人教版高中数学选择性必修第三册 第3周检测（第六章以前50%+6.1-6.3 50%）【原卷+答案】

第3周检测（第六章以前50%+64一6.350%）

一'选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）

3535

A.-7B.7C.-vOD.OV

2.仅用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数的个数是（）

A.6B.8C.14D.26

3.为了得到函数危）=2cosQ+?的图象，只需把曲线/（x）=cosx上所有的点（）

A.向左平移々个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍

B.向右平移T个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍

C.向左平成个单位长度，再把纵坐标缩短到原来的:

D.向右平移［个单位长度，再把纵坐标缩短到原来的：

4.若（於r+"（〃£N*）展开式中含有常数项，则〃的最小值是（）

A.2B.3C.12D.I0

5.（x+），-2）5展开式中32的系数为（）

A.60B.-60

C.30D.-30

6.为了了解某政策的执行情况,某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四个人到A.BC三所学校进

行调研，每个学校至少安排一人.若甲不去A学校，则不同的安排方法有（）

A.12种B.18种

C.24种D.36种

7.若等边三角形48C的边长为2,平面内一点M满足由=逆+,刀,则瓦？•丽=（）

措

A.|BC.-|D--V

8.二项式（1+x+f）（l-x严展开式中/的系数为（)

A.120B.I35C.-140D.-162

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知-号）”的展兀式中所有项的系数的和为64.则（）

A.n=6

B.展开式中x的系数为-135

C.展开式中奇数项的二项式系数的和为32

D.展开式中二项式系数最大的项为-540

10.设(1+x+%2)"="o+aix+a二f+…+〃2Mx贝ij下歹j选l项正确的是()

A.〃o=l

+色+…+42"=2"

3n+l

+=

C.4o+a2+&+...(l2n2

3"・]

D.m+〃3+45+…+«2H-1=L^-

11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-AxB\CyD］中,MN分别为棱GOiCG的中点，则下列结论正

确的是()

A.直线BN与MB1是异面直线

B.直线4M与/3N是平行直线

C.三棱柱的外接球的表面积为37c

D.平面yWV截正方体所得的截面面积为|

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.设a£Z,且03E7,若32024+«能被8整除，则.

13.将红、黑、蓝、黄4个颜色不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝

球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为.(用数字作答)

14.记函数抬尸sing.吗)(s£N")的最小正周期为7；写出满足条件%)在区间(“+9有唯一极值

点”的3的一个值.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(V3cosx,-cos

(1)求凡0的最大值；

(2)若在aABC中fiA)=-2,D在BC边上，且/84。专,8。=2。。=2,求448。的周长.

16.(15分)己知12「人.

(1)求展开式中含:的项的系数；

(2)设(2x-)5的展开式中前四项的二项式系数的和为M,(1-2ar)s的展开式中各项系数的和为N,若

M+N=58、求实数。的值.

17.(15分)用4种不同的颜色绘图中的4BCQ四个区域涂色，要求每个区域只能涂一种颜色

(I)有多少种不同的涂法？

(2)若相邻区域不能涂同一种颜色，有多少种不同的涂法?

18.(17分)如图，在多面体A8C0E中，平面ACO_L平面A8C,8£_L平面A8C,Z\A8C和△ACD均为正三

角形AC=2,BE=后点M为线段CD上一点.

(I)求证:

(2)若直线EM与平面AC。所成角为:求平面与平面AC。夹角的余弦值.

•J

19.(17分)已知抛物线C:32=2px(p>0)的焦点为尸(2,0).

\y.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)抛物线C在x轴上方一点Z的横坐标为2,过点A作两条便斜角互补的直线，与曲线C的另一个交

点分别为B,C,求证:直线8C的斜率为定值.

参考答案

第3周检测(第六章以前50%+6.1—6.350%)

1.D因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，

所以〃:8.由题知,/+]=《I|人4.1?%(-1卢23鹰.卢2、

令8・28=0,得k=4,

所以展开式中常数项是75=（-1）4X2-4X第=等.

O

故选D.

2.C当数字2出现1次时，先在4个数位中选1个位置放置2,

氽下数位放置3即可，共有C：xl=4个四住数；

当数字2出现2次时，先在4个数位中选2个位置放置2,

余下数位放置3即可，共有C；xI=6个四位数；

当数字2出现3次时，先在4个数位中选3个位置放置2,

余下数位放矍3即可，共有第xl=4个四位数.

