人教版数学七年级上册《整式的加减》讲义

人教版七年级上册第二章2.2整式的加减讲义

掌握］③知识的加减运算以及整式的化简求值

理解②合并同类项法则、去括号法则、整式的加减运算法则

①同类项的概念及多项式的升(降)基排列

知识点一同类项

出题角度1同类项的判断

例I.下列各组代数式中,属于同类项的有()组.

①C.与0.5a*②xy与xz\③勿〃与0.3m〃；④4与Jx/；⑤3与一6.

A.5B.4C.3D.1

解析：

①X相同字母的指数不相同

②X含有的字母不相同

③J含有相同的字母(③m，n\④x,y)

且相同字母的指数也相同

④J

⑤J几个数也是同类项

答案：C

点拨：本题考查门司类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”相同字母的指数相

同.

变式练习1.下列各题中的两项是否是同类项？为什么？

和2a2；(2)-3(和15x*(3)-25xy和32xy；(4)2n?和12m?；

(5)-2和12；(6)12xy和12x.

出题角度2利用同类项的概念求字母(或式子)的值

例2.若代数式3a3b45n“与-6a，m+i胪？是同类项，求m2-5mn的值.

分析：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，得出关于m,n的方程，求出m,

n的值，然后代入求解.

解：团代数式3a3b4-5n与-6a6-<m+l）bn-2是同类项，

03=6-（m+1）,4-5n=n-2,解得m=2,n=l,

则m2-5mn=4-5x2=-6.

点拨：本题主要考查同类项的定义这类题目的解题关键是从同类项的定义出发，列出方程并求解.

变式练习2.己知,③21%3y与3&奸是同类项，求3y3-4x:，y-4y：i+2x：y的值.

知识点二合并同类项

出题角度3直接利用法则合并同类项

例工合并同类项：

（l）4/+2x+7+3x-8x-2；

（2）—3#+2a—1+才一5a+7；

解：⑴4A2X+7+3X-8X^2找（找出多项式中的同类项）

=4X-8X2+2X+3X+7-2移（交换律）

口诀：同类项，需判断，两相

=(4x-8x2)+(2x+3x)+(7-2)合（结合律）同，是条件。

合并时，需计算，系数

=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)并（分配律）

加，两不变。

=-4xJ+5x+5

(2)—3a2+2a-1+一一5a±7找

=(一3，+，)+(2a-5a)+(—1+7)移

=(—3+1)，+(2—5)a+(-1+7)并

=-2才+(-3)a+6=-2才-3a+6；

(3)4(a+〃)一5(石一4)一6(石一Z?)+7(石+Z?)找

=[4(a+。)+7(a+Z?)]+[―5(a—〃)一6(a—b)]移

—11(a+Z?)—11(a—6)并

=22b.

点拨：同类项的定义中强调，除所含字母相同外，祖回字中的指数也要相同.其中，常数项也是同类项.合

并同类项时，若不是同类项，则不需合并.步骤：(1)找出同类项(用线画出来)：(2)确定各同类项系数：

(3)合并同类项；(4)单独的项写在后面。(不是同类项不能合并。)

变式练习3.合并同类项.(1)3c2-8c+2c3-13c2+2c-2c3+3；

(2)0.5m2n0.4/w?2IO.2nm20.8/w?2.

出题角度4整体合并同类项

例4.合并同类项：(注：第(2)题把(a+b)看作整体.)

-3(a+b)+5(a+b)2-6(a+b)+4(a+b)-2(a+b)J

分析：把(a+b)看作整体合并同类项，运算比较简便.

解：-3(a+b)+5(a+b)2-6(a+b)+4(a+b)-2(a+b)2=(-3-6+4)(a+b)+(5-2)(a+b)2

=3(a+b)2-5(a+b).

点拨：此题主要考查学生对合并同类项这一知识点的理解和掌握；解答的关键是把(a+b)看作整体.此题

难度不大，属于基础题.

