分式方程及其应用【九大考点】-北师大版八年级数学下册重难点突破（含答案）

专题5.3分式方程及其应用【九大考点】一【重难突破】北师大版数学八年级下册考

点强化讲与练

（一）分式方程

（1）解分式方程的基本步骤

①去分母（两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程）。

②解整式方程（去括号-移项/合并同类项-系数化为1）。

③检验（把整式方程的解代入最简公分母，

若最简公分母为0,则x=a不是分式方程的解

若最简公分母不为0,则x=a是分式方程的解

④写出答案

（2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成

立，但分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。

（二）分式方程应用

分式方程解决实际问题的步骤：

①根据题意找等量关系

②设未知数

③列出方程

④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）

⑤写答案

第1页

考点11分式方程定义

典例1:

1.下列方程不是分式方程的是（）

A1053%r

Ax_6B.C.中=2D-3=6-3

-3-xx~x-1

【变式1】

2.下列式子中，是分式方程的是（）

A无2+15B.14x

~2~~33x—13x+l

x—4

C.x3D.3-x+2=中

2x—12x4-1=14

【变式2】

3.有三列方程：@x+1x—3=1.②券—2=5,③囊=-6（m为不等于2的常数），其中，属于分

23

式方程的有（填序号）.

【变式3】

4.下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是（只填序号）

①竽=5；②我+b)+2=竽；③吟+2=等：④含=*⑤1+32-*⑥喑

11x-n.x+mr

*3b;⑧*2+x+b；⑨4-----=2.

xbxax+mx-n

考点2列分式方程

典例2：

5.《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记我一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十

六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？''题目译文是：现在有绫布和罗布，布

长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入

120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（）

A.票1_12。=些BR896896

30-xx-3o^+—=120

n896896

C.120+些=黑"D--=30^+11290n

x30+x

【变式1】

6.我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势.经过

对某款电动汽车和某款燃油汽乍对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽乍平均每公里的加油

费少04元.若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽

车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是

)

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A3003005R300300「

A«--x-=x-07.T~4AX3--x-=-x+-0yr.-4TX3

「300300n300300

C--X3o=^+OD.—X3o=^^

【变式2】

7.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城

市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马

的辨，求规定时间.设规定时间为x天，根据题意，列方程为.

【变式3】

8.辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是

餐桌上的佳品.某收割队承接了60历兴五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原

来提高了20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天收割的面积为动77?,则列方程

为•

典例3：

9.解分式方程:

⑴用+%1

(2)x-2-2-xZ

【变式1】

10.解分式方程.

⑴与=会-3;

c12%-11

⑵

【变式2】

11.解下列分式方程:

⑴备=磊+1；

241

(2)

x—2X2—4~~x+2

【变式3】

第3页

12.解方程:

(1).J_i-^1.

x-2++1-2-x'

34

(2)^3-^2^=0-

考点4根据方程解的情况求字母

典例4：

13.若关于％的分式方程=7=患一2的解是非负数，求a的取值范围.

XJL乙X一

【变式1】

14.若关于％的方程空等+岩=3的解是正数，求m的取值范围.

【变式2】

15.已知关于x的分式方程芸?一禽=1.

（1）若该方程的解为x=3,求m的值：

（2）若此方程的解为负数，求m的取值范围.

【变式3】

16.已知号+2=1是关于无的分式方程.

（1）当a=5时,求方程的解;

（2）若该方程的解为正数，求a的取值范围.

考点5卜分式方程增根

典例5：

17.已知，关于X的方程：磊+等=（=+弘_1）.

（1）若方程有增根，求m的取值；

（2）若方程无解，求m的取值；

（3）若方程的解为整数，求整数m的值.

【变式1】

“cMTAA-^rn^+2,m1—m

18,关于X的方的后7+口=（%+2）（%-1）,

（1）M为何值时，方程有增根？

（2），〃为何值时，方程无解？

【变式2】

19.己知关于天的分式方程^;二；:一2.

1—XX—1

（1）当血=-1时，求这个分式方程的解;

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（2）小明认为当机=3时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗?请判断并说明理由.

