人教版八年级数学下册 第二十章 勾股定理 全章练习（带解析）

第二十章勾股定理

20.1勾股定理及其应用

第1课时勾股定理

易错点睛

一个直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为5或V7

【点睛】边长4可能是直角边，也可能是斜边.

A基础题夯实

知识点1认识勾股定理

1.已知a,b,c是4ABC中/A,NB,NC的对边，下列说法:①若NC=90。,则42+庐=。2适若/8=90。厕a2+c2=b2;@

若NA=90。厕乂+4/；④总有02+人2=。2其中正确的有①②③.（填序号）

2.（2025福州）如图,正方形B的面浜是&_正方形B的边长是包.

知识点2运用勾股定理

3根据所给条件直接写出下列直角三角形中未知边的长.

(4)MN=1.6.

4.在平面直角坐标系中，点A（0,6）,B（-8,0）之间的距离为小Q_.

5.（教材P25Tl改编）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.

⑴若a=7,b=24厕c=J5.;(2)若a=2,c=2.5,则b=1.5;

⑶若a=b,c=10,则a=5回,(4)若C=2Q力=75,则c=_2_.

6.如图，在RtAABC4J.ZACD=90°,D是边DC上的一点,BD=11,AC=12,AD=13.

(1戌CD的长；

(2咸AB的长.

解⑴在RtAACD中.根据勾股定理,AD2=AC2+CD2,

22222

ACD=AD-AC=13-12=25,

ACD=5;

(2)VBC=BD+CD=11+5=16,

在RtAABC中，根据勾股定理,AB2=AC2+BC2=122+162=40O,.\AB=20.

第2课时勾股定理的应用（一）

易错点睛

如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面0M垂直的墙ON上，梯子底端B距离墙ON有3米.若梯子顶

端A下滑1米到C点，则梯子的底端B向右滑动的距离BD为_1_米.

A基础题夯实

知识点勾股定理的应用

1.（2025连云港中考）如图，长为3m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高

度h为24m.

2.Q025天门）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走,•捷径”，在花圃内走出了一条“路（如

图中的实线）.其实他们仅仅少走了且m,却踩伤了花草.

3.（教材P27T3改编）如图，为了加固一个高2m,宽3m的大门，需在相对角的顶点间加一根木条，则木条的长

为_旧—m.

4.如图，离水面点A高度为8m的岸上点C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m,当船移动到

点D的位置时，绳子DC的长为10m,则船向岸边移动了9m.

5.（教材P43T3改编）如图，过圆锥的顶点P和底面圆的直径AB的平面截得截面4PAB,其中点O是圆锥底面圆

的圆心已知PA=26,AB=20,求圆锥的高.

解由题意得PA=PB=26,OA=OB=10,PO_LAB,在RtAPAO中立睡勾股定理,户不二/^+力/

.,.PO2=P^2-J(72=262-102=576,

・・・PO=24,

・••圆锥的高为24.

6.如图所示，线段AB是电线杆的一条固定拉线,AB=2.5m,BC=L5m，另一条与AB长度相同的拉线A山।在地面

上的固定点Bi到杆底C的距离.以。=2.4”求电线杆上两固定点A和Ai之间的距离.

解：在北△48C中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2,

：,AC2=AB2-BC2=2.52-\.52=4,

：,AC=2,

在即△小&C中，根据勾股定理，

小厌=小。2+8/2,

。2=小瓦-8|。2=2.52—2.42=0.49,

・・・小。=0.7,

••AA\=AC^A।C—1.3.

•••电线杆上两固定点A和小之间的距离为1.3m.

B中档题运用

7.（2。25莆田）',今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何?”这是我国数学史

上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC的长为

8.如图，一段楼梯高BC是6m,斜边AC长10m,在楼梯上铺地毯，地毯至少长J±m.

9.如图，一支长为18cm铅笔放在内部底面直径是9cm,内壁高12cm的圆柱体笔筒中，则这支铅笔露在笔筒

外面的部分至少为2cm.

10如图，一架长25m的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙

角O处的距离为7m.

（1球这架云梯的顶端A处的高度；

⑵当这架云梯的顶端下滑4m时，底端也沿OB的向外移动4m吗?

解（1）由题意彳导AO_LBO,

在RtAAOB中,

根据勾股定理，

222

AB=AO+BOt

=252-72=576,

・・・AO=24,

••・这架云梯的顶端A处的高度为24m;

（2）当这架云梯的顶端下滑4m到达A处时，底端沿0B向外移动到B处,AQ=AO-AA，=24-4=20,

在RtZ\AQB，中根据勾股定理,AB,2=A'O2+BO2,

・・・4U=jZ'2一/’0=252-2()2=225,

.\B'0=15,BB'=B'O-BO=15-7=8,

・••当这架云梯的顶端下滑4m时，底端沿0B的向外移动8m.

