动量守恒定律及其应用（讲义）原卷版

6.2动量守恒定律及其应用

出知识填充

一、动量守恒定律

1.动量守恒定律的内容

如果一个系统,或者所受外力的矢量和,这个系统的总动量保持不变。

2.动量守恒的数学表达式

(1)P=P'(系统相互作用前总动量P等于相互作用后总动量p。。

(2)A/;=0(系统总动量______为零)。

(3)Api=­A〃2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量增量大小,方向)o

3.动量守恒的条件

(1)系统外力或所受外力之和时，系统的动量守恒。

(2)系统所受外力之和不为零，但当内力外力时系统动量近似守恒。

(3)系统所受外力之和不为零，但在某个方向上所受合外力或夕卜力，或外力可以

忽略，则在这个方向上，系统动量守恒。

二、碰撞、反冲和爆炸

1.碰撞

(1)概念：碰撞是指物体间的相互作用持续时间,而物体间相互作用力的现象。

(2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力外力，可认为相互碰撞的物体组成的系统

动量守恒。

⑶分类：

动量是否守恒机械能是否守恒

弹性碰撞守恒—

非完全弹性碰撞守恒有损失

完全非弹性碰撞守恒损失____

2.反冲运动

(1)物体在内力作用下分裂为两个不同部分，并且这两部分向方向运动的现象。

(2)反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用定律来处理。

3.爆炸问题

(1)爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很大，且系统所受的外力，所以系统动量

(2)爆炸过程中位移很小，可忽略不计，作用后从相互作用前的位置以新的动量开始运动。

上考点速查

热点题型一动量守恒的理解和判断

1.动量守恒定律适用条件

(1)前提条件：存在相互作用的物体系.

(2)理想条件：系统不受外力.

(3)实际条件：系统所受合外力为0.

(4)近似条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于系统所受的外力.

(5)方向条件：系统在某一方向上满足上面的条件，则此方向上动量守恒.

2.动量守恒定律的表达式

(1)/H1V|+/H2V2=/W|VI1+W2V2，,相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作

用后的动量和.

(2)Api=—Ap2,相互作用的两个物体动量的增量等大反向.

(3)△〃=(),系统总动量的增量为零.

3.动量守恒定律的“五性”

矢

动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方

量

向

性

相各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(没有特殊说明

对要选地球这个参考系).如果题设条件中各物体的速度不是

性相对同一参考系时，必须转换成相对同一参考系的速度

动量是一个瞬时量，表达式中的0、/…必须是系统中各物

同

体在相互作用前同一时刻的动量，〃'|、2…必须是系统

时

中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不

性

能相加

系研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统，而不

统是其中的一个物体，更不能题中有几个物体就选几个物体

性

普

动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用

适

于接近光速运动的微观粒子组成的系统

性

【典例1】(2021湖南衡阳八中模拟)两磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦

地沿同一直线运动。已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg,乙车和磁铁的总质量为1.0kg。两

磁铁的N极相对，推动一下，使两车相向运动。某时刻甲的速率为2m/s,乙的速率为3m/s,

方向与甲相反。两车运动过程中始终未相碰。则：

(1)两车最近时，乙的速度为多大？

(2)甲车开始反向运动时，乙的速度为多大？

【答案】(1)1.33m/s(2)2m/s

【解析】(1)两车相距最近时，两车的速度相同，设该速度为匕取乙车的速度方向为正方

向。由动量守恒定律得〃7乙U乙一机甲U平=(〃7甲+小匕)*所以两车最近时，乙车的速度为U

7.乙v乙一〃？甲入甲1.0X3—0.5X24

=料+小=—0.5+1.0—m/s=3m/s%1.33m/s。

(2)甲车开始反向时，其速度为0,设此时乙车的速度为uj,由动量守恒定律得机乙I，乙

〃[乙一乙一-P1.0X3-().5X2

—mTvT=wJ,得yj=沅=L0m/s=2m/so

【变式1】(江苏卷改编)如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为小，运动速度的大小

为匕方向向下.经过时间f,小球的速度大小为也方向变为向上.忽略空气阻力，重力

加速度为g,求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小。

0

【变式2](全国卷I改编，14)高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线

运动。在启动阶段，列车的动能()

A.与它所经历的时间成正比B.与它的位移成正比

C.与它的速度成正比D.与它的动量成正比

【变式3］（2019•新课标全国I卷）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平就道通过一小

段光滑圆弧平滑连接，小物块8静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。00时刻，小物

块A在倾斜就道上从静止开始下滑，一段时间后与8发生弹性碰撞（碰撞时间极短）：当A

返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0,此时对其施加一外力，使其在倾

斜轨道上保持静止。物块A运动的u一图像如图（b）所示，图中的口和力均为未知量。已

知A的质量为机，初始时A与B的高度差为H,重力加速度大小为g,不计空气阻力。

（1）求物块8的质量；

（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块4克服摩擦力所做的功；

（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块3停止运动后，改变物块与轨道间

的动摩擦因数，然后将A从。点释放，一段时间后A刚好能与3再次碰上。求改变前后动

摩擦因数的比值。

【变式4］（2021•江西会昌中学）（多选）如图所示,质量分别为/ni=1.0kg和加2=2.0kg的

弹性小球4、bf用轻绳紧紧地把它们捆在一起，使它们发生微小的形变。该系统以速度⑷

=0.10m/s沿光滑水平面向右做直线运动。某时刻轻绳突然自动断开，断开后两球仍沿原直

线运动。经过时间，=5.0s后，测得两球相距s=4.5m,则下列说法正确的是（）

—

A.刚分离时，。球的速度大小为0.7m/sB.刚分离时，匕球的速度大小为0.2m/s

C.刚分离时，。、〃两球的速度方向相同D.两球分开过程中释放的弹性势能为0.27J

热点题型二对碰撞现象中规律的分析

1.碰撞遵守的规律

(1)动量守恒，即pi+〃2=p'l+p'2.