综上，符合题意的四位数共有4+6+4=14个.

故选C.

3.A将曲线_/U）=cosxJ_的点向左平移弓个单位长度，得J（x）=cos（x*）的图象,

再把曲线上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,得於）=2coslx+9的图象.

故选A.

4.A由题得以+产第（8.（*=慌

令〃-2k=0,得〃=2欠则当k=l时取最小值2.

故选A.

5.B由题可得,。+），-2）5=[X+6-2）]5,要找到展开式中含有『产的项，需从（：工"2）3中找到含有的,2的

项,即髭『C"（-2）1=-60fy,故展开式中A2r的系数为-60.

6.C当去A学校2人时，则先从乙、丙、丁3人中选2人去A学校，然后剜下2人到B,C两校各去1

人,则不同的安排方法有髭x/0=6种.当去A学校1人时，则先从乙、丙、丁3人中选I人去A学校.

然后从剩下3人分成两组到B,C两校,则不同的安排方法有C；x髭xAl=18种.由分类加法计数原

理，共6+18=24种不同的方法，故选C.

7.C~MA=CA-CM=褊-（：而+|3）W潟V而4就

丽=元-丽=瓦（9+诃）=|而一河=|函

故而.丽二.I而=1而2=1X22=4

故选C.

8.D(1-x严展开式的通项为TA+I=CJ0(-X/=(-1/-Cj0Z

10

令k=5,则1x(l-x)展开式中.，的系数为(J-xCf0=-252;

5

令k=4、则M1-严展开式中x的系数为(-1)‘xCj0=210;

令k=3,则f(1共严展开式中V的系数为(-1pxC?0=-l20.

故(1+x+f)(1/严展开式中x5的系数为-252+210-120=-162.

故选D.

9.ACD令尸1,则(1-3)”=(-2)"=64,可得〃=6,故A正确；

由题得,〃+产慧(4)6次(弓)*=(-3)*C次力

当k=2时,7>(-3)2X髭,v=135,v,故D缙误；

因为(依一卷)"的展开式的二项式系数和为26=64,则奇数项的二项式系数的和为32,故C正确;

由题知，二项式系数最大为髭和女=3,则A=(-3)3x髭=-540,故D正确.

故选ACD.

10.ACD对于A,令x=0,可得如=1,故A正确；

对于B,令X=l,得。°+0+42+…+。2”:3",故B错误；

对于C,令x=l,得aG+a\+a2+...+«2«=3\@

令x=-l,得出-苗+生+…+他尸^②

由①+②再除以2,可得。()+42+。4+—+。2〃=卓因故C正确；

对于D,令x=l,得。0+〃1+他+...+。2"=3",③

令X=・l,得俏-0+。2•…+。2〃=1,④

③-④再除以2,可得。[+〃3+。5+—+。2〃-1=当一,故D正确.

故选ACD.

11.AD对于A选项，因为BNu平面84iGC,3]£平面平面BBCC,

由异而直线的定义可知，直线8N与MBi是异面直线，故A正确；

对于B选项，假设直线AM与8N是平行直线，则A,M,B,N四点共面.

因为平面A4B18〃平面CGQQ,平面ABNMfl平面AA\B\B=AB,

平而ABNMCI平面CGDiD=MN,

所以MN//AB.

又因为G"i〃/W,所以C1D/MN、与MNCCiDi=M矛盾,

则假设不成立，故4M与Z?N不平行，故D错误；

对于C选项,正方体ABCQ-A出G/)的外接球半径为/?=yA/?=V3,

即三棱柱的外接球的半径为百，该球的表面积为4兀/?2=|2五,故(3错误；

对于D选项，连接CQi,

在正方体4BCD-48IGQI中且BOAiQi,

所以四边府A\BCD｝为平行四边形，则A\B//CD\.

因为M,N分别为棱GDiCG的中点，所以MN//C。,且MN=：CDi+的匿=1xV22+22=

企，

故MN〃AB氏AiB=&AB=20=2MN故Ai.B,N,M四点共面，

所以平面BMN截正方体A8CD-48iG/）i所得截面图形为梯形A\BNM.

