圆 有关切线的证明 高频考点归纳专项练-2026年数学中考一轮复习备考

圆一有关切线的证明高频考点归纳专项练

I.如图，。是。。外一点，P4是。。的切线，A是切点，8是。。上一点，且=延

长B。分别与。。、切线PX相交于C、。两点.

0-

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)Q。为PB边上的中线,若4?=4,CQ=2,求QD的值.

2.如图，P是。。外一点，PA是。。的切线，A是切点，B是。。上一点，且PA=PB,延

长3。分别与。。、切线PA相交于。、Q两点.

Q什

(1)求证：P8是。0的切线；

(2)QD为PB边上的中线，若4Q=3,CQ=1,求Q0的值.

3.如图，4B是O。的直径，P力是。。的切线，4为切点，连接0P,过点8作BC||0P交。。

于点C,连接PC和AC,AC交0P于点D.

(1)求证：PC是。。的切线;

(2)若sin4B4C=且AC=2®求切线P4的长.

4.如图，已知A8为。。的直径，A0是。。的弦，8c’是。。的切线，切点为8,点。，厂是

杷B的三等分点，BA,CD的延长线相交于点E.

(1)求证：。。是。。的切线：

(2)若。。的半径为1,求阴影部分面枳.

5.如图，力B是。。的直径，P力是。。的切线，A为切点、,连接0P,交。。于点D,连接4D,

(2)若sinzBAC=3，且4D=2g,求切线PA的长.

6.如图，48是O。的直径，P4是O。的切线，A为切点，连接0P,交O。于点D,连接;W,

过点B作8CII0P交。。于点C,连接PC和AC,AC交OP于点E.

⑴求证：PC是O。切线；

(2)若sinzBAC=(且4。=2遍，求切线PA的长.

7.如图，RtAABC中，Z-ACB=90°,CD为斜边中线，以CD为直径作。。交8C于点E,万点

为8。上一点，连接EF.

试卷第2页，共6页

(I)在不添加点和线的情况下，请添加一个条件，使E产为。。的切线并证明；

(2)若EF为O。的切线，直径C。=13,CB=24,求。尸的长.

8.如图，A,B为。。上的两点，己知PB为。。的切线：切点为&PA=PB.

(1)求证：4P是。0的切线；

(2)若NP=60。，。0的半径为2,求48的长度.

9.如图，M4是。0的切线，点A为切点，连接0M交。0于点。，过点A作A8II0M交。。

于点儿连接8。并延长交。。于点C,连接MC,BD,CD.

(1)求证：MC是。。的切线.

若。=-,CD=2g求线段的长.

(2)fan/C/?2CM

10.如图1,点4为。。外一点，过点力作。。的切线4C,切点为C,G9是。。的直径，过点。

作DEIL4。交。。于点E,连接力E并分别延长力E、CD,两线交于点

(1)求证：48是O。的切线；

(2)若=30。,8。=1,求图中阴影部分面积(结果保留口)；

(3)如图2,若O。的半径为2,点/是AOEC的内心，连接£7并延长至点F,使得尸。1E凡

垂足为广，连接DF.当点,4运动时，求。尸的最小值.

11.如图，PA为。。的切线，A为切点，连接4。并延长，与O0交十点C,直线P。交Q。于

点、E,F,点、8在。0上巨PA=PB,连接4?交OP于点D,连接BC,AF,CE.

(1)求证：直线P8为。。的切线；

⑵若BC=6,tanz/ICE=求sinz/CB的值和线段PE的长.

12.如图，P是。。外一点，PA是。。的切线，4是切点，8是。。上一点，且PA=P比延

长8。分别与。。、切线PK相交于C、Q两点.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)。为的中点，QO交于点日若/Q=4,CQ=2,求:;的值.

试卷第4页，共6页

13.如图，PA为。。的切线，4为切点，过点A作。P的垂线48,垂足为C,交0。于点B,

延长8。与。。交于点。，连接PD交48于点E.

(1)求证：P8为。。的切线；

(2)求证：PB2=PCPOi

⑶若48PD=3〃PD,求解I勺值.