变式练习4.把(a+b)和(x+y)各看成一个整体，对下列各式进行化简：

(1)4(a+b)+2(a+b)-(a+b)；

(2)3(x+y)2-7(x+y)+8(x+y)2+6(x+y)

知识点三去括号

出题角度5判断去括号的正误

例6.下列去括号正确吗？如果有错误，请改正.

(1)-(-a-b)=a-b；(2)5x-(2x-1)-x2=5x-2x+l+x2；

(3)3xy_—(xy_y2)=3xy_—xy+y(4)(a3+b')-3(2a-3b3)=a3+b3-6a'，+9b'.

22

分析：(1)根据去括号法则判断即可；(2)根据去括号法则判断即可；(3)注意-，也和y2相乘；

(4)根据单项式乘以多项式法则和去括号法则判断即可.

解：(1)错误，-(-a-b)=a+b.(2)错误，5x-(2x-1)-x2=5x-2x+l-x2.

(3)错误，3xy-1(xy-y2)=3xy-Ixy+g?.(4)正确.

222

点拨：本题考查了去括号和单项式乘以多项式法则的应用，注意：当括号前是号时，把括号和它前

面的“・"去掉，括号内的各个项都变号，当括号前是“+”号时，把括号和它前面的“+”去掉，括号内

的各个项都不变号，注意不要漏乘项.

变式练习5.下列式子中去括号错误的是().

A.5x—(x—2y+5z)=5x—X+2JL5ZB.2a*+(—3a—Z?)—(3c—2中=2#一3a—。一3c+2d

C.3，-3(*+6)=3/—3x—6I).一(x—2y)—(一./+/)=-x+2y+Y—/

出题角度6运用法则去括号

例6.去掉下列各式中的括号.

(1)8m-(3n+5)；(2)n-4(3-2m)；(3)2(a-2b)-3(2m-n).

分析：根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如

果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，对各式进行处理即可。

解：(1)8m-(3n+5)=8m-3n-5；

(2)n-4(3-2m)=n-(12-8n)=n-12+8m；

(3)2(a-2b)-3(2m-n)=2a-4b-(6m-3n)=2a-4b-6m+3n.

点按：本题考查了去括号，去括号时，当括号前面为“-"时常出现错误，常常是括号内前面的项符号改

变了，后面就忘记了，如：-4(3-2m)=-12-8m,应引起特别注意.

变式练习6.去括号：(1)51-3(2s-5)；(2)-4(2a2+ib).

2

出题角度7先去括号，再合并同类项

例7.先去括号，再合并同类项；

(1)(3X2+4-5x3)-(x3-3+3x2)；(2)(3x'-xy-2y')-2(x'+xy-2y~)；

(3)2x-[2(x+3y)-3(x-2y)]；(4)(a+b)2--(a+b)--(a+b)2+(-3)2(a+b).

24

分析：根据去括号的方法，先去大括号，再去中括号，最后去小括号，再计算即可.

解:(1)原式=3x〉+4-5x3-X3+3-3X2=-6x3+7；

(2)原式=3x‘-xy-2y2-2x2-2xy+4y2=x2-3xy+2y2；

(3)原式=2x-2x-6y+3x-6y=3x-12y；

(4)原式二一1(a+b)(a+b)2+9(a+b)=(a+b)2+-ll(a+b).

2442

点拨：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再

运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-"，去括号后，括号里的各项

都改变符号.顺序为先大后小.

变式练习7.先去括号，再合并同类项：

⑴・2n・(3n-1)；(2)a-(5a-3b)+(2b-a)：(3)-3(2a-5)+6a；

(4)1-(2a-1)-(3a+3)；(5)3(-ab+2a)-(3a-b)；(6)14(abc-2a)+3(6a-2abc).

知识点四整式的加减

出题角度8求几个整式的和差

例8.求整式X2-7X-2与一2x?十4):一1的差。

分析：计算整式X?—7x—2与一2/+4x—1的差就是化简(x?-7:《一2)一(―2x、4x—1).

