向量的加减法-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

9.2向量运算

9.2.1向量的加减法

基础过关练

题组一向量的加法运算

1.（2025浙江温州月考）计算万+（而+瓦5）+砺=（）

A丽B.荏

CMyD.屈

2.（多选题）（2025山东德州庆云云天中学月考）如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的

中点，则下列等式中正确的是（）

A.而+方=丽B.F5+5E+E?=O

...1・,.........>....,・・，・・・・，•...,

C.DE+DA=DFD.AF+EF=CE

3.（2025安徽马鞍山第二中学期中）已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E在边BC上，满

足BD=DE=EC,则下列各式中正确的是（）

A

A

BDEC

->--->…---»

\.AD=AEB.BD=CE

CJ1B+AE=AC+ADDJB-h4C=AD+AE

4.（2025天津第一中学月考）在四边形ABCD中，若而+而+而=0,且AB=AC=AD=4,则

△BCD的面积为.

5.如图所示，在中心为O的正八边形A1A2...A7A8中,加=44+；（i=l,2,...

,7）,电=亍%0=1,2,…,8）,则a2+a5+b2+b5+b7=.（结果用ai或bj表示）

6.（教材习题改编）一艘小船在静水中的航行速度的大小为2（）m/min,一小河的水流速度的

大小为10m/min,如果船从河岸出发，沿垂直于水流的肮线到达对岸需10min,求小船的实

际航行速度和航程.

7.如图，各小正方形的边长相等，按下列要求作答.

⑴以A为始点，作出向量a+b;

⑵以B为始点，作出向量c+d+e;

（3）若a为单位向量，求|a+b|,|c+d|和|c+d+e|.

b

H

题组二向量的减法运算

8.（2025江苏句容碧桂园学校阶段检测）下列各式化简结果正确的是（）

\J4B+AC=BC

......♦.......♦■…♦.......・•,,1',•

BQB+PC)+(BA-QC)=PQ

CJB+BS-A^=O

DJB-AD-DC=BC

9.(2025四川遂宁射洪中学校月考)如图，在正六边形ABCDEF中,疗-而+前二()

c

B<4

A.OB.屁

C.ADD.CF

10.(2025江苏淮安中学月考)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，各小正方形的

边长相等，那么向量a-b与b的夹角为()

b

A.45°B.60°C.90°D.135°

11.(2024辽宁抚顺月考)如图，在△ABC中，若D是边BC的中点,E是^ABC所在平面内任

意一点,则BE-:DC+ED=.

12.如图，已知五边形ABCDE中方二a,就二b,而二c,反二d，旬二e.

(1)用a,d,e表示丽;

(2)用b,c表示加；

(3)用a,b,e表示反;

(4)用d,c表示就.

d

I)

题组三向量和与差的模

13.（2024江苏泰州兴化文正实验学校月考）已知平面向量a,b,|a|二2,|b|=l,则|a-b|的最大值为

（）

A.lB.2C.3D.5

14.（易错题）（多选题）（2025江苏无锡锡山高级中学阶段考试）设a,b是两个非零向量，下列

四个命题为真命题的是（）

A.若|a|=|b|=|a-b|,则a-b与b的夹角为:

B.若|a|二|b|=|a+b|,贝ija与b的夹角为g

C.若|a+b|=|aHb|,则a和b方向相同

D.若|a+b|=|a|+|b|,则a和b方向相同

15.（2025江苏南京外国语学校月考）设向量a.b满足|a+b|=|a-b|=2,则以|a|,|b|,|a-b|为边长的

三角形面积的最大值为（）

A.lB.2C.3D.4

16.（2025江苏通州高级中学阶段测试）设a,b,c为非零向量，若a方向上的单位向量用看表

示尸江卷+曲则旧的最大值与最小值的差为（）

A.0B.1C.2D.3

答案与分层梯度式解析

9.2向量运算

9.2.1向量的加减法

基础过关练

1.B方+（印质）十丽=刀+南丽当济丽=刀.