0RB'

C综合题探究

11（2025江岸区）如图,A,B两个村在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现要

在河边CD上建一水厂分别向A,B两村输送自来水、铺设水管的工程费每千米需6000元.请你在河岸CD上画出水

厂的位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W（元）.

解：作点A关于CD的对称点A）连接A记交CD于点O,点。为所求水厂位置,

则A，R为最短，铺设费用最省

B

过点A，作A,FIBD交BD的延长线于点F,

/BUY。产+3尸=也2+42=5,:.W=5x6000=30000（元）.

彳，3.-----4

第3课时勾股定理的应用（二）

易错点睛

如图.数轴上点A,B表示的数分别为-12BCJ_AB,BC=2以点A为圆心，AC为半径作弧，弧与数轴正半轴交于

点P.下列两个判断：①AC的长为YTI；②点P表示的数为WW其中正确的是

【点睛】先利用勾股定理求长度，再根据位置与距离确定点对应的数.

A基础题夯实

知识点1勾股定理与全等

1.如图，在RtAABC和RtADEF中,NACB=NDFE=9()o,AB=DE=10,AC=6,EF=8.求证:NB=/E.

证明:在RtAABC中，根据勾股定理.

BC2=AB2-AC2=1O2-62=64,

ABC=8,

在RtAABC和RtADEF中，

VAB=DE,BC=EF,

•••△ABC丝△DEF(HL),

.\ZB=ZE.

知识点2勾股定理与无理数

2.如图，由4个百角三角形拼成的图案中，OA=AB=BC=CD=DE=1,则图中长为无理数的线段呈OB.OCOE.

D\

1

B

4""QL』.尸

O1AB-10I2P34-101：

第2题图第3题图第4题图第5题图

3.（2025仙桃）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点，则△ABC的

周长为一机+E+E.

4.把一个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在数轴上，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径

画弧，交数轴正半轴于点P,则点P对应的实数为2位.

5.如图，数轴上点A,B对应的实数分别是-1和1,过点B作射线LAB,以点B为圆心，OB的长为半径画

弧，交1于点C；以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P,则AC的长为逐一，点P表示

的实数为一任L

6.在数轴上作出表示：士/谢的点.

-4-3-2-101234

B中档题运用

7.如图，将等边4ABC按如图所示的方式放置在数轴上，点B,C分别与表示数-2和2的点重合，以点O为

圆心，0A的长为半径画弧，交数轴正半轴于点P,则点P对应的实数为2/5—.

8.（2025天河区）如图，在3x2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,D都在格点上，以

A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E,则CE的长为3-6二

9.如图，在AABC中,NABC=45。,高AD,BE交于点F,若AC=13,BC=17,CD=5JM^ABF的面积为42.

10在数轴上画出表示，E的点

I].・,I1cliI.1111111G

-10I23;45-1012345

11（2025南平）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按下列要求完成画图:

（1底图1中，画一条长为E的线段；

(2底图2中,A,BCD都是格点，在CD上画点艮使BE平分NABC;

(3)在图3中，画一个三条边长都为无理数，且面积为6的直角三角形.

12(2025武昌区)如图,在平面直隹坐标系中A(4,2).

⑴直接写出OA的长为26;

(2)P是坐标轴上的一点,PA=PO,画出点P、并求点P的坐标.

解：⑴(7/l=V42+22=2V5;

(2祚OA的垂直平分线，交y轴于点片,交x轴于点修厕P,，匕就是所求作的点;

设片(()，〃)过点A作"_L歹轴于点B,则力4=4/出=〃-2,

,

：PlA=P]O,

・・・42+(〃-2)2=/，解得n=5,

・・・丹(()，5)；

设尸2(〃3)，过点A作AC±x轴于点C,则AC=2,P2c=4-帆,

・・・224=尸2°，・\2242=尸202,

・・・(4-〃。2+22=〃闩解得m=2.5,

・・・尸2(2.5,0);

综上所述，点P的坐标为(0,5)或(2.5,0).

20.2勾股定理的逆定理及其应用

第1课时勾股定理的逆定理

易错点睛

已知4ABC的三边a,b,c满足2f2+|a-bI=0,则AABC的形状是一等腰直角三角形.

【点睛】注意“且”与“或’的区别.

