2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷01（上海专用）解析版

高一数学下学期期中模拟卷01(上海专用)

全解全析

(考试时间：12()分钟试卷满分：150分)

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：沪教版必修第二册第6章三角+第7章三角函数+第8章平面向量。

第一部分(填空题共54分)

一、填空题(1-6填对每题得4分，7T2填对每题得5分.)

1.计算511(一1560°)85(-930)-85(-1380°)与111410：=.

【答案】1

【分析】利用诱导公式化简计算即可.

【详解】sin(-l560)cos(-930°)-cos(-13800)sin14100

=-sin1560cos9301-cos1380sin1410

=-sin(4x360+120)cos(2x360+210j-cos(4x360-60c)sin(4x360-30)

=-sin120cos210J-cos60-(-sin30)

=-sin(180°-60°)cos(180+30O)+cos60°sin30°

=sin60'cos30'+cos60'sin30,

2222

故答案为：1.

2.在平行四边形片8c。中，E是对•角线力C上靠近点C的三等分点，设£=方，b=AC^则用入B表示

乐为________

-2-

【答案】-a+-b

1/13

【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可.

【详解】

因为E是对角线4c上靠近点。的三等分点，所以衣=:衣，

则8石=84+力石=84+—/1。=一48+—力。=-4+—6.

333

-2-

故答案为：-

3.已知ae(O,江满足sinja+：=2,则tana=,

【答案】272

【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系计算即可.

【详解】sinla+^=cos«=-.

3

因为aw(0,7t),所以sina=J1-cos2a=,

3

2V2

所以tana=^3=—-=2jL

cosaJ_

3

故答案为：2&.

4.若方程3./+5x—7=0的两根为tana与tan/7,则tan(a+/?)=

【答案】-；/-0.5

【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可.

57

【详解】由题设.tana+tanft=—,tanatanfi=--.

_5

所以tan(a+m=「n"：n/；m=q

1-tanatanp1十,2

3

故答案为：-万

5.2026年春节，小雅与家人在山阳天竺山欣赏“雪落天竺，雾淞成诗”的冬日景色.景区文创店推出一款以

雾淞为主题的折纸扇.该纸扇完全展开后，扇面的形状为扇环形，具圆心角为120',外半径为25cm,内半径

2/13

为10cm.则该纸扇扇面的面积为crrT•

【答案】175九

【分析】利用扇形的面积公式可求得结果.

【详解】由题意可知，扇形圆心角的弧度数为?，

由扇形面积公式得S扇环=；x,x252-;X?X1O2=175加,

故答案为：175兀.

6.在△/出。中，q=2,b=6,C=30°,则八48。的面积为

【答案】3

【分析】由工"c=；absinC,计算可求面积.

【详解】因为在△48C中，a=2,b=6,C=30°,

所以S“BC=—absinC=—x2x6xsin30°=3.

22

故答案为：3.

3兀

7.已知tana=〃?7i<a<—,则sina-

2

m

【答案】E

【分析】根据题意，得到sin2a=〃/cos2a,结合三角函数的基本关系式，联立方程组，求得sin?的表达

式，进而求得sina的值.

22

【详解】因为tana=切,所以‘2°=ni-,即sin?a=mcosa

cosa

sin2a-nrcos2a,m

又因为sin?a+cos2a=1,联立方程组sin，^cos^=r解得sWa=——

+m~+1

37r

因为兀<av—，所以sina<0,tana>0,可得〃?>(),

2

所以sina=-/,

Vw+1

8.设幅是平面上两个不共线的向量，/=+丽=[-1历=31+2•，若4B,三点共

线，则上的值为

【答案】；/0.5

【分析】利用平面向量共线定理，结合向量的线性运算即可求解.

【详解】由三点42O共线，可得方=2而，

3/13

^OB-OA=X\Ob-OBy

则代入已知条件得：e,-e2-2ex-ke[=义(3。+2%-6+动

整理得:石一(1+1)2=2招+3区,

因为是平面上两个不共线的向量，

f-l=2Z

根据平面向量基本定理可得："口、V

-[K+1)=3A

解得，片=g,

故答案为：7.

9.在△49C中，角4B,。所对的边分别为mb,c,若〃+c=8,J=p5sinA=3sinC,则。=

【答案】M

【分析】根据正弦定理边角互化可得力=工c=5,即可利用余弦定理求解.

【详解】根据正弦定理由5s定B=3sinC可得5b=3c,

又分+c=8,所以力=3,c=5,

故a=y/c2+b2-2hccosA=^9+25-2x3x5x^-=V19,

故答案为：＞/\9

10.如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40的方向航行，货轮在8处观测到灯塔彳在其南偏东

70’的方向上，航行半小时到达C点，此时灯塔力在其北偏东65•的方向上，则C点与灯塔力的距离为

m

【答案】I0V2

【分析】在中，可得3C=20k",48C=30。，4c8=105。，结合正弦定理，即可求解

4/13

【详解】如图所示，由题意得，在ZUAC中，可得8c=40xg=20(km),

NABC=70°-40°=30°,ZJCB=400+65°=105°,

所以/力=180°-30°-l05°=45°

20x

ffCsinZABC20-sin30071Anr

由正弦定理得AC=————=—=—7=^=10V2..

sinAsin45y/2

T

因此，。点与灯塔力的距离为是10&km.