22222

解：(X—7x—2)—(―2x+4x—1)=X—7x—2+2x—4x+l=3x—1lx—1o

点拨：本题应先列式，列式时注意给两个多项式都加上括号，后进行整式的加减。

变式练习R.求多项式-8,。+3而?与多项式-2a2b-^-5ab2的差•

出题角度9化简求值

例9.已知A=5a?-2ab,-4<i2+4ab,求：

(1)A+B；(2)2A-B；

(3)先化简，再求值：3(A+B)-2(2A-B),其中A=-2,B=l.

分析：(1)把A与B代入A+B中计算即可得到结果；

(2)把A与B代入2A-B中计算即可得到结果；

(3)原式去括号合并得到最简结果，把A与B的值代入计算即可求出值.

解：(1)VA=5a2-2ab,B--4a2+4ab,

A+B=5a2-2ab-4a2+4ab=a2+2ab；

(2)VA=5a2-2ab,-4a2+4ab,

2A-R=1-4ah+4a2-4ah=l4a'-Rah：

(3)原式=3A+3B-4A+2B=-A+5B,

把A=-2,B=1代入得：原式=2+5=7.

变式练习9.先化简再求值:若A=9a3b2・5b，・1,B=-7a2b3+8b3+2,求A+B+A,3B・A的值.

出题角度10整式的加减的应用

例10.小雯乘公共汽车到图书城买书，上车时发现车上有(3a-b)人，车到中途站时，下车一半人，但又

上车若干人，这时车上共有乘客(8a-5b)人，问；

(1)中途上车的乘客是多少人？

(2)当a=4,b=2时，上车乘客是多少人？

分析：(1)根据题意列出关系式，去括号合并得到中途上车的人数；

(2)将a与b的值代入计算即可得到结果.

解：(l)(8a-5b)-(3a-b)(3a-b)=8a-5b-3a+b-■+&=1-4

22222

答：中途上车的乘客是=」a-」b人.

22

(2)当a=4,b=2时，原式二X4-』X2=7(人).

22

答：上车乘客是7人.

点拨：此题考查列整式的加减混合运算以及代数式求值，理傩题目缢含数量关系是解决问题的关键.

变式练习10.某工厂第一车间有x人，第二车间比第一车间人数的微少24人.

5

(1)两个车间共有多少人？

(2)如果从第二车间调出10人到第一车间，调动后，第一车间比第二车间多多少人？

(3)当x=150时，在第(2)的条件下，第一车间比第二车间多多少人？

思维误区诊断

误区一判断同类项时概念不清致误出错

例I,判断下列各组是否是同类项：(1)0.2x?y与().2xy2；(2)4abe与4ac；(3)-13()与15；

(4)—5皿、2与4/“J；(5)—(〃+加3与2(〃+与3；(6)7p"+1"与3p"％”；

错解：(1)(3)(4)(6)是同类项，(2)(5)不是正解：⑴、(2)不是同类项，(3)、(4)、(5)、(6)

同类项。是同类项.

错因分析：(l)0.2x2y与0.2xy2因为字母x的指数不同，字母y的指数也不同，所以不是同类项。(2)4abc

与4ac,显然第二个单项式中没有字母b所以不是同类项。(3)都是单独一个数一130和15,是同类项。

(4)虽然-5m3/与4〃2疝字母的排列顺序不同，但相同字母巾的指数相同，n的指数相同，字母也相同，

所以是同类项。(5)将(a+b)看成一个整体,那么一(以+加3与2(4+炉是同类项。(6)7p"W与3pZq"

中，字母相同都是P，q并且字母P的指数都是n+1,q的指数都是n,也相同，所以是同类项。

误区二对有关概念理解的错误

例2.下列式子中正确的是（）

A.5a+2Z?=7abB.lab-Iha=0C.4x2y-5xy2=-x2yD.3x2+5.r3=8x5

错解：C正解：B

错因分析•：许多同学做题时由于对同类项的概念理解不透，看见字母相同就误以为是同类项，轻易地就上

当了.同类项应为所含字母相同，并且相同字母的指数分别相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项.