【变式3】

20.学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于X的分式方程&=1的解为正数，求Q

的取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于工的方程，得到

方程的解为％=Q+4,由题目可得Q+4>0,所以Q>-4,问题解决.小聪说：你考虑的不全面，还必须

a00才行.

（1）请回答：的说法是正确的，正确的理由

是：

（2）已知关于%的方程警+*=3的解为非负数，求m的取值范围；

X—53-X

（3）若关于%的方程岩+筹=一1无解，求九的值.

考点6I分式方程实际应用——行程问题

典例6：

21.小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还

有25分钟，丁是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，己知小明骑车的时间比跑

步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍.

（1）求小明跑步的平均速度；

（2）如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？

【变式1】

22.人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学

科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.2（）24

我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领

航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点E寸，“致远号''才

行驶到全程的3“领航号”比“致远号”每秒多行03米.

<1）求“致远号”的行驶速度；

（2）如果将“领航号”的赛道长增加!，“致远号''的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同

时到达各自终点吗？通过计算说明：

（3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写

出调整方案.

【变式2】

23.某校组织师生去距离学校36km的纪念馆开展研学活动.骑行爱好者张老师骑自行车先行2h后，其余师

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生乘汽乍出发，结果同时到达.已知汽乍的速度是张老师骑自行乍的速度的3倍.设张老师骑自行乍的速度

为；tkm/h.

请根据相关信息，回答下列问题：

（1）用含有工的代数式填空：

①汽车的速度为km/h；

②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为h；

③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为h：

（2）求张老师骑自行车的速度.

【变式3】

24.如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程.

张庄和李庄两地之间的路程是25km,嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸

爸骑摩托车.爸爸比嘉琪晚出发1九，却和嘉琪同时到达.己知爸爸的速度是嘉琪的速度的

2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？

中甲•.A3l-=，2力5xX—%

乙：设嘉琪的速度为ykm"

根据以上信息，解答下列问题.

（1）甲同学所列方程中的x表示_______________________________

（2）根据乙同学设的未知数，列方程并解答.

分式方程实际应用——工程问题

典例7：

25.某工厂加工一批零件.现有甲、乙两种机器同时开工.已知甲、乙两种机器每分钟共加工4（）个零件，

甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等.求甲、乙机器每分钟各加

工零件的个数.

设甲种机器每分钟加工x个零件.

（1）根据题意，用含x的式子填写下表:

加工零件（个/分钟）加工数量1个）加工时间（分钟）

甲种机器X95

乙种机器105

（2）列出方程，求出问题的解并写出答话.

【变式1】

26.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为480（）米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所

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造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加20%,结果提前20天完成铺设任务.

（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？

（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，

所有工人的工资总金额不超过36万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？

【变式2】

27.某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，市政

局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：

①甲队单独做这项工程刚好如期完成.

②乙队单独做这项工程，要比规定R期多5天.

③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.

（I）求甲、乙单独完成这项工程各需多少天？

（2）在确保如期完成的情况下，你认为选择方案最节省工程款（请直接填①②③）.

【变式3】

28.我市地处“世界三大黄金玉米带’之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型

收割机.

（1）若相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，I台乙型收割机比1台甲型收割机能多收割20

公顷地.1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割0.8公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉

米地各是多少公顷.

（2）1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割b公顷地，（其中QHb）.现在

要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案：

方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割；

方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割.

①方案一所用时间是_▲_天；

方案二所用时间是天（用含%氏S的式子表示）

②请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.

考点8分式方程实际应用——销售问题

典例8：

29.下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.

题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用

200元购进甲种商品和用12（）元购正乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元.

题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2

元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是

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多少元.

方法分析问题列出方程

设…等量关系：甲商品数量二乙

解法一200120

商品数量%x—2

设…等量关系：甲商品进价一乙200120

解法二-----------=2

商品进价=2XX

（1）解法一所列方程中的X表示,解法二所列方程中的X表示.

A、甲种商品每件进价x元B.乙种商品每件进价x元C.甲种商品购进x件

（2）根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价.

（3）若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件?

【变式1】

30.金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.

燃油车新能源车

油箱容积：40升电池电量：60千瓦时

油价：8.4元/升电价：0.6元/千瓦时

续航里程：。千米续航里程：。千米

每千米行驶费用：竺裂元每千米行驶费用：一元

a

（1）用含。的代数式表示新能源车每千米的行驶费用：元；

（2）若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多（）.5元.