C：

故答案为：10JL

11.已知圆。的内接四边形/8CD的边长依次为”=7、BC=15、CD=20、»1=24,则圆。的面积为

【答案】等

【分析】在△48。和46中分别利用余弦定理，再由8+。=后，则cosB+cos/)=0,从而可求出NC的

长，由正弦定理得出圆的半径即可.

【详解】因为四边形为圆内接四边形，所以8+。=4,

所以cosB+cosZ)=0,

因为/4=7、BC=\5.。。=20、04=24,

所以在中，由余弦定理得

»AB2+BC2-AC272+152-JC2

cosB=---------------=-------------

2ABBC2x7x15

在A/C。中，由余弦定理得

8S/="2+8、"：242+2。、这2

2ADCD2x20x24

72+152-JC2242+202-AC2

所以------------+--------------=0,解得力。=20,

2x7x152x20x24

33

所以cosB=--,cosZ)=—,

4

因为民。€(0,幻，所以sin8=sinO=w，

5/13

2人焉

=T=25,所以圆的面积5=兀产二穹

由正弦定理可知

74

故答案为：等

71

12.函数/(x)=2siin&x+-+1（。>0）的图象在区间［（）/）上恰有2个最高点，则©的取值范围为

I6j

77r13兀

【答案】T*~T

皿+£,根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案.

【分析】先求出公V+92

Oo0）

n7i\

【详解】由于x«0」），所以+6,6y+6r

O

由于图象在区间［01）上恰有2个最高点，则”解得今野.

所以@的取值范围为任三,胃

IJ3

7兀13兀

故答案为:

33

第二部分（非选择题共96分）

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第1374题每题4分，第1576题每题5分）

13己知43,2）,5（-5,-1）,若万=荏，则点。的坐标为（）

A.B.一或C.D.

【答案】A

【分析】由题意可得。是线段48的中点，根据中点坐标公式求解即可.

【详解】因为沅=费，所以C是线段48的中点,

3-52-1（

所以点C的坐标为,即-I,-，

\乙）

故点C的坐标为［14.

故选:A.

14.已知ae0,yi,sinla=cos|?-aj,则cos2a的值为(

)

「百D色

A.0BX­•----

-；22

【答案】A

【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得sin2a的值，进而求得cos2a的值.

【详解】由于as］。,?

,所以2a€（0,兀），所以sin2a>0

6/13

由sin2a=cosQ-aJ化简得&sin2a=sina+cosa，

两边平方得Zsin?2a=1+sin2a，

即2sin?2a-sin2a-1=0,解得sin2a=1（负根舍去）,

由于sin?2a+cos22a=1,所以cos2a=0.

故选:A.

15.已知点4（1,3）,5（2,4）,C（0,5）,则而在X上的投影向量为（）

A-停4）B-1罚c-停用1（42}

【答案】B

【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.

【详解】依题意，^=（U）,^C=（-1,2）,|JC|=V5,

所以存在4。上的投影向量为一^一・元*二飞---歹=〔一《'与

故选：B

16.设函数/（x）=cos（5+＞）（。，。为常数，0＞0,0＜一＜北）,若函数/'（X）在区间号吃上为单

调函数，且-/三1=则下列说法中不正确的是

（）

1＜247

A，点（弋'°）是困数/⑴图象的一个对称中心

B.函数/（工）的最小正周期为］

C.直线x=-等是函数/（X）图象的一条对称轴

O

D.函数/（工）的一个零点是即

O

【答案】B

【分析】根据/（工）在区间［-上的单调性以及-弁-W

求得/（”图象的对称

2424JV2

中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项.

/\/\7兀兀

【详解】对于A,因为-/-五卜/'五，所以一五十五二」是/（力的零点,

\,4/124/2

所以（一「01是/W图象的一个对称中心,故A正确；

13/

对于B,因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期，

7/13

n5兀

所以一五十五J是/（'）图象的一条对称轴.

A—.——

因为TN*,所以7==}即7=兀，故B错误；

D•OyOy•

对干C,因为0>0,故3=T=2,则/（X）=COS（2X+Q）,

所以x=2一弓=一即是/（、）图象的一条对称轴,故C正确；

82o

对于D,由已知得7=冗，且点（一1,0）是函数“X）图象的一个对称中心，

2

则函数/（X）的一个零点是斗7r，故D正确.

O

故选：B

三、解答题（本大题共有5题，第17~19题每题14分，第20~21题每题18分，满分78分）

17.（本题14分）已知0<二<三，---</^<0,sina-,sjnp-.

2210^5

⑴求cos（a-p）的值；

（2）求tan（a-26）的值.

【答案】。）_吟⑵7

【分析】（1）根据同角关系求cosa,cos/?,再结合两角差余弦公式求cos（a-/?）,

（2）结合（1）根据商的关系求tana,tan/,再利用二倍角公式求tan2/，再结合两角差正切公式求

tan(a-2〃).