误区三去括号致错

⑴括号前的系数是1或一1

例3.计算8x-3y-（4x+3y-z）+2z

错解：原式=8x-3y-4x+3y-z+2z正解：原式=8x-3y-4x-3y+z+2z

=4x+z.=4x-6y+3z.

错因分析：去括号时，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号内各项都要变号，本题

是最常见的错误：只改变括号内第一项的符号而忘记改变其余各项的符号。

（2）括号前的系数不是1或一1

例&i+^.（8x2-5y2）-3（2x2-r）

错解1：原式=8工2-5）,2-6x2+），2=2工2-4y2正解：原式=81-5V-6/+3/=2x2-2y2

错解2：原式=8/一5/-6x2-3y2=2x2-8v2

错因分析•：去括号时，若括号前的系数不是1,则要按分配律来计算，即要用括号外的系数乘以括号内的

每一项。本题就是常见的错误：“变符号”与使用“分配律”顾此失彼。

误区四合并同类项出错

例5.计算：2>-三匚.

错解：2y-2F正解：2），一若2

33=2〉2y3=3.=2>-^+-=2,-2y+-=3.

错因分析；忽略了分数线的作用，分数线不但具有除号的作用，而且还有括号作用，本题中的-竺了应

、力冒36）,2

该与成c+c.

33

综合展示舞台

学霸笔记

多项式的升（降）幕排列

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降暴排

列.另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升

品排列.

（升）哥排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）暴重新排列，移动多项式

的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列.注意：

1、重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；2、含有两个或两个以上字母的多

项式，常常按照其中某一字母升凝或降塞排列.

例如：多项式外2-_/一），4一3/〉3-2》前按犬的升累排列为：一）,4+“2-3犬了3一2丁），一丁;

按y的降哥排列为：一）『—342y+肛2-21》一丁.

能力拓展•求代数式的值

L直接已知字母取值型

例I.（1）求多项式的值，其中x=L.

2

（2）求多项式3a+abc-』（?-32+’c?的值，其中a=-』，b=2,c=-3.

336

解：（1）2X-5X+X2+4X-3X2-2（仔细观察，标出同类项）

=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2(系数相加,字母部分不变)

=-x-2(系数是“1”或“T”时省略不写)

当户上时，原式二-，-2二-2。

222

(2)3a+abc--c2~3a+—c2=(3-3)a+abc+(--+—)c2=ab?o

3~333

当a=-4，b=2,c=-3时，原式=(--)X2X(-3)=1。

66

点拨：在求多项式的值时，一般先府多项式进行化简，然后再代入指定的数值进行计算，这样做比较简便，

同时也减少计算失误.合并时，特殊注意系数是负数的情况，规范书写格式，代入字母给定的值时，必要

时要正确使用括号，否则易发生错误.