I

14.如图，48是。。的直径，4C是。。的切线，连接。C,过B作BDIIOC交。。于点小连

接CD并延长，交48延长线于点E.

(I)求证：CE是。。的切线；

(2)若BE=3,0E=6,求CO的长.

15.如图，。。与边长为。的等边A/18C的边AC、4B分别交于点。、点E,4E是直径，过

点。作DF1BC于点F.

(1)求证：OF是G。的切线:

(2)连接E凡当E尸是O。的切线时，求。。的半径r.

试卷第6页，共6页

《圆一有关切线的证明高频考点归纳专项练2026年数学中考一轮复习备考》参考答案

1.(1)见解析

⑵旧

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助

线是解题的关键.

(1)连接。儿先证明AORP空△OAP(SSS),则NOBP=NO4P,继而求出NOBP=90。，可

推导出PB是。。的切线，即可解答；

(2)设0A=r,得到M+42=(r+2尸,求出r=3,则0A=3,BC=6,设BP=x,则力P=x,

得到/+(6+27=(x+4)2,解得工=6,则QD=J8Q2+8D2=旧,即可解答.

【详解】(1)证明：连接04

Q什

在408P和4。4尸中，

(PA=PB

{OB=0A,

(0P=0P

•••△OBPWAO/1P(SSS),

，4OBP=Z-OAP,

•・・/M是。。的切线，A是切点，

：.Z.OAP=90°,

：.Z.OBP=90°,

•JOB是半径,

・・・PB是。。的切线；

(2)解：-：AQ=4,CQ=2,Z,OAP=90°,

：,Z.OAQ=90°,

设。。的半径为r,

则04=r,Q0=0C+CQ=r+2,

，。弟+的2=OQ2,

答案第1页，共25页

Ar2+42=(r+2)2,

解得r=3,

.\0A=3,BC=2r=6,

：.BQ=BC+CQ=8,

设BP=x,则AP=%,

：・PQ=AP+AQ=x+4,

■:乙OBP=90°,

：.BP2+BQ2=PQ2,

»•x2+(6+2尸=(x+4产,

解得％=6,

二BP=6,

,:QD为PB边上的中线,

••・BD=-2BP=3,

:・QD=JBQ2+B9=V73,

即QO的值是旧.

2.(1)证明见解析

(2)QD=3V13

【分析】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形判定与性质、勾股定理及相似三角形

的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键，

(1)连接。4,根据切线性质得出乙。4P=90。，证明△64P三△08P得出/O8P=90c,即

可证明结论；

(2)在Rt△40Q中，设00半径。4=OC=OB=r,根据勾股定理求出半径r,证明△QAO〜

△QBP求出BP=12,再根据勾股定理求出结论即可.

【详解】(1)证明：连接04

•••PA是。0的切线，

•••0A1PA,

:.Z.OAP=90°,

在。。中，。力=0B,

PA=PB,OP=0P,

答案第2页，共25页

OAP=△OBP,

:.Z.OAP=乙OBP=90°,

:.OB1BP,

PB是O。的切线；

(2)解：在RtZkROQ中，。力2+/Q2=OQ2,

设O。半径04=OC=OB=T,

vAQ=3,CQ=1,

•••r2+32=(r+I)2,

解得：r=4,

则0A=0C=0B=4,

vZ.QAO=Z.QBP=90°,Z.AQO=乙BQP,

QAOs&QBPi

.OA_QA

•'BP-QB'

.4_3

"BP~1+4+4’

解得：BP=12,

,・，Q。为P8边上的中线，

.•・BD=-BP=6,

2

在内△Q80中，

QD=y/QB2+BD2=V(1+4+4)2+62=3x^13.

3.(1)见解析；

(2)PA=3x/3.

【分析】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂

径定理，锐角三角函数，掌握切线的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义是解题

的关键.