A基础题夯实

知识点1勾股定理的逆定理

1.(2025大连)已知三角形的三条边长依次为女m,4cm,5cm，则该三角形是(A)

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

2.15AABC中，48=应/。=8。=1,则aABC的形状是等腰直角三角形.

3.若I。-6I+g+(c-10)2=0,则以a,b,c为边组成的三角形是直直三角形.

4.(2025白云区)如图是由小正方形组成的网格，^ABC的三个顶点A,B,C都在小正方形的顶点上，则4A

....................

BC是直角三角形.

5.判断由线段a,b,c组成的△ABC是不是直角三角形：一产二…—

(I)a=2,b=3,c=4;(2)a=1.5,b=2,c=2.5.

解：(1)V22+32=4+9=13,42=16,

.*.22+32^42,

根据勾股定理，AABC不是直角三角形；

222222

(2)v1.5+2=2.25+4=6.25,2.5=6.25,A1.5+2=2.5,

根据勾股定理的逆定理，aABC是直角三角形.

6如图,在一个边长为15的正方形纸板ABCD中裁剪出一个△ABE,若AE=12,BE=9,求剩余部分的面积.

解：：力七2+4炉=122+92=144+81=225,AB2=152=225,

$正方形丽—S&I8E=柝-\AE.

AAE2+BE2=AB2,

1

BE=225--xl2x9=171.

2

:.AABE是直角三角形,NAEB=9()。，

・•・剩余部分的面积为171.

知识点2勾股数

7.下列各组数中，为勾股数的是(B)

A.4,5,6B.5,12,13C.1,V2V3,D.0.3,0.4,0.5

8.(2025扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”不仅简化

了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;

③7,24,25;④9,40,41.根据上述规律.写出第⑤组勾股数为11.60、61.

B中档题运用

9以〃为边的三角形是直角三角形.

10（2025黄石）如图，以AABC的三边为直径的半圆的面积分别为12兀，16丽28私则AABC的面积为与

11已知三条线段的长分别为12,16,x,以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则x的值为也

或L

12如图，在aABC中,CD是高,AD=2,BD=8,CD=4判断AABC的形状、并说明理由.

解：4ABC是直角三角形.理由：

VCD是4ABC的高，

・•・ZADC=ZBDC=90°,ffiRtAACD中，BC2=BD2+CD2=64+16=80,

在RtABCD中,“2=AD2+CD2=4+16=20,/.ZACB=90°,

13如图,在钝角4ABC中,NA为钝角，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.且8D2^CE2=DE2.

(1)求/13人€：的度数；

(2)gNB=15o,DE=2,求BC的长.

解⑴连接DA,EA.

•・•边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,

・・・DA=DB,EA=EC,

AZDAB=ZB,ZEAC=ZC.

，：BA+C用=DQ,

•••力》+力/=。后，

AZDAE=90°,

.,.2ZB+2ZC+90°=180°,

VAB=AD+BD=2+8=10,

2222

AAB=10=100=AC+BC,

/.△ABC为直角三角形.

r.ZB+ZC=45°,/.ZBAC=135°;

(2)由(1)得ZDAB=ZB=15°,ZDAE=90°,

AZADE=30°,

：.AE=^DE=\,

・・・BD=AD=V3,CE=AE=1,

BC=BD+DE+CE=yf3+3.

C综合题探究

14(2025江岸区)如图，在四边形ABCDZABC=90°,AB=8,BC=6,CD=10,AD=10V2

(1球NADC的度数；

(2涟接BD,求BD的长.

解⑴连接AC.

NABC=90>AB=8,BC=6,

：.AC=VJ52+5C2=V6W=10.

VCD=10,AD=10V2

・•・CD^+AC2=102+l()2=200,力。2=(iOV2)2=2OO,

/.CI^+AC^AD2,

・•・AACD是等腰直角三角形,

，/ADC=45。；

(2)a点D作DEJ_BC交BC的延长线于点E,则NDEC=90。,

•・•AACD是直角三角形,NACD=90。，

AZDCE+ZACB=90°.

VZABC=90°,

/.ZCAB+ZACB=90°,

AZDCE=ZCAB,

・•・AABC^ACED(AAS),

AAB=CE.BC=ED.

VAB=8,BC=6,

••・CE=8,ED=6,

Z.BE=BC+CE=8+6=I4,

・•・BDZBR+EAZT42+62=2同

第2课时勾股定理及其逆定理的应用

易错点睛

有5根长度分别为7dmJOdm,24dm,25dm,26dm的钢条.选3根焊接成一个直角三角形钢架，则能焊接成_2_

种不同的直角三角形钢架.