①分别求出这两款车每千米的行驶费用；

②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米

时，买新能源车的年费用更低？（年费用二年行驶费用+年其他费用）

【变式2】

31.某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗

的价格比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同.

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时

少3元，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少

棵乙种树苗？

【变式3】

32.每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物.某一网络销售公司准备

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在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提

高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务.

（1）求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒''多少件？

（2）“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产.安排甲、乙两家工厂共同加

工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，

两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加

工“元旦礼盒''多少件？

考点9分式方程实际应用——其他问题

典例9：

33.如图，“丰收1号''小麦的试验田是边长为〃米（Q>1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后

余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.

“丰收1号”“丰收2号”

（1）①“丰收1号''单位面积产量为kg/m^“丰收2号”单位面积产量为

kg/m2（以上结果均用含a的式子表示）；

②通过计算可知，（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；

（2）若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多：受何//，求。的值；

（。一1）

（3）某农户试种“丰收I号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，

“丰收1号''小麦种植面积为〃平方米（〃为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两

种小麦种植后，收获的产量相同，当Q<8且。为整数时，符合条件的〃值为（直接

写出结果）.

【变式1】

34.为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A

型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元.

（1）社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材

的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？

（2）商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B

型旧健身器材抵值5（X）元.社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器

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材数量一共是120台.若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是

B型旧健身携材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材;社区也还需要再拿出2m台B

型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值.

【变式2】

35.项目学习方案：

项

目元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等

情知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务

景■:

素

采购小组到市场上了解到每枝4种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种

材

花卉数量为用320元购买的4种花卉数量的2倍

仟

小组成员中设用32。兀购买的4种花卉的数量为x,由题意得方程：①；

务

小组成员乙设②，由题意得方程：2乂攀=黑

素插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成加盆小盆栽的插花任务或

材完成（9-m）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆

栽的时间相同

任

务求m的值

（1）任务一中横线①处应填，横线②处应填.

（2）完成任务二.

（3）设用320元购买的4种花卉的数量为力则每枝力种花卉单价为哈元，根据用800元购买的8种花卉

数量为用320元购买的4种花卉数量的2倍，即可列方程探*=2。结合2x当=噜可知当表示用320

——1-5aQ+5a

元购买的4种花卉数量，黑表示用80（）元购买的B种花卉数量，即可得到答案；

i"。

（4）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为工，完成大盆栽的插花任务的效率为再由完成

my-m

小盆栽的插花任务的效率为1,完成大盆栽的插花任务的效率为上一，可得方程35'工=10x3—,解分

my—mm9—m

式方程即可得到答案.

【变式3】

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36.①1T=T1T-1的解为％=0；

•*vi-JL"iJL

②的解为％=1；

IJL»*vIJL

(^)条=搭一1的解为％=2；

),IJL»*vIJL

®7TT=7TT-1的解为％=3；

J.IJk人IJL

(1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解；

(2)请你用一个含正整数〃的式子表示上述规律，并求出它的解.

第11页

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误;

B、不是方程，故不是分式方程，故本选项错误；

C、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确；

D、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误.

故选B.

【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

3.【答案】②

4.【答案】④⑤⑥⑦⑨

【解析】【解答】解：①巧也=5是整式方程，故①不符合题意；

②*。十b)十2二雪是整式方程，故②不符合题意；

③吟+2=*是整式方程，故③不符合题意；

④翁=|是分式方程，故④符合题意；

⑤1+[=2-1是分式方程，故⑤符合题意；

⑥竽!=喑是分式方程，故⑥符合题意：

⑦!一!="一9是分式方程，故⑦符合题意；

(X人U

⑧等=2+书是整式方程，故⑧不符合题意；

⑨舒+粤=2是分式方程，故⑨符合题意；

故答案为：④⑤⑥⑦⑨.

【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：设绫布有x尺,

•・•绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文,

・・.绫布出售I尺收入亭，罗布出售1尺收入鹄,

•・•绫布和罗布各出售1尺共收入120文

.896,896“A

F+砺=120,

第12页

故选:B.