答案第3页，共25页

（1）根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定和性质可证出△40P=

△COP,进而得出々MP=40CP,由切线的性质得出乙OAP=90。,进而得出0C1PC即可：

（2）利用锐角三角函数的定义以及垂径定理进行计算即可；

【详解】（I）证明：连接。C,

是。。的直径,

：.Z-ACB=90°,

VFCIIOP,

C./-ADO=Z-ACB=90°,

即OP1/C,

：.AD=CD,

，OP垂直平分AC,

：.AP=CP,

*：OA=OC,OP=OP,

•••△04P三△OCP（SSS）,

:."CP=Z-OAP,

•・NP是。。的切线，

：.^OAP=90°=Z,OCP,

•・・oc是。。的半径，

・♦.PC是。。的切线；

（2）解：・・FC=2百，由（1）可知。P垂直平分4C,

：.AD=^AC=V3,

VZF/4C+/-PAD=90°,Z.APO+/.PAD=90°,

：.z.BAC=Z.APO,

.\s\nz.BAC=s\nz.APO=；,

3

答案笫4页，共25贝

・••在RtaACP中，AP==^=3V3.

s:nz.i4P0-

3

4.(1)见解析

'(2/)阴S“w影=-2--6

【分析】(1)连接0。由点。，户是血用，的三等分点可知的=肝，吩=肝,进而可知

Z-A0D=乙DOF=Z.B0F=\LA0B=60°,则可证aOBC幺ODC由此可知NOOC=Z.OBC,

根据BC是。。的切线，则08J.8C则可证乙。0。==90。0D1CD,。。是O。的半

径，则可证DC是。。的切线；

(2)由00J.EC,可知在RtaOOE中，LOED+LDOE=90°,根据乙DOE=60°,乙DEO=

30。进而可知在世△DOE中，OE=2OD=2,由勾股定理得DE=V5,进而可求△DOE的面

积，进而可求扇形DOE的面积，用割补法可求出阴影部分面积.

【详解】(I)证明：如图，连接。O,

•・•点。，尸是批出的三等分点，

：.AE)=ETF=*

：,Z.AOD=乙DOF=乙BOF=-Z.AOB=60°,

3

(OD=OB

在△。8。和4ODC^\z_DOC=Z.BOC=60°,

(OC=OC

•••△08C三△ODC(SAS),

：,Z.0DC=WBC(全等三角形对应角相等)

又8C是O。的切线，

：・0B1BC,

，乙ODC=乙OBC=90°,

：,OD1CD,。。是。。的半径，

是。。的切线；

(2)解：•••OD1EC(己证)，

答案第5页，共25页

•••乙EDO=90°，

•••在RtaDOE中，LOED+/-DOE=90°,

又•・•乙DOE=60°,

二乙DEO=30。，

二在Rt△DOE中，OE=2OD=2,

由勾股定理得：DE=>/OE2-OD2=V22-l2=V5,

・•・SADOE=^xlxV3=y,S塌形AOD=号彩=,

S阴影"SADOE-S扇形A。。=y-^-

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长，圆的切线证明，勾股定理，

割补法求面积，能够熟练掌握割补法是解决本题的关键.

5.（1）见解析

（2）672

【分析】（1）连接OC,由6C||OP得至1吐4。户=/COP=4OCB,再由乙=NOCB

得到乙40P=乙COP,通过证明^AOP=△COP（S力S）即可得至ibOCP=乙OAP=90°,从而

即可得证；

（2）设OE=%,则。A=0D=3x,DE=2x,在Rt△/IDE中，由勾股定理得，AD2=AE2+

22

2

DE,即（2\/5）=（2xf2x）+（2x）2,求出。石=lt0A=3,AE=2vL再讦得=

匕APO,通过sin48AC=sin乙4PE=-=些即可求得答案.

3PA

【详解】（I）证明：如图所示，连接OC,

•••BCIIOP,

•••Z.AOP=Z.OBC,乙COP=Z.OCB,

vZ.OBC=Z-OCB,

Z.AOP=乙COP,

^.LAOP^ACOP^,

答案第6页，共25页

(OA=OC

l^AOP=乙COP，

(OP=OP

•♦•△40PwaC0P(SAS),

乙OCP=LOAP=90°,

vOC为半径，

PC是。。切线；

(2)解：•••OA=OC,Z.AOP=乙COP,

•••OE1AC,

在R£△NOE中，sinZ-OAE=sinz.BAC=77=^»