【点睛】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形.

A基础题夯实

知俱点1勾股定理的逆定理的应用

1.如图，A,B,C三地的两两距离如图所示，C地在B地的正西方向，则A地在C的且直方向.

第1题图第2题图第3题图

2.小明用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后同时握住绳子的第1个结和第13个结，小华分别

握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，则这个三角形是国三角形.

3.如图，利用细铁丝围成△ABC,D是BC的中点，测得AB=20,BC=32,AD=12厕这段细铁丝的长为21.

4.如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A点处，某一天小明从家出发沿南偏西30。方向走60

m到达河边B处取水，然后沿另一方向走8()m到达菜地C处浇水，最后沿某一方向走100m回到家.问小明在河边

B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.

北

解：沿南偏东60。方向行走的.理由如下：

VAB=60m,BC=80m,AC=l00m,

AAB2+BC2=AC2,

AZABC=90°.

VAD//NM,

AZNBA=ZBAD=30°,

:.ZMBC=180o-90°-30o=60°,

・•・小明在河边B处取水后是沿南偏东60。方向行走的.

知识点2综合运用勾股定理及其逆定理

5.(2025大连)如图，在四边形ADCD中,AC±CD,AD=I7,DC=8,AD=12,CD=9.求四边形ADCD的面积.

解VAC±CB,

/.ZACB=90°,

•・•在RtAABC中、根据勾股定理.

JC2=J52-5C2=172-82=225,

VZ4D2+CD2=122+92=225=JC2,

•••△ADC是直角三角形,NADC=90。，

AS四边形ABCD=SAABC+SAADC

=-ACBC+；ADCD

*z

=114.

B中档题运用

6.如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C都是小正方形的顶点，则/ABC的度数为(C)

A.900B.60°C.45°D.30°

第6题图第7题图第8题图

7如图,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,NB=90。,则四边形DABC的面积是24.

8.如图，在平面直角坐标系中,A(-2.4),B(2,1),则A0与B0的位置关系是AOLBO.

9.(2025黄冈)如图,4ABC?QAADE都是等边三角形，连接BD,CD,CE.

⑴求证:CE=BD;

（2诺BD=3,AD=4,CD=5,求NADB的度数.

解（1）由题意，得AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

AZBAD=ZCAE.

.,.△ABD^AACE,

/.CE=BD;

(2)VDE=AD=4,CE=BD=3,CD=5,.\DE2+CE2=CD2,

•••△CDE为直角三角形，

AZCED=90°,

VZAED=60°,

；・ZADB=NAEC=NAED+NCED

=60°+90°

=150°.

C综合题探究

10(2025七一中学)如图，在四边形ABCE中、AB=AC点D在BC边上,NDAE=NBAC,AD=AE.

(l)^<iiE：AABD^AACE;

(2)AF平分NDAE交BC于点F,若BD=6,DF=10,CF=8,求AD的长.

解（1）:NBAC=NDAE,

AZBAD=ZCAE,

又•・・AB=AC,AD=AE,

AAABD^AACE;

（2旌接DE,EF.

VAF平分NDAE,

AZDAF=ZEAF,

VAD=AE,AF=AF,

AAADF^AAEF,

・・・DF=EF=10,

VABAD^ACAE,

ABD=CE=6,ZABD=ZACE,

VCF=8,

・・・E/=。尸+。/，

AACEF为直角三角形、

：,ZECF=90,DE2=DC2

+CE2=182+62=360,

:・DE=6屈、

VAB=AC,

・•・ZABD=ZACB=ZACE=45°,

/.ZBAC=ZDAE=90u,

：,AD2+AE2=2AD2=360,

：.AD=6y/5.

章未复习

高频考点一两个定理

定理1勾股定理

1如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为(B)

A.\2crn2B.25cm2C.144cm2

第1题图

2.如图，带阴影的长方形的面积是空刈尸.

定理2勾股定理的逆定理

3.已知△ABC的三边长分别为6,8,1O,KIJAABC的面积为(B)

A.I2B.24C.30D.48

4.三角形的三边长a,b,c满足("/))2=°2+2H,则这个三角形是［C)

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

5.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的三

条线段是(B)

A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF

高频考点二两种应用

应用1勾股定理的应用

⑴长度计算

6.如图，一个长为2.5m的梯子，一端放在离墙角1.5m处，另一端靠墙,

7.iDH,AA0B是等腰三角形,OA=OB,点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是(1,1),则点B的坐标是一(口()).

(2折叠问题

8.如图，把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的点P处，已知NFPH=90。］

F=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC的长为

9.如图，在△