2.由性质求出字母取值后型

例2.a是绝对值等于2的负数，b是最小的正整数，c的倒数的相反数是-2。求代数式

—［2,心c+(5c/Z?3一7,必cj一〃2匕3］的值。

分析：由己知条件可知。=-2,b=l,c=~,然后化简代数式，最后将己知条件代入求值。

2

解：是绝对值等于2的负数，・・・。二-2；：b是最小的正整数，・•・/?二1；

再二飞的倒数的相反数是一2,/.c=-；

2

4d2/73-\2abc+(5a2b^-labc)-a2b3\=^a2by-2abc-5a'b^+7abc+a2b^=5abc

a=-2,b=1,c=；「.原式=5x(—2)x1xg=—5。

点拨：求代数式值的题目，一般是找到代数式中的字母的值，将代数式化简后代入求值。

3.由非负性确定字母求值型

例3・己矢口(x+l(+1y_gj=O,求代数由2y+xy2+］的值。

分析：根据所给已知条件先求出代数式中字母的值，再代入求值。求字母的值时要根据绝对值是非负数,

完全平方也是非负数，两个非负数的和为0,这两个非负数都是。来列方程，求字母的值。

解：「(x+K20,(y-g)20，

3

22亍二(-1)£+(—l)xg)1(\

把r=-l,y代入得:xy+xy+十—・—

4(2

,1,111111119

=1X-------1X1——X—=---------------1--------=-------1--------=—

2448243243232

点拨：绝对值和完全平方数是非负数，这个知识点常考到，要注意体会本题是如何用这个非负性的。

4.整体代入型

例4.已知2x+3y-2的值为-7,求代数式4x+6y+1的值U

分析：所给的条件很难求出两个字母的值，所以考虑用整体代入法求值。

解：2x4-3y-2=-7,2x4-3y=-5

/.4x+6y+l=2(2x+3)，)+l=2x(-5)+1=-1()+1=-9。

点拨：当发现题目可用整体代入法求值时，关键就在把代数式变形，成为可整体代入的形式。这是变形的

方向。

能力拓展二与整式的加减有关的题型

1.看错型问题

例5.从某整式减去;V)，-2)，z+3zx,因误认为加上此式，则答案为2)，z—3zx+2不，，试求正确答案。

分析：若设某整式为A,令8，-2x)，+3〃，C=2yz-3zx+2xy.本题要求是A-4,而误作为

A+8=C了，这可由4一8二(.4+8)-28=。-28得到正确答案。此技巧也是整体思想的又一体现。

解：(2yz-3zx+2xy)-2(xy-lyz+3zv)=2yz-3zx+2xy-2xy+4yz-6zx=6yz-9zx

故正确答案是6yz-9”。

点拨：要清楚：本题要求是人一3,而误作为4+3=。了，这可由4-8=(4+8)-28=。-28来求

解。这个变形要能理解，这是解本题的关键。

2.无关型问题

例6.设A=5/+4x-l,B=-x2-3x4-3,C=8-7x-6/,请说明A-8+C的值与x的取值无关。

分析：所给多项式的值与x无关，即要求多项式的值不含x,所以要将A、B、C所表示的代数式代入进行加

减运算，最后所得的结果中不含〉:，就能说明A-8+C的值与x的取值无关。

解：A—3+C=(5x~4-4x—l)—(―x?—3x+3)+(8—lx—6x2)

=5r+4x—1+x~+3x~3+8-lx—6厂=15+1—6)r+(4+3—7)x—1-3+8=4

•・・4为常数项，・•・结论成立。

点拨：把A、B、C表示的多项式看成一个整体，用括号括起来，以减少符号方面的错误.

能力拓展三比较代数式的大小

例7.设4=/一3盯一)产，B=-2x2+xy-y2,当x=-g,y=-4时，试比较A与B的值的大小。

分析：方法1：先分别求出代数式A与B当x=-g,)，=-4时的值，再比较这两个值的大小；这种比较大

小的方法叫求值比大小。

方法2：我们知道，如果A-3>(),那么A>B；如果A-6=(),那么A=B；

如果A—8<0,那么A<8。根据上述规律，我们可以先计算A-3(注意合并同类项)，再当工=-'，

2

丁=-4时・，求代数式A-8的值，于是，根据这个值的符号(正、零或负)，就能断定A与B的大小。这种

比较大小的方法叫求差比较法

解法］：x=——ry=-4A=X2-3xy—y2=(———3,——•(-4)—(—4)~=——

B=-2x2+xy-y2=-2^^+.(-竹一㈠?=~

29

A<B

44

解法2：A-B=(x2-3xy-y2)-\^2x2+xy-y2)=x2-3xy-y2+2x2-xy+y2=3x2-4xy

当工=y=—4时，原式=3・卜；)-4--l^.(-4)=-y,

点拨：求差比较法不仅体现了一个重要的数学思想，而且使用起来常常比求值比较法更为简便。

能力拓展四化简含有绝对值的式子

例8.己知|a|-a=0,ab<0,—>0,化简：-|c-a|+1b+c|-|a-b|-|c|.