AO3

设0E=x,则。71=。。=3，DE=2x,AE=>JOA2-OE2=V(3x)2-x2=2>/2x,

在RtA/lDE中，由勾股定理得，AD2=AE2+DE2,

即(275)2=(2yj2x)Z+(2x)2,

解得：％=1或X=-1(不符合题意，舍去)，

:.OE=1,OA=3,AE=2V2,

•••P4是。。的切线，

PA1OA,即N。4P=90。,

:.ABAC+4BAP=90°,/APO+Z-PAE=90。，

•••Z.BAC=乙APO,

：•s\nz.BAC=sinz.APE,

3PA

:.PA=3AE=6V2.

【点睛】本题主要考查了切线长定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是

学会利用参数构建方程解决问题.

6.(1)见解析

(2)PA=6V2.

【分析】(1)连接OC,推巴乙08。="CB,由8C||OP,推出乙4OP=乙COP,得至I」△40P=

△COP(SAS),得到。。1PC,OC=OA,即可证明结论；

(2)证明〃E。=/-ACB=90°,由sin484C=第=：，设OE=x,则4。=2x,AE=V3x,

OA3

在RtA/lOE中，利用勾股定理列式计算求得％=V3,得到4E=3,由siniBAC=sinz/lPF,

答案第7页，共25页

进一步计算即可求解.

【详解】(1)证明：连接0C,

：.0B=0C,

Z.OBC=乙OCB,

*：BC||OP,

:,乙OBC=Z-OCB=Z.AOP=乙COP,

VOA=OC,OP=OP,

•••△/OP三△COP(SAS),

J乙。CP=Z.OAP=90°,OC=OA,

：.0C1PC,

・♦•PC是。。切线；

(2)解：・・・/18是。。的直径，

：.Z.ACB=90°,

,：BCIIOP,

：.LAEO=Z-ACB=90°,

OA3

，设OE=x,则力0=3%，AE=y/AO2-OE2=272%,

：,DE=OD-0E=2x,

22

在Rt△力DE中，由勾股定理得AE?+of2=力。2,np(2./2x)+(2x)=(2V3)\

解得％=1,

：.AE=2V2x1=2V2,

•・・/M是。。的切线，

：.Z.OAP=90°,

：,WAE=90°-Z/10E=△4PE,

答案笫8页，共25页

,\sinz.BAC=sinZ/4PF=胃=［，

：,PA=6V2.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，第2问证明N04E=Z4PE是解题

的关键.

7.(1)添加EF1/W,理由见详解

啕

【分析】(I)添加EF1AB,可使“为。。的切线.连接0E,根据直角三角形性质及0C=0E

可得出乙0EC=48,则0EIID3,再根据E尸_LA8得。E1EF,然后根据切线的判定可得出

结论；

(2)根据宜角三角形的性质可得08=CO=13,AB=2CD=26,再证。EIIDB,进而可

得器=詈=1，则可得EB=12,再证〜A4CB,则答=黑，求得F8=誉，进而可

ODEBCBAB13

得。尸=W

【详解】(1)解：添加EFJ_48,可使EF为O。的切线，理由如下：

连接0E,

VRt^ABC^P，乙4cB=90。，CD为斜边中线，

:・CD=；AB=DB,

:.乙DCB=乙B,

•：0C=0E,

，乙OCE=COEC,

，乙OEC=乙B

：.0E||DB,

*：EF1ABt

：.0E1EF,

YOE是O。的半径，

.••^^^。。的切线.

答案第9页，共25页

(2)解：•・・Rtz\718C中，Z-ACB=90°,CO为斜边中线，且CO=13,

:,DB=CD=13,AB=2CD=26,

:.乙DCB=2B,

•：0C=OE,

・"OCE=乙OEC,

/.LOEC=乙B,

：.OE||DB,

.OCCE-

••--=----=1,

ODEB

:.CE=EB=\CB=12,

•・・£77为。0的切线，

:.EF1OE,

：.EF1DB,

，乙EFB=90°,

•・•乙EFB=Z.ACB=90°,乙B=,

△EFB〜△ACB，

.,.—FB=—EB,

CBAB

・FB12

••,—9

2426

解得尸B=答，

・••DF=DB-FB=13

1313

【点睛】此题主要考查了切线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键.遇切线，连半径是常用的作辅

助线方法.