【分析】根据等量关系式：绫布出售一尺收入十罗布出售一尺共收入=120文，列方程即可求解.

6.【答案】B

7.【答案】警=暴噌

X—L3X十1

8♦【答案】带一中输=2

9.【答案】(1)x=4

(2)无解

10.【答案】(1)解：工=羚一3

X—LL—X

原方程去分母得：1=%-1-3(x-2),

解得：x=2,

检验：将％=2代入%-2得x-2=0,

则％=2是分式方程的增根，

故原方程无解；

⑵解：号-史1=1，

x2x—l_1

门一(x-l)(x+1)=1，

原方程去分母得：x(x+1)-(2x-1)=(x+l)(x-1),

解得：x=2,

检验；将％=2代入(％Il)(x-1)#0,

故原方程的解为x=2

【解析】【分析】(1)通过对方程两边同时乘以分母的最小公倍数，消去分母，将其转化为整式方程。然后求

解得到的整式方程，得到x的解。最后需要将整式方程的解代入最简公分母中进行检验，最简公分母为0,

即可得出分式方程无解；

(2)通过对方程两边同时乘以分母的最小公倍数，消去分母，将其转化为整式方程。然后求解得到的整式

方程，得到x的解。最后需要将整式方程的解代人最简公分母中进行检验，即可得出分式方程的解；

原方程去分母得：1=%-1-3(%-2),

解得：x=2,

检验：将％=2代入％-2得%一2=0,

则％=2是分式方程的增根，

故原方程无解；

第13页

⑵解：—

x______2%-1_1

x—1(x—l)(x+l)-,

原方程去分母得：x(x4-1)-(2x-1)=(%+l)(x-1),

解得：x=2,

检验：将x=2代入(％+1)(%—1)0,

故原方程的解为x=2

11.【答案】(1)解析:方程两边都乘3(%+1),得3%=21+30+1),

去括号得：3x=2%+3x+3

移项合并同类项得：-2%=3

解得

经检验，％=-，是分式方程的解，

乙

(2)解：去分母，得2(%+2)—4=x—2,去括号得：2x+4-4=x—2

移项合并同类项得：x=-2

经检验，无=-2是分式方程的增根,

・・・原分式方程无解.

【解析】【分析】(1)分式方程同时乘以3(x+l)化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验得到

分式方程的解;

(2)分式方程乘以(x+2)(x-2)化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验得到分式方程的解.

12.【答案】(1)x=-l

(2)j=-

3a

13.【答案】解：言=叼5-2

2x=3a-2(2%-2)

解得*喈

•••分式方程的解为非负数，且欠-1^0

3a+4

-6--°

匕3a+一4’1

解得QN—g且QH号

故答案为：QN—4且a工"

第14页

14.【答案】解：空裂+夏=3

去分母得：2x+m-(x-1)=3(工一2),

去括号得：2x+m—x+1=3x—6,

移项得：2%—x-3x=-6-1-zu,

合并同类项得：-2%=一7-TH,

系数化为I得：x=竽，

•・•关于”的方程学乎I芬==3的解是正数,

X—LL—X

••ra>—7且mH—3.

15.【答案】(1)血=4

(2)m<一2且?n工-4.

16•【答案】(1)解：原方程为三+/_=1,

X—1L—X

解得x=3,

检验：当x=3时，x-1¥：0.

••x=3是原方程的根：

(2)解：解分式方程得无=。-2,

•・•分式方程的解是正数，

••x>0且x*1,

**•a-2>0ILu-201,

解得：a>2且Q于3,

，。的取值范围是：。>2且。》3.

17.【答案】(1)解：去分母，得3a—l)+6Q+l)=mx,

去括号，得3x-3+6x+6=mx,

移项、合并同类项，得(m—9)x=3,

当x=—1时，得9—m=3,

解得m=6；

当x=l时，得m—9=3,

解得m=12,

，若方程有增根，m的取值为6或12：

(2)解：V(m-9)x=3,

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・・・当m-9=0时原分式方程无解,

/.m=9,

•・,当m=6或12时方程有增根，

・・・若方程无解，m的取值为6或9或12；

(3)解：V(m-9)x=3,

・3

•・•方程的解为整数，

Am—9=±3,m—9=±1»

当m-9=3时，租=12(舍去)；

当m-9=-3时，m=6(舍去)；

当m—9=1时，m=10；

当m-9=-1时，m=8；

•'.m=8或10.