【详解】(1)因为sina=述，D<a<[,

102

所以cosa=V1-sin2a-,

因为sin〃=一^^,-y</?<0,

所以cosp-Jl-sin。0-J一人=~~~，

所以cos(a-7?)=cosacos〃+sinasin/?=纥虹+逑百工一巫

10510510

所以cos(a")=一书,

............................7分

8/13

(2)由(1)sin«=—,cosa=—，siny?=--,cos/7=—,

101055

所以lana=7tanp-,

2

2lan£

所以tan2/3=

1-tan2p

7+1

tana-tan2/7

所以tan(a-2/7)=

I+tanatan2/?,+7XH)

所以tan(a-20=—l..................................................14分

18.（本题14分）在“BC中，内角4瓦。所对的边分别为a,b,c,"3C的面积为2例,已知

（2Z;-c）cosJ-acosC=0.

⑴求角力；

（2）若Q=JL求△力8C周长的取值范围.

【答案】⑴力、

⑵|：2履行］

【分析】（1）利用止弦定理与两角和的止弦公式即可求解；

（2）利用余弦定理和基本不等式求得8的最大值，再由三角形三边关系定理即可求解.

【详解】（1）（2b-c）cosA-acosC=0,

由正弦定理，可得（2sin8-sinC）cos力一sin/lcosC=0,

2sin5cosJ=sinJcosC+sinCcosJ=sin（力+C）=sin（c-B）=sin5.

vi?G（0,7t）,.\sin5?t0,.\cosJ=—,又4€（0,n）「.4=2.....................................................7分

23

（2）由余弦定理，可得。2=c2+/-2bccos/l=S+c）2-3bc

.;be£（b+c）,3=（/>+c）2-3bc>^（/?+c）2.

:.b+c&26当且仅当b=c=6时取等号,

9/13

又有b+e>a=-\/3»a=&,

故△ABC的周长="+/)+ce(2石,36]...........................14分

19.(本题14分)设Z=(3,0),/=(l,2).

(1)若M+—求实数义的值；

(2)若〃?=刈+功，且|同=2&,而与£的夹角为:冗，求实数x，歹的值.

【答案】(1)3

⑵[”:或卜二-3

gb=-l

【分析】(1)根据向量垂直则它们的数量积为0代入计算；

(2)根据向量模的坐标公式列第一个方程.，利用向量夹角的数量积公式列第二个方程.，联立两个方程求解.

【详解】(1)已知1=(3,0)3=(1,2),

计算得:a+Ab=(3+A,22),a-b=(2,-2),

由两向量垂直则数量积为0，

得：(1+二)(2-方=2(3+幻—42=6—22=0,解得4=3；................7分

(2)已知历=x2+yB=(3x+y,2y),根据条件列方程:

由|玩|=2&,对模长平方得：(31+七+(2乃2=8①:

由向量夹角公式cos*^^,*个时c°s型=-交，

代人而y=3(3x+y),|矶=3得：_巫=3(3.»「)，

22V2-3

化简得：3x+y=-2②；

将②代入①，得(-2)2+4炉=8,解得4=1,即y=l或尸T；

当2=1时，代入②得》=-1;

当>=T时，代入②得x=-；；

10/13

1

x=-1x=——

因此最终解为：,或3........................................14分

卜=1

V=T

20.(本题18分)某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图片BCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需

求，在四边形区域中，将三角形力4。区域设立成花卉观赏区，三角形8CO区域设立成烧烤区，边

/1A5C,CZ),以修建观赏步道，边80修建隔离防护栏，其中。=100米，40=200米，

(1)若80=250米，求角。的余弦值;

(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏(精确到0.1

米)？

(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形力8c。区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉

观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？

【答案】⑴-白

16

(2)247.4米

(3)8。=100新米，/出=力。=100石米，C=-|

【分析】(1)由余弦定理即可求解；

(2)由三角形面积公式及余弦定理即可求解；

(3)由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值.

【详解】(1)由余弦定理得，cosZ5CZ)=1Q0?+2QQQ2-25Q2=--..................6分

2x100x20016

|124

(2)S=--CDsinC=-x100x200xsinC=9600,解得sinC=一，

ABCD2225

又。为钝角，所以cosC=Jl—sin'C=—(，

4J

由余弦定理得，BD=ylBC~+CD2-IBCCDcosC

^002+2002-2x100x200xf-=60V17工247.4米...................12分

11/13

当且仅当。=：时等号成立,

(3)SKD=-5CCDsinC<-^CCD=10000,

22

此时，BD=J1(疗+200?=1oo6，

设/力80=a,ae(0,^-

ADAB皿L出小

在中，由正弦定理得，而(InsiT3

---a

I33

则S.」心於sin/她吗.sin2n

----a

23I3

=&丝Leos2a50030x(g+l)=25000,

32

当且仅当2a—4=0,即a=g时等号成立，

此时48=40=100j?,C=g，

乙

所以应设计8。=1006米，AB=AD=100亚米,C=y...................18