8.(1)见解析

(2)273

答案第10页，共25页

【分析】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点.要

证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

（1）连接0P,根据SSS证明△AOP三48。尸，得出乙。4。=々08P=90。，从而得出结论：

（2）证明ZOPB=30。，得出P。=205=2x2=4,由勾股定理得出PB=2次即可.

【详解】（1）证明：连接0P,

；。8是0。的切线,

:.乙OBP=90°,

vOA=08,PA=PBfOP=OP,

:.&AOP=△BOP(SSS),

二Z.OAP=乙OBP=90°.

乂•••。力是O。的半径，

AP是。。的切线.

(2)解：-AP=BPtZ.APB=60°,

••.△APB为等边三角形，

:.AB=PB.

由(1)得，Z.OPB=Z,OPA=-X60°=30°,

2

在Rt△OBP中，PO=2OB=2x2=4,

:.PB=y/PO2-BO2=V42-22=273.

:.AB=PB=26.

9.(1)见解析

【分析】（1）先由MA是。。的切线,得“AM=90°,结合平行线的性质得乙4BO=乙M0C,

△BAO=Z-MOA,整理得NMOC=NM04证明△MOC=△MO力（SAS）,得/MC。=Z-OAM=

90。,因为OC是。。的半径，故MC是。。的切线.即可作答.

（2）过点。作DN_LCM于点N,运用圆周角定理得NBOC=90。，根据tan"BO=皆=；得

BD2

答案第II页，共25页

出8。=4百，根据勾股定理得5c=10,证明〜ACB。，则捐=煞=翡，代入数

值得CN=4,DN=2,证明△DMN〜△OMC,则三二竺之即可作答.

5CM

【详解】（1）解：连接。4如图所示：

〈MA是。。的切线，

：.LOAM=90°,

：.^.ABO=Z.MOC,Z.BAO=Z.MOA,

'：OA=OB,

Z.ABO=Z.BAO»

・••4MOC=4MOA,

又TOA=OC,OM=OM

:.AMOC三△M04(SAS),

=Z.OAM=90°,

：.OC1MC,

乂・.・oc是。。的半径，

・・・MC是。。的切线.

(2)解：过点。作DN_LCM于点M

则乙。NC=90%

是。。的直径，

"BDC=90。，

•・,在RM8CD中,tanzCFD=^=pCD=2倔

：.BD=4而，

由勾股定理得，BC2=(475)2+(2V5)2=100

答案第12页，共25页

:,BC=10,

：・OC=5,

":乙BDC=乙BCM=90°,

:•乙DBC+乙DCB=90°,

+=90°,

，乙DCM=乙DBC,

又♦:乙BDC=乙DNC,

/.△DCNCBD,

.丝_2\/5_DAT

**45/5-10-2点

：,CN=4,ON=2,

.:乙DNM=乙OCM=90°,乙DMN=乙OMC,

:・&DMNOMC,

.DN_NM

・,0C-CM'

・2CM-4

.•一=9

5CM

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

10.(1)证明见解析

⑵日

(3)。尸的最小值遍一1

【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心；

(1)连接。E，证明△40E三△/lOC(SAS),结合0。的切线力C,得至I」乙4E。=4力。。=90。，

即可得到4B是。。的切线；

(2)由NB=30°,得到。8=2OE,乙BOE=60°,BE=V5。。结合80=1,得到00=0E=

1,BE=V3OE=V3,然后根据图中阴影部分面积S.OE—S扇形s'计算即可；

(3)延长E/交。。于M,连接0M,取0M中点N,连接FN,DN,由点/是△DEC的内心，

得到乙DEM=三乙DEC=45°,由广。1",得到Z0FM=90。,根据斜边中线的性质得到『N=

答案第13页，共25页

\OM=1,即可得到DF?DN-FN=A/5-1,当尸在DN上时，。尸=遥一1最小.

