封边的宽度小于30cm若正三角形地砖每块5元，正六边形地砖每块32元，在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是多少元？【答案】（1）62）需要12块这样的地砖3）购买地砖的最少费用是1050元.【分析】（1）根据正三角形的每个内角度数60o和拼接点的角度和是360o即可求解；（2）先换算长度单位，再分矩形地砖是横铺或者竖铺的情况分析讨论，即可求解；（3）在正六边形ABCDEF中，连接BF、CE，过点A作AM丄BF于点M，延长AM，交CE于点N，延长CB和EF，过点A作直线GH，作BG丄AG于点G，作FH丄AH于点H，通过等腰三角形的性质证明四边形BMNC、四边形MFEN、四边形AGBM、四边形AMFH是矩形，利用三角函数求得BM的值，利用勾股定理求得AM的值，可得正六边形横长为120cm，竖宽为60cm，即可求得此大厅共铺正六边形地砖25块，正三角形地砖50块，即可求解费用.【详解】（1）解：:正三角形的每个内角为=60o，且拼接点的角度和是360o，故答案为：6.（2）解：:150cm=1.5m，75cm=0.75m，:分两种情况，如下：:需要3×4=12块矩形地砖；答：需要12块这样的地砖.（3）解：如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF、CE，过点A作AM丄BF于点M，延长AM，交CE于点N，延长CB和EF，过点A作直线GH，作BG丄AG于点G，作FH丄AH于点H，根据题意，可知：AB=AF=60cm，正六边形的每个内角为=120，:AM丄BF，BG丄AG，FH丄AH，:四边形BMNC、四边形MFEN、四边形AGBM、四边形AMFH是矩形，:BC=MN=FE=60cm，GB=AM=HF，BM=GA，:BF=GH， :BF=2BM=GH=60·3cm，BM2:AD=2AM+MN=120cm，:此大厅铺地砖时，在正六边形地砖之间上下铺正三角形地砖，在大厅四周边角时，各铺一块正三角形地砖的一半，:此大厅横铺正六边形地砖120×5=600cm=6m，即5块，铺正三角形地砖4×2+1×2=10块，封边6.2m一6m=0.2m<30cm，:此大厅共铺正六边形地砖5×5=25块，正三角形地砖10×5=50块，:费用为32×25+5×50=800+答：在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是1050元.【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，正三角形即等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，理解题意、分情况分析是解题关键.【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中上BAC的度数为.【答案】67.5o【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，如解图，根据题意，易得，据角的和差关系求出上BAC即可.故答案为：67.5。知识必备平行四边形的性质与判定、矩形/菱形/正方形的性质与判定、三角形全等与相似、中心对称答题技法掌握从一般到特殊的研究方法，清楚各种四边形之间的区别与联系。证明时，先明确目标四边形的类型，再选择合适的判定方法。注意利用对角线互相平分、对边平行等性质转化条件。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，四边形ABCD中，ADⅡBC，点O是AC，BD的交点，且点O为AC的中点.(2)若E为AB的中点，F为CD的中点，请从以下三个条件中选取两个，使四边形AECF为正方形，并证明.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定与性质，熟记相关定理是解题关键.（1）证△AOC≌△COB推出AD=BC，得四边形ABCD是平行四边形，即可求证；（2）由题意得四边形AFCE是平行四边形；若选②③,根据AC丄CB，得CE=AB=AE，三角形，即可求证；若选①②：先证得CB=2OC，得到AC=CB，进而可推出△ACB是等腰直角三角形，即可求证；若选①③：先证CE丄AB，得到四边形AFCE是矩形，再通过即可求证.∵点O为AC的中点.∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）可知：AEⅡFC，若E为AB的中点，F为CD的中点，∴四边形AFCE是平行四边形；若选②③:∴四边形AFCE是菱形；∵7BAC=7ADC，7ABC=7ADC，∴7BAC=7ABC，∴△ACB是等腰直角三角形；∴7EAF=27CAB=90O，∴四边形AFCE是正方形；若选①②:∵ADⅡBC，又ACTCB，∵四边形AFCE是平行四边形，∴△ACB是等腰直角三角形，∴7EAF=27CAB=90O，∴四边形AFCE是矩形，又∵E为AB的中点，∴四边形AFCE是正方形；若选①③;∵7BAC=7ADC，7ABC=7ADC，∴7BAC=7ABC，又∵E为AB的中点，又∵四边形AFCE是平行四边形，∴四边形AFCE是矩形，∵四边形AFCE是平行四边形，又∵tan∠ADB=，∵F为CD的中点，∴四边形AFCE是正方形.变式应用DC∥EF．连接BF交DE于点P，连接CE交PF于点O，满足OF2=OP.OB.(1)求证：四边形DCFE为平行四边形.(2)如图2，当四边形DCFE为正方形，且D在线段AO上时，求证：.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和判定，解题关键是利用比例的性质转化线段比.由DC∥EF可得，由OF2=OP.OB可得由此证明即可得出△POE∽△FOC，进而证明DEⅡCF，由两组邻边平行的四边形是平行四边形判定四边形DCFE为平行四边形.得出.,∴DEⅡCF，∴四边形DCFE为平行四边形，（2）证明：如图：又