2027届新高三数学热点突破复习函数的概念及其表示

数学体系构建

命题报告命题趋势基础(占比40%):侧重考查函数概念、定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性等基础知识,题型以选择题、填空题为主,要求考生熟练掌握基本概念和运算规则;中档(占比40%):重点考查函数性质的综合应用(如单调性与奇偶性结合)、指数与对数函数的图象与性质、函数零点与方程根的分布问题,题型包括解答题和部分选择题,需具备一定的分析能力和计算能力;压轴(占比20%):聚焦函数与导数、不等式的综合应用,涉及复杂函数模型、实际应用问题及创新题型,要求考生具备较强的逻辑推理、数学建模和创新能力高频考点函数概念及其表示常以选择题形式出现,考查定义域的求解、分段函数的求值、函数解析式的确定等.近年来更注重实际背景下的函数表示(如图形、表格类问题)函数性质单调性、周期性和奇偶性是高频考点,常与其他知识结合(如不等式、导数)指数函数与对数函数侧重比较大小、图象变换、函数性质及与导数结合的综合题,对数运算常隐含在实际问题中考查函数与方程重点考查零点存在性定理、二分法求近似解、函数零点与方程根的分布问题命题规律函数作为高中数学内容的一条主线,对学生整个高中阶段数学学习有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数以及抽象函数为载体,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性),常与导数、不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想,考查学生运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力等关键能力,尤其加大了对数学建模能力的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题备考建议在备考时要注意以下两点:(1)指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图象和性质是基础,要求学生在理解的基础上熟练掌握这些函数的图象和性质,准确把握函数概念和性质的本质,会处理分段函数与抽象函数的相关问题,会识别函数图象的变化.同时,指对运算也是常考查的知识点,学生应加强对公式的理解及应用的训练.(2)函数性质、零点、图象等问题是函数专题的重点考查内容,注意函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用,注重数形结合、转化与化归思想的运用,为突破难点做好准备工作.2027届新高三数学热点突破复习函数的概念及其表示目录123基础满分练课前

自检自测·夯基固本能力高分练课中关键能力·可视思维素养提升练课中高考定向·捕捉热点基础

满分练

课前

自检自测·夯基固本三个高考关键点关键点1函数概念的理解1.(苏教版必修第一册教材习题改编)在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(

)[命题点❶]D

B

3.(2025·甘肃平凉模拟)已知函数f(x)=x(x2-2)+1,若f(a)=-1,则f(-a)=(

)[命题点❸]A.-3 B.-1 C.0

D.3D解析:由题意知f(a)=a(a2-2)+1=-1,所以a(a2-2)=-2,所以f(-a)=-a(a2-2)+1=2+1=3.故选D.4.(苏教版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数f(x)的值域为(

)[命题点❸]A.{-1,1,3,5,7} B.(-1,7)C.[1,7] D.{1,3,5,7}A解析:由f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},得f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=5,f(5)=7,所以函数f(x)的值域为{-1,1,3,5,7}.

[-3,0)∪(0,+∞)

关键点2函数表示方法6.(2025·辽宁沈阳二模)已知f(x-1)=ex,则f(2)=(

)[命题点❺]A.e B.2e

C.e2

D.e3D解析:令x-1=t∈R,则x=t+1,所以f(t)=et+1,即f(x)=ex+1,则f(2)=e3.故选D.

f(x)=x2+6x(x≥-1)

关键点3分段函数

B解析:当a≥0时,则f(a)=a2+a=6,解得a=2或a=-3(舍去);当a<0时,则f(a)=5a+6=6,解得a=0(舍去).综上所述,a=2.故选B.回归教材•考教衔接1.函数的概念

概念[❶]一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那

任作与x轴垂直的直线,它与函数图象至多有一个交点么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域[❷]x的取值范围

值域[❸]与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}使函数有意义的自变量的取值范围

2.同一个函数[❹]

形式可不同,但化简后对应关系与定义域一致(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.(2)结论:这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法[❺]表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.解析式需注意定义域,图象需注意连续性,列表需注意完整性.4.分段函数[❻]

根据自变量所在范围,代入相应解析式若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数.能力高分练课中关键能力•可视思维考点1函数的定义域

A

C

B

解题思维路径(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.能力要语考点2函数的解析式

(4)(解方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x,①∴将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x,②由①②解得f(x)=3x.对点训练2

(原创)(1)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)为一次函数,则f(x)的解析式为

.

f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9

9

2x2-8x+9(x≥2)

答题要语据已知条件,择合适方法,换元、配凑、待定系数、列方程(组)求解函数解析式.解题思维路径考点3分段函数及应用角度1命题视角:聚焦分段函数求值、求参数范围、解分段不等式及图象应用,考查分类讨论思想与数形结合能力.分段函数求值(参数)

B

A

A解析:因为f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2,当a≤0时,f(a)=a+1=-2,解得a=-3;当a>0时,f(a)=2a=-2,无解.综上,a=-3.角度2分段函数与不等式

D解析:由a[f(a)-f(-a)]>0,知a≠0,若a>0,则f(a)-f(-a)>0,即a+1-[-2×(-a)-1]>0,解得a<2,所以0<a<2;若a<0,则f(a)-f(-a)<0,即-2a-1-(-a+1)<0,解得a>-2,所以-2<a<0.综上,不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).故选D.

B解析:(方法1)当x≤-1时,x+1≤0,2x≤-2,f(x+1)=1,f(2x)=1,则f(2x)>f(x+1)不成立;当-1<x≤0时,x+1>0,2x≤0,f(x+1)=3x+1,f(2x)=1,由f(2x)>f(x+1),得3x+1<1=30,则x<-1,与-1<x≤0矛盾,舍去;当x>0时,x+1>1,2x>0,f(x+1)=3x+1,f(2x)=32x,由f(2x)>f(x+1),得32x>3x+1,则2x>x+1,得x>1.综上,满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1,+∞).(方法2)画出f(x)的大致图象,如图所示.若f(2x)>f(x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解得x>1.答题要语判断自变量所属区间,代入对应解析式求值.解题思维路径能力要语1.看x的值确定区间,分段处理,验临界点.2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.各段函数定义域的交集是空集.答题要语分类讨论自变量所在区间,代入对应解析式解不等式.解题思维路径素养提升练课中高考定向•捕捉热点命题趋势1:加强分段函数与不等式综合,常通过含参讨论、解不等式组形式,考查分类讨论思想.

(-∞,1]

命题趋势2:聚焦函数新定义与图象应用,结合现实情境或新规则,考查信息转化、图象分析与创新应用能力.

C解析:等价转化为函数y=f(x)(x≥0)与函数y=f(-x)(x>0)的图象的交点个数,作出函数f(x)的大致图象如图所示,再作出曲线y=2x(x<0)关于y轴对称的曲线C:y=f(-x)(x>0)的图象,数形结合可知曲线y=x|2-x|(x≥0)与曲线C有3个交点,