【详解】（1）解：连接。E,

9：0E=0D,

：./.OED=乙ODE,

VDEIMO,

:•乙OED=^AOE,LODE=LAOC,

：.LAOE=Z-AOC.

・••△/lOE三△40C(SAS),

：.^AEO=乙AC。,

•1O。的切线AC,

：./.AEO=/.ACO=90°,

・・"B是。。的切线；

(2)解：*JLAEO=LACO=90°,乙8=30°,

：・OB=2OE,Z.BOE=60°,BE=^0E,

设半径00=OE=r,则08=BD+OE=BD+r,

*：BD=1,

Ar+1=2r,

解得r=1,

：,0D=OE=1,BE=yJSOE=V3,

•••图中阴影部分面积为S43OE—S扇形"OK=1X1XV3—券;X7TXl2=Y一)；

(3)解：延长E尸交oo于M,连接OM,取OM中点N,连接FN,DN,

答案第14页，共25页

A

图2

•・•直径CD,

:.乙DEC=90°,

•・•点/是△OEC的内心，

平分NOEC=90°,

AzDFM=-2zDEC=45°,

:,乙DOM=2乙DEM=90%

•・・。0的半径为2,

：.OD=OM=2,

YOM中点N,

：

.ON=MN=-2OM=1,

:.DN=7OD2+0N?=Vl2+22=V5,

•:FO1EF,

：.^OFM=90°,

:.FN=\OM=1,

:.DF>DN-FN=y/5-l,

・••当F在。N上时，DF=遥一1最小.

(1)见解析

(2圣T

［分析】(1)连接0B,根据切线性质得出041P4证明NP4B=^PBAt^OBA+dBA=90°,

即可得出。BJ.P8,得出答案；

(2)证明P。垂直平分力B,得出2。40=4「口4=，。。八=90。，证明^。力/)64。。4得

答案第15页，共25页

出第=筌求出°。=：8C=3，设4D=x，得出D尸=2AD=2-0A=OF=2x-3,根

OAOP2

据勾股定理得出(2%-3)2=x2+32,求出小=4,根据4c=20A=10,BC=6,4C是O。

的直径，得出〃BC=90。，AB=8,根据三角形函数定义求出sin乙4c8=年=白=g根

AC105

据0寿=。。・0「，求出OP=g,即可得出答案.

【详解】(1)证明：连接。氏如图所示：

〈PA为O。的切线，

：.OA1PA,

J.LPAO=90°,即4-A.BAO=90°,

*：PA=PB,

：,LPAB=Z.PBA,

又「OA=OB,

,,Z.OAB=乙OBA,

J.Z.OBA+“BA=90°,即NOBP=90°,

：,OB1PB,

〈OB是。。的半径，

・•・直线PB为。。的切线；

(2)解：'：PA=PB,OA=OB,

・•・尸。垂直平分力8,

：,^PAO=/-PDA=Z.ODA=90°,

・"1+Z2=90°,Z1+Z3=90°,

Az.2=43,

△OADs△OPA,

.ODOA

••一OA=一OP,

即0炉=OD-OP,

答案第16页，共25页

*：0A=OC,AD=BD,BC=6,

：,OD=\BC=3,

・・・tanzACE=；,乙4CE=",

2

AtanF=7

设40=x,

在Rt△/1£)「中，tan/7=J

：.DF=2AD=2x,0A=OF=2x-3,

在RS4。0中，0A2=0D2+AD2,

A(2x-3)2=x2+32,

解得必=0(不合题意，合去)，%2=4,

即40=4,OA=2x-3=5,

*：AC=20A=10,BC=6,

4c是。。的直径，

：.Z.ABC=90°,AB=8,

「•si山CB=L，.

*：0A2=OD^OP,

•••0P=,

.“1至—5=U.

33

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角

定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

12.(1)证明见解析

(2*

【分析】(1)连接04,根据切线的性质得NO4尸=90。，再根据"SSS'证明△POAgZVOB,

进而得出NOBP=NOAP=90。，即可得出答案；

(2)对图形标注，如图.由切线的性质，再结合勾股定理，在肋△OQA中求出OA,然后

在用△P8Q中，根据勾股定理求出以，PB,再说明OP垂直平分A4,可得。”是△8AP

的中位线，求出DH,并得出DH||AQ,可知△DHE-△QEA,得出=墨=:.设人£>4r,

HEDH3

答案第17页，共25页

HE=3t,可表示BE,进而得出答案.