2.ABCFD+DA=E4,i^A正确;而+屁+济厚+酢。，故B正确;因为D,E,F分别是△ABC

的边AB,BC,CA的中点，所以DE平行且等于AF,所以四边形ADEF为平行四边形，所以

DE+DA=DF^C正确;因为F为CA的中点，所以福定，所以福■济法■定=昆土丘故

D错误.

3.D对于A,而与荏方向不同，故A错误；

对于B,而与方方向相反故B错误；

对于C,AB+AE=AD+DB+AD+DE=2AD-vDB+DEyAC+AD=AE+EC+AE+ED=2AE+EC+ED,由

题意知D、E为BC的三等分点，则下=访，屁=反,由选项A知而与荏不相等，所以

2历+电碍2输配+的故C错误；

对于DJ5+充=而+9+热皮=而+元+（丽+鬲，

易知丽+及=0,所以方+元=亚+荏，故D正确.

4.答案4V3

解析由元+前+而=0得荏+而=0则AB平行且等于CD,所以四边形ABCD是平行四

边形，

又AB=AD,所以四边形ABCD是菱形，所以AB=AOBO4,所以△ABC是等边三角形，故

NABCg所以NBCD号，所以BD=4V3,

故^BCD的面积为gx2x4VW=4VI

5.答案b6（或也）

解析由题可

知,a2+a5+b2+b5+b7=

+

A2A^A5A^+OA2OA^OAj=（OA^+A5A^）+（OA2^A2A^OAy=OA^+OA^OAy=OA^A1（5^OAy=OA^

=bo="b2.

6.解析如图，设水流的速度为方，小船在静水中的航行速度为丽，以OAQB为邻边作

口AOBC,则历表示船实际航行的速度，

由题意可得I词|=10,|0S|=2O,OC±OA,

则函=[2()2-1()2=1。6

所以船的实际航行速度的大小为10V3m/min,方向与水流速度方向间的夹角为90。，

故该船的实际航程是10V3x10=100V3(m).

7.解析•(1)将a,b的起点同时平移到A点，利用向量加法的平行四边形法则作出a+b,如图

所示.

(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点，得出c+d,再将向量e的起点与c+d的终点相

接，利用向量加法的三角形法则即可作出c+d+e,如图所示.

⑶由a是单位向量可知|a|=l,根据作出的向量结合勾股定理可知,|a+b|="牙=五

由题图可知|c+d|斗c|二|中1.

利用图中所示的向量和勾股定理可知|c+d+e|=V22+32=Vl3.

8.B刀+痔戏,A错误；

(方+定)+(初一因=刀+瓦+正一正=0+正+函=可,E正确；

荏+就-充与落沅=0,C错误；

AB-AD-DC=DS^i5c=CB,D错误.

9.D由题图可知，》与瓦弟方，

所以万一带■炉工犷一刀十而二衲■赤=乔.

10.D设次=a,无=b,则血一而二a-b,如图所示，

设各小正方形的边长为1,则137H而H丽J历1=2低所以1次『+|网2=1丽F,

所以三角形OAB是等腰直角三角形，则NOBA=45。，

由图可知，向量a-b与b的夹角为NOBA的补角，即为135°.

11.答案0

因为D是BC边的中点,所以而=万?,所以屁-反+而二0.

12.解析(1)丽=屁+与+方=d+e+a.

⑵历=而一^=一配一无=-b・c.

(3)EC=E4+AB+BC=e+a+b.

(4)£T=-CE="(CD+PF)=-c-d.

13.C当a,b同向时,|a-b|=2・l=l;

当a,b反向时,|a・b|=2+l=3;

当a,b不共线时,根据三角形的三边关系可知l<|a-b|<3.

综上所述,|a-b|£[1,3],・・.|a-b|的最大值为3.

14.BD若|a|二|b|=|a-b|,则a,b,a-b构成等边三角形，故a-b与b的夹角为争易错点k故A错

误；

若|a|二|b|=|a+b|,则由向量加法的平行四边形法则可知a和b的夹角为尊故B正确；

当a与b同向时,|a+b|=