(2)动能不增加，即ki+E'k2或髭+自2家+郊・

(3)速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度,

即UQV府，否则无法实现碰撞.碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前

面的物体速度大于或等于原来在后面的物体的速度，即/后，否则碰撞没有结束.如

果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速

度均为零.

2.碰撞模型类型

(1)弹性碰撞

两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒.

以质量为〃71、速度为0的小球与质量为〃22的静止小球发生正面弹性碰撞为例，有

m\v\=m\vfi+〃72u'2

\mw^=\rnw,?+zw2V,I

…g,(mi-mi')vi,2tn\v\

解付ui=-----T-----,v2=-T-.

结论：

①当两球质量相等时，l/1=0,/2=U1,两球碰撞后:交换了速度.

②当质量大的球碰质量小的球时，VZ1>0,/2>(),碰撞后两球都沿速度口的方向运动.

③当质量小的球碰质量大的球时，vf1<0,/2>0,碰撞后质量小的球被反弹回来.

④撞前相对速度与撞后相对速度大小相等.

(2)完全非弹性碰撞

①撞后共速.

②有动能损失，且损失最多.

【典例2】(2018•全国卷II)汽车A在水平冰雪路面上行驶。驾驶员发现其正前方停有汽

车法立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B。两车碰撞时和两车都完全停工后的位置

如图所示，碰撞后B车向前滑动了4.5m,A车向前滑动了2.()m。已知A和B的质量分别

为2.()X1()3kg和1.5X103kg,两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.1(),两车碰撞时间

极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g=10m/s2。求：

AB

wwwwwwwwww..w...w...w...w..

-^2.0ml-1.5m-|

XX\XNSC^XXXX^XXXXNSXXXXXXVS

AB

（I）碰撞后的瞬间B车速度的大小；

（2）碰撞前的瞬间A车速度的大小。

【答案】（I）3.0m/s（2）4.3m/s

【解析】（1）设8车的质量为"28,碰后加速度大小为OB。根据牛顿第二定律有=

①

式中〃是汽车与路面间的动摩擦因数。

设碰撞后瞬间3车速度的大小为M3,碰撞后滑行的距离为S3。由运动学公式有/i=2aBSB

②

联立①②式并利用题给数据得

vf8=3.0m/s。③

（2）设A车的质量为机人，碰后加速度大小为小。根据牛顿第二定律有

〃，砒?="以。人

设碰撞后瞬间4车速度的大小为JA,碰撞后滑行的距离为必。由运动学公式有/A=2aAs

A⑤

设碰撞前的瞬间A车速度的大小为巾。两车在碰撞过程中动量守恒，有相八%=/ZM/A+

mav1B⑥

联立③④⑤⑥式并利用题洽数据得

V/1^4.3m/so⑦

【变式5］（多选）两个小球A、8在光滑水平面上相向运动，已知它们的质量分别是〃八=4kg,

/m=2奴，A的速度0=3m/s（设为正），B的速度也=-3m/s,则它们发生正碰后，其速度

可能分别是（）

A.均为1m/sB.+4m/s和-5m/s

C.+2m/s力口一1m/sD.-1m/s省口5m/s

【变式6］（2021•安徽江南十校联考）如图所示，一个质量为in的物块A与另一个质量为

2m的物块B发生正碰，碰后B物块刚好能落入正前方的沙坑中.假如碰撞过程中无机械

能损失，已知物块8与地面间的动摩擦因数为0.1,与沙坑的距离为0.5m,g取lOm/sz,

物块可视为质点.则A碰撞前瞬间的速度为（）

m2m

H----0.5m

A.().5m/sB.1.0m/sC.1.5m/sD.2.0m/s

【变式7］（多选）（2021•四川成都外国语学校月考）A、3两球沿一直线运动并发生正碰，如

图所示为两球碰撞前、后的位移随时间变化的图象，〃、〃分别为A、8两球碰前的位移随

时间变化的图象，c为碰撞后两球共同运动的位移随时间变化的图象，若A球质量是〃7=2

kg,则由图判断下列结论正确的是（）

x/m

10

8

6

4

2F-

01234x/s

A.碰撞前、后A球的动量变化量为4kg・m/sB.碰撞时4球对B球所施的冲量为一4

N•s

C.A、8两球碰撞前的总动量为3kg•m/sD.碰撞中A、8两球组成的系统损失的

动能为10J

热点题型三“人船模型”类问题的处理方法

1.人船模型的适用条件

物体组成的系统动量守恒且系统中物体原来均处于静止状态，合动量为零。

2.人船模型的特点

（1）遵从动量守恒定律：W|V|—/??2V2=0o如图所示。

（2）两物体的位移满足：/片一吒^=（）

X人+x船=心

*M,_w_.

P工人=加+〃/'X^=M-^-mL

【典例3】（2019•河南郑州外国语学校模拟）如图所示，长为/、质量为M的小船停在静

水中，一个质量为〃［的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，

船和人对地面的位移各是多少？、

【变式】船的位移为房一/人的位移为

M十“2M十"2

【解析】先画出示意图如困所示，选人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走到船

尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以水平方向动量守恒，人起步前系统的总

动量为零.设某一时刻人对地的速度为U2,船对地的速度为也，选人前进的方向为正方向.根

据动量守恒定律有：〃W2—MW=O,即言=骞因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一

时刻系统都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量

成反比，从而可以得出：在人从船头走向船尾的过程中