【详解】（1）连接0A,如图.

•・•陶是。。的切线，

：.0A1PA,

：.ZOAP=90°.

在^POAPOB中，

PA=PB

OA=OB,

PO=PO

A△POAFOB(S55),

・・・NOBP=N04P=9O。，

：,0B1PB.

〈OB是OO的半径，

二•PB是。。的切线；

(2)48与。。交于〃，连接。〃，OA,如图.

,：PA,PB是。。的切线，

，NOAP=90。，ZPBQ=90°.

在RtXOQA中，AQ=4,CQ=2,

则OQ=OC+CQ=OA+2,

根据勾股定理，得(04+2尸=。/+42

答案第18页，共25页

解得04=3.

设布二x,则尸Q=4+x.

在RtbP8Q中,BQ?+8P2=PQ2,8Q=BC+CQ=6+2=8,

A82+x2=(%+4)2,

解得x=6,

：.RA=PB=6.

•・•门与尸B为O。的切线,

：.PA=PB.

\fOA=OB,

・・・0P垂直平分AB,即点”为A8的中点.

•・•£＞为PB的中点,

:.DH是2的中位线，

：,DH=\PA=3,DH||PA.

*：DH||AQ,

：,△DHE-△QEA,

,AE_AQ_4

・・诟-DH-3,

设AE=4f,HE=3t,贝ljBE=BH+HE=A”+"E=7f+3U03

,AE_4t_2

,,BE=TO7=?

【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考杳了切线的性质和判定，三角形中位线的性质和判

定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线长定理，全等三角形的判定和性质等.

13.(1)见解析

⑵见解析

⑶中

【分析】(1)连接。力，可推出4240=90°,0P是力8的垂直平分线，从而PB=PA,进而

^APOA,从而NPBO=iPA。=90。，进一步得出PB是O0的切线；

(2)可证明△PBC〜ZiPOB,进而推出P〃2=pc・p。；

(3)可推出NOP。=乙APD,ADWP，从而乙DPO=^ADG,△PCEDAE,—=—=1,

ACOD

1ppp「

进而推出。C=Z。，=,乙DP。=KDPA,从而AD=AP=PB,设OC=Q,贝IJ.PB=

2DEAD

答案第I9页，共25页

AD=2a.,PC=x,根据PE?=PC・OP列出方程(2Q)2=%Q+Q),求得工的值，进一步得

出结果.

【详解】(1)证明：如图，连接。4

为0。的切线,

:.0A1AP,

Z-PA0=90°,

•••OPLAB,

•••BC=AC,

•••0P是的垂直平分线，

:.PB=PA,

v0A=OB,0P=。尸,

/.△POB三△POA(SSS),

:.乙PBO=^PAO=90°,

•••OB1PB,

••.P8是O。的切线；

(2)证明：由(1)得，

Z.PBO=90°,OP1AB,

:.乙PCB=乙PBO=90°,

•••Z.BPC=乙OPB,

•••△PBCPOB,

”=上，

POPB

PB2=PC-P0；

(3)解：如图，连接4),

答案第20页，共25页

p

Z.BPO=乙APO,

v乙BPD=3Z.APD,

:.乙BPC+乙CPE=3乙APD,

:.Z-APC+(Z.APC-AAPD)=3/-APD,

:.Z.APC=2Z.APD,

:.乙DPO=Z.APD,

•••8。是。。的直径，

:.乙BAD=90°,

:.AD1AB,

由(2)知：OPLAB,

.'.ADWP,

LDPO=LADE,>PCE八DAE,能=?=1,

ACOD

OC=-AD,—,

2DEAD

,:Z.DPO=Z.DPA,

•••Z.ADE=Z.DPA,

•••AD=AP=PB,

i^OC=a,则P5=/W=2a,PC=X,

由(2)得：PB2=PC0P,

•%(2a)2=x(x+