根据题意判断出a,b,c的正负确定出绝对值里边式子的正负

分析：1-----------------------------1------------------------

利用绝对值的代数意义化简计算得到结果

------»

解：根据题意得；a>0,b<(),c<0,

可得c-aVO,b+cVO,a-b>0,

则原式=c-a-b-c-a+b+c=c-2a.

能力拓展四整式加减的新风采

1.定义新运算

例9.现规定一种运算：a*b=ab+a-b,其中“b为有理数，则。*〃+〃等于.

解析：解答本题关键是理解公式，并灵活利用给出的公式计算上*。的值.

答案：a*b+b*a=(ab+a-b)+(.ba+b-a)=lab.

点拨：解答本题首先要学会模仿，但不是机械地模仿，还要能变通，才能正确解题.

2.结论开放型

例10.给出三个多项式：①一V+x—1；②—d+3x+l；③一%2—x,请你选择其中两人进行加法运

222

算.

分析：本题答案不惟一，按题目要求解答即可，计算时要注意整体思想应用和避免符号错误.

解：若选择①②，则+工一1+工工2+3x+l=/+4x；

22

若选择①③，则二/+X-1+不r-K=X~-1;

22

若选择②③，WJ-x2+3x+l+-x2-x=x2+2x4-1.

22

点拨：设计适量开放性题目是新课程要求，也是培养我们开放性思维能力，加深对概念的理解和灵活应用

的要求.

3.还原结果型

例11.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文T密文(加密)，接收方由密文一明文(解密).

已知加密规则为：明文4，b,c疝应的密文为。+1,227+4,3。+9.例如明文1,2,3对应的密文2,8,18.如

果接收方收到密文7,18,15,则解密得到的明文为()

A.4,5,6B.6,7,2C.2,6,7D.7,2,6

解析：关键是逆用加密规则的规律来推算解密的规则。由加密规则为：明文。，aC对应的密文

b-4c-9b-4

。+1,27?+4,3。+9,可知密文a,b,c对应明文为1,六一，:一.故将7,18,15代入a-1,^―,

c-9

—解密得到的明文为6,7,2.

答案：B

点拨：本题就是考查列式和求值的问题，还考查了观察、分析、转化以及逆向思维的能力。

4.判断说理题

例12.有一道题“先化简,再求值:17x2-(8X2+5X)-(4X2+X-3)+(-5x2+6x-l)-3,其中x=2006.”小明

做题时把“x=2006”错抄成了“x=2060”.但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？

分析：本题可将多项式进行计算后，根据计算结果判断.实际上当x=20()6和x=2()6()时，多项式的值不变,

说明合并同类项后，结果与x无关.

解：17x2—(8X2+5X)—(4x2+x—3)+(—5x2+6x—1)—3=17x2-8x2-5x-4x2-x+3-5x2+6x-l-3

=(17-8-4-5)x2+(-5-1+6)x+(3-1-3)=-l.

由计算知多项式的结果与字母x的取值无关，故小明将x=2006错抄成x=2060时，计算的结果不变.

点拨：此类题一般应先从化简入手，这样我们可以透过现象看区质，抓住解题的关键，最后才能揭开它神

秘的面纱.

5.实际应用型

例13.某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元;下午，他又买了20斤，价格为每斤)，元.后

来他以每斤兰』元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是()

2

A.x<yB.x>yC.xWyD.x2y

解圻：由题意可以知道该商贩买黄瓜所花去的本钱是(30x+20)，)元，他卖完后得到的是

卓'(20+3())=25。+)，)元，结果是赔了钱，由此应该有(3()x+20y)-25(x+)，)

=5(x-y)〈0,因此必然有x<y。

答案：A

点拨：新的课程标准强调用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，运用数学知识分析生活现象，自主地解决

生活中的实际问题。数学只有回到生活中，才会显示其价值和魅力；同学们只有回到生活中运用数学，才

能真实地显现其数学学习的水平.

能力拓展五整式加减在生活中的妙用

1.揭开扑克牌游戏的奥秘

例14.扑克牌游戏：

小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：

第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同;

第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆;

第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆：

第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.

这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张