2027届新高考数学热点突破复习子数列问题

2027届新高考数学热点突破复习子数列问题重难解读子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一

般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要

搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不

变化，项数变化.目录/CONTENTS考点一公共项与并项问题01考点二增、减项问题02课时跟踪训练0301PART考点一公共项与并项问题教材母题：〔人A选修二P25习题8题〕已知两个等差数列2，6，10，…，

190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序

组成一个新数列.求这个新数列的各项之和.细研教材：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公

差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数

列公比的最小公倍数.

将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则

{an}的前n项和为

⁠.3n2－2n

变式1

（2026·陕西西安模拟）由数列{an}和{bn}的公共项组成的数列记

为{cn}，已知an＝3n－2，bn＝2n，若{cn}为递增数列，且c5＝bm＝at，

则m＋t＝

⁠.352

变式2

（2025·江苏南京期末）已知等差数列{an}的前n和为Sn，数列{bn}是公比为2的等比数列，且a1＝b2＝4，S3＝21.（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；解：因为数列{bn}为等比数列，且b2＝4，q＝2，所以bn＝b2×qn－2＝4×2n－2＝2n.又因为S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝21，所以a2＝7，又a1＝4，则d＝3，故等差数列{an}的通项公式为an＝4＋（n－1）×3＝3n＋1.（2）数列{an}与{bn}中的所有项分别构成集合A与B，将集合A∪B中

的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前30

项和.

02PART考点二增、减项问题

（2026·陕西咸阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1

＝2Sn＋2（n∈N*）.（1）求数列{an}的通项公式；解：由题意知，当n＝1时，a1q＝2a1＋2，

①当n＝2时，a1q2＝2（a1＋a1q）＋2，

②联立①②，解得a1＝2，q＝3.所以数列{an}的通项公式an＝2×3n－1.（2）在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等

差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数

列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由.

规律方法

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先

判断数列之间共增加（减少）了多少项（运用等差等比求和或者项数公

式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）若从{an}中去掉与数列{bn}中相同的项后余下的项按原来的顺序组

成数列{cn}，设T100＝c1＋c2＋c3＋…＋c100，求T100.

03PART课时跟踪检测（时间：45分钟，满分：58分）1.

（13分）（2026·福建莆田模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已

知2a4＝a3＋14，S3＝15.（1）求{an}的通项公式；解：设公差为d，由题意得2a1＋6d＝a1＋2d＋14，S3＝3a1＋3d＝15，解得d＝3，a1＝2，故an＝a1＋（n－1）d＝2＋3（n－1）＝3n－1.1234（2）记集合A＝{x｜x＝an，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}，将

A∪B中的元素从小到大依次排列，得到新数列{bn}，求{bn}的前20项和.

12342.

（15分）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列

{an}中，a1＝b1，a4＝b8.（1）求{bn}与{an}的通项公式；解：∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n.又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n.∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比数列{an}的公比为2，∴an＝2n.1234（2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}

的前20项和.

12343.

（15分）已知数列{an}是等差数列，且a2＝－1，数列{bn}满足bn－bn

－1＝an（n≥2，n∈N*），且b1＝b3＝1.（1）求数列{bn}的通项公式；

1234（2）将数列{an}，{bn}的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数

列{cn}，求数列{cn}的通项公式.

12344.

（15分）（2026·陕西西安模拟）已知数列{an}是等差数列，且a2＝

4，2a4－a5＝7.（1）求数列{an}的通项公式；

1234（2）在ak和a