由勾股定理可得8N=\8C2+CN2='22+I?=代，同理可得4M二遍，

故梯形A山1MW为等腰梯形.

过点MN分别在平面4出|NM内作MK_L48,Nb_L4反垂足分别为点E,F.

则方二竽=空

22

故ME=FN=yjA1M-A1E=

(4[8+MN)ME_(2鱼+⑵X挈

9

所以梯形的面积为S梯形48NM=

AIBNM22,

即平面8W/V截止方体所得的数面面积为去故D正确.故选AD.

12.732-+用（8+»°12+。=（50128132+（：工］281°"+…+G战8"C；8抵+a=8（C?oi28Si+C；oi28i

°|°+…+C；8招8°）+l+a,故要使32024+。能被8整除，则需1+。也能被8整除.因为叱底7,故当。=7时，

即32024+7能被8整除.

13.30将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为I组，再与轲下的2个小球放

入3个盒子中，共第xAg=36种放法.

若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑球、黄球放进剩下的2个盒子里，有A?=6种放法，则红球和蓝球

不放到同一个盒子的放法种数为36-6=30.

14.3（答案不唯一，可取3,4,5,638中的任意一个值）由府尸sinJr+J,可知丁二",所以（丁,「瑾）二（

b0）6

wco6

令r=csi+?6,则函数产sinf在区6间（2兀6+?,2兀+"二""）有唯一的极值点,

?空如）有唯一的极值点手

等价可在区间re

O6L

由正弦函数的图象可知空如E(9考」弓<华H<取解得2VC旺8,

6LLLOZ

所以口£(2,8].又因为G£N”,所以口可以取3,4,567,8中的任意一个值.

15.解(1)因为a=(sinx,cosx),b=(x^3cosx,-cos^),

所以/(x)=2ab=2V5sinACOSx-2cos2x=x/3sin2x-(1+cos2x)=2(弓sin2r-^cos2x)-1=2sin(2.r-^)-1,

所以/(x)的最大值为2-1=1.

⑵因为/U)=-2,所以sin(2A[)=-1,

62

因为A£(0,花)，所以2A3()，

oo6

所以2AJ=g所以A==.

663

因为NBAZ）三，所以/。八三

Z6

由毛弦定理得，在△48。中，遥而

sinzED4,

鼻，得sin/如岑.

CDAC

在△ACQ中'sinZcADsinZcDA'

即工=书前得sinN644.

sm芸s\nz.CDA2

因为NBZM+/COA=%

所以sin/8QA=sin/COA,

所以瞪二竽即A8=AC.

心.AC2+AB2-BC2.2TT_

由COS4=F^-，且o4=了8c=3,

解得AC=AB=V3,

所以△ABC的周长为3+2百.

16.解（1）（）5的展开式的通项为0+]=《（2丫产（[）三（-1）'24（口^二

令5-2片-1,解得/*=3,

，展开式中含3的项为74=（-1）3X22XC打“="40X/，

・•・展开式中含L的项的系数为-40.

X

（2）由题意可知,M=Cg+禺+熊+*26.

令尸1,可得N=(l-2〃)5.

因为M+N=58,则26+(12»58,

即(1-2〃)5=32,则1-2。=2,解得«=-1.

17.解(1)分四步完成涂色,依次涂AEC,。各个区域,每个区域各有4种涂法，共有44=256种不同的涂

法.

(2)可分四步进行涂色，第I步工有4种涂法，第2步,8有3种涂法，第3步，。有2种涂法，第4步，。有2

种涂法.故共有4x3x2x2=48种不同的涂法.

18.⑴证明取AC的中点0,连接。0。8,在正三角形ACO和正三角形ABC中,。0_1_4。乃。14。,则

DO=BO=V3.

又平面ACO_L平面ABC,平面ACQA平面A8C:ACQOu平面ACQ,80u平面ABC,则。0_1_平面

A8c30J_平面ACD

又£4_L平面ABCM。0〃£8因为。。=£8二百,故四边形。。3£是平行四边形，则DE//OB,

所以OE_L平面AOC.又AMu干面ADC,

所以DE±AM.

(2)解由(1)知,OE_L平面ADC,NEMD为直线EM与平面AQC所成的角，即/石加。二泉

在RlAED/W中,。/=罟=吗=1,即M为。C的中点.