【解析】【分析】(1)先把m当作常数解关于x的分式方程，即尤=岛，再由增根的概念即使最简公分母

等于。的未知数的值可得关于m的方程并求解即可；

(2)由于％=邑，则由题意知关于m的分式无意义，即m=9：再由增根的概念可知m=6或m=12；即方

m—v

程无解时m的值有3个；

(3)由(1)知》=邑，由于方程的解为整数可得m-9=±3或巾一9=±1,再分别求解并排除(1)和

(2)的结果即可.

18•【答案】解：案+&=益石

方程两边都乘(％+2)(工一1),

得(m+2)(%-1)+TH(x+2)=1-m,

•・•原方程有增根，

・•・最简公分母。+2)(x-1)=0,

解得x=1或％=-2,

当％=1时，则(m+2)(1-1)+m(l+2)=1—m,

解得机=/；

当％=-2时，则(m+2)(-2-1)+m(-2+2)=1—m,

解得m

・,•当m=/或m=q时，方程有增根;

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（2）解：由（1）可得（m+2）（x-l）+m（x+2）=l-m,

则2（m+1）%=3-2m,即x=肃生,

当机+1=0,即m=-l时整式方程无解，

当蒲色=-2,即血=一：时整式方程无解，

当标生=1，即巾=,时整式方程无解，

当m=-1或m=1或m=—夕寸，方程无解.

【解析】【分析】

（1）先把m当作常数解关于x的分式方程，再把增根代入即可得关于〃，的方程并求解即可；

（2）同上先用含m的分式表示出方程的解，再利用分工无意义的条件解关于m的不等式，再结合增根的概

念加上（1）的结果即可.

19.【答案】（1）解：当巾=一1时，原方程可化为鼻=胃一2,

L—XX—1

方程两边同乘以工一1,得一2=2-2（工一1）

解这个整式方程，得x=3.

检脸：把X=3代入最简公分母x-1得3-1W0,

・•・%=3是原方程的解.

（2）解：小明的说法正确.理由如下：

当m=3时，原方程可化为4-二二一2,

方程两边同乘以得一2=-2-2。-1）

解这个整式方程，得x=L

检验：当％=寸，1-1=0,

・,・%=1是原方程的增根，原分式方程无解.

・•・小明的说法正确.

20•【答案】（1）小聪；分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）

（2）解：解方程，得％=巾，

••・方程的解为非负数，

9

->O

2-

9

<-

-2

X3

3

-

2

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93

-<-且-

27H2

(3)解：原方程化简为：(n-l)x=2

,••原方程无解，

An—1=0或％=3

①当九-1=0时，解得九=1；

②当霓=3时，解得九。

•••当n=1或n=飘原方程无解.

21.【答案】(1)小明跑步的平均速度为200米/分钟

(2)小明不能在电影开始前赶到电影院

22.【答案】⑴解:设“致远号”的平均速度为x米/秒,则“领航号”的平均速度为(％+0.8)米/秒,

由题意得/=二2_,

x%+0.8

解得：x=3.2,

经检验％=3.2是原方程的解.

答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒；

(2)解:不能同时到达.

设调整后“领航号”的行驶路程为30x(l+1)=36(米)，

“领航号”到达终点所用的时间为袅1=9(秒)，

3.Z+U.O

“致远号”到达终点所用的时间为碧=9.375(秒)，

•••两车不能同时到达；

(3)解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒,乎=觌

y。•乙

解得：y=3.84,

经检验y=3.84是原方程的解；

设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，羊二除

解得：z=[

经检验z=当是原方程的解.

答：调整后“领航号”的平均速度为3.84或调整后“致远号”的平均速度为挈米/秒可使两车能同时到达终点.

23.【答案】(1)3x；络会

XX

(2)解：根据题意列式得，||=等三

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解得，%i=0,x2—12,

检验，当x=0时，原分式方程分母为0,不符合题意，舍去，

当％=12时，原分式方程有意义，符合题意，

・•・张老师骑自行车的速度为12km/h.

24.【答案】（1）嘉琪从张庄到李庄所用的时间

（2）解：设嘉琪的速度为ykm",则爸爸的速度为2.5ykm",

根据题意得,学=曷+1，

解得：y=15,

经检验：y=15是原方程的解，

:.2.5y=2.5x15=37.5km/h,

答：嘉琪和爸爸二人的速度各是15/cm/九和37.5km/h.

25.【答案】（1）解：设甲种机器每分钟加工x个零件，则乙种机器每分钟加工（40-%）个零件,

・・・甲种机器加工95个零件所需时间为或分钟，乙种机器加工105个零件所需时间为萨分钟.

加工零件（个/分钟）加工数量（个）加工时间（分钟）

甲种机器x95电

%

1

乙种机器（40-%）105

40-%

（2）解：根据题意得：曳=5户，

X4U-X

解得:x=19,

经检验，x=19是所列方程的解，且符合题意，

.*.40-x=40-19=21（个）.

答：甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件

【解析】【分析】（1）甲、乙共加工40个，设甲每分钟加工x个，则乙每分钟加工（40-幻个，根据工作时

间=工作总量+工作效率，即可用含x的代数式表示出加工时间；

（2）因为甲加工95个零件所用的时间与乙加工105个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，分

式方程求解后必须进行检验，检验后可得出答案.

（1）解：•・•甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器每分钟加工x个零件，

・・・乙种机器每分钟加工（40-幻个零件，

・,・甲种机器加工95个零件所需时间为曳分钟，乙种机器加工105个零件所需时间为罂分钟.

X4U-X

加工零件（个/分钟）加工数量（个）加工时间（分钟）

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95

甲种机器X95

丁

乙种机器(40-x)105105

40—x

(2)解：根据题意得：停=携，

解得：x=19,

经检验，第二19是所列方程的解，且符合题意，

,\40-x=40-19=21(个).

答：甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件.

26.【答案】(1)解：设原计划每天铺设管道工米，则实际施工每天铺设管道(1+20%)%=1.2%米，

根据题意得：愕+20=等，

X1•乙人人

解得：x=40,

经检验％=40是分式方程的解，且符合题意，

:.1.2%=48,

则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；

(2)解：设该公司原计划应安排y名工人施工，4800-40=120(天)，根据题意得：300x120y<

360000,

解得：yW10，

，不等式的最大整数解为10,

则该公司原计划最多应安排10名工人施工.

【解析】【分析】3)通过原计划每天铺设管道长度为未知数，根据工作时间差列出分式方程求解即可;

(2)先计算原计划施工天数，再根据工资总额限制列出不等式，求解最多工人数量.

(1)解：设原计划每天铺设管道"米，则实际施工每天铺设管道(1+20%)%=1.2%米，

根据题意得：粤+20=竺”，

解得：x=40,

经检验％=40是分式方程的解，且符合题意，

•••1.2x=48,

则原计划与实际每天铺设管道各为4()米，48米；

(2)解：设该公司原计划应安排y名工人施工,48004-40=120(天)，

根据题意得:300x120y<360000,

解得：y<10,

・••不等式的最大整数解为10,

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则该公司原计划最多应安排10名工人施工.

27.【答案】(1)解：设工程期为X天，则甲队单独完成用X天，乙队单独完成用(％+5)天,

由题意得，等=1，

人人IJ

解得x=20,

经检验，％=20是原方程的解，且符合题意，

x+5=25,

答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天；

(2)③

28•【答案】(1)解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是不公顷

则有.100_100+20

人x~%+0.8

解得x=4.

检验，当x=4时，x(x+0.8)0

，原分式方程的解为x=4

乙型收割机：4+0.8=4.8(公顷)

答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和4.8公顷.

⑵斛①爵磊：

②方案二所用时间少

理由.S(a+b)2S_S(a+b)—4Sab_S(Q—b)

2ab-a+b=2ab(.a+b)=2ab(a+b)

'：a^b

，(Q—b)2*0

,S(a+b)2s

--帝

.S(a+b)2S

**2ab>a+b

・•・