2026年北京中考数学复习变式阶梯训练第15~16题（解析版）

一、原题15

1.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF1BE,垂足为F.若AB=1,ZEBC=30°,则△ABF的

面积为1

【解析】【解答】解：过点F分别作FMJ_BC,FN1AB,垂足为M,N,连接AM,则/FMC=90。

•・•四边形ABCD是正方形

・•・ZABC=90°

AZABC=ZFMC

・・・AB〃FM

•SMBF=,FN,SMBM=-BM

・\SAAB尸=S“BM

VCF1BE,垂足为F,AB=1=BC,ZEBC=30°

AZBFC=90°,CF=|BC=!

/.ZCFM=90°-ZBCF=30°

•'»CM=.

二•BM=BC-CM

4

:・S&ABF=S“BM=1X1X|=|

故答案为：|

【分析】过点F分别作FM_LBC,FN_LAB,垂足为M,N,连接AM,则NFMO90。，根据正方形性质可

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得NABC=90。，再根据直线平行判定定理可得AB〃FM,根据三角形面积可得=S“BM，根据含30。角

的直角三角形性质可得6=口。另，再根据直角三角形两锐角女余可得/CFM=90O-NBCF=30。，则CM=

根据边之间的关系可得BM,再根据三角形面积即可求出答案.

二、变式1基础

2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线交点为坐标原点O,点A,C在x轴上，点

B,D在y轴上，若正方形的边长为2,则顶点A的坐标为.

所以^C=y/AD2+DC2=2混，

所以OA=1AC=&,

所以A点的坐标为（一或，0）,

故答案为：（一或，0）.

【分析】先利用勾股定理求出对角线的长，再求出OA的长即可求得A点的坐标.

3.如图所示，在正方形ABCD中，延长BC至E,使CE=CA,连结AE,则NCAE=度.

【答案】22.5

4.如图，将三张大小相同的透明正方形纸片的一个顶点重合放置，那么N1的度数为

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【解析】【解答】解：如下图,

,?ZBOD=90°-ZAOB=90°-35°=55°,ZEOC=90°-ZEOF=90o-25°=65°,

XVZ1=ZBOD+zEOC-ZBOE

.*.Zl=55°+65e-90o=30°.

故答案是:30°.

【分析】根据N1=NBOD+NEOC-/BOE,利用正方形的角都是直角，即可求得NBOD和NEOC的度数从

而求解.

三、变式2巩固

5.如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD,连结GE并两端

延长，交AD于点P,交BC于点Q.若8E=1,AE=2,则BQ=.

【答案】卓

【解析】【解答】解：延长AE交BC于点I,

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4aPb

H

QaI

VAABE注△DAHdBCF乌ACDG

BF=AE=2

.\EF=BF-BE=1

・・・E为BF的中点

XVEIUCF

・・・I为BC的中点，EI为aBCF的中位线

/.EI=1CF=1

VAPHQI

APAE2

•*-Q7=T/=T=4，设QI=a,则AP=4a

在^BEQfllADGP中

DG=BE

Z.PDG=乙QBE

乙PGD=乙BEQ

；・△BEQ^ADGP

・・・PD=BQ

设BQ=b,贝ljPD二b

VI为BC的中点

.•・4a+b=2(a+b)得b=2a,故BQ=1BI=ix

故答案为:今

【分析】延长AE交BC于点I,可得EI的长，由AP||QI可得AP：QI=4,设QI、BQ的长，由中点可知

BQ=2QI,即可得BQ的长.

6.如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为4的正方形0A8C和正方形OCEF,。4边与OF边与％轴重

合，连接8F,点力关于8尸的对称点为点/‘连接A,F，与EC边相交于点P,则点P的坐标是.

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【解析】【解答】解：:正方形0A8C和正方形。CEF的边长为4,

.\EF=AB=EC=4,BE//AF,

:・BE=8,乙PBF=乙AFB,

•・•点力关于B尸的对称点为点4‘，

：./-A'FB=^AFB,

：./.A'FB=乙PBF,

：.PF=PB,

设PE=x,则PF=PB=8—x,

・••在々△PEF中，由勾股定理可得：42+x2=(8-x)2，

解得：x=3,

APE=3,

.\PC=1,

・••点Pfl勺坐标是(-1,4).

故答案为：(-1,4).

【分析】根据题意可得EF=AB=EC=4,BE//AF,再根据点4关于BF的对称点为点片，可得乙4/B=

乙PBF,故PF=PB,然后在RtaPEF中利用勾股定理，求出PC,即可求解.

7.如图，在正方形48C。内部作等边△EOC,AE交8c于F点，过E作GH_LAF,分别交AB、CD于点G,

H.则器的值是

t答案】印

四、变式3提高

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8.如图是我国古代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的

直角二角形和一个小正方形组成的一个大正方形.

⑴连结BF,若F恰为AG的中点，则NBFG的度数为°；

⑵连结CF,若^ABF与^FEC的面积相等，DF=2,则AF的长为.

【答案】45；V5-1

【解析】【解答】(1)由题意得，△ADF^ABAG

・・・AF=BG,

•・・F恰为AG中点，

AAF=FG,

ABG=FG,

•••△BGF是等腰直角三角形，

:.ZBFG=45°,

故答案为：45.

(2)二•四边形EFGH是正方形

.\FG=HG=EF=EH,

设FG=HG=EF=EH=x,

由题意得，AG=CE=DF=BH=2,

/.AF=BG=2-x,

若4ABF与AFEC的面积相等

11

:./AF・BG=；EF，CE,

(2-x)2=2x,

**•%=3—遥或％=3+通(不合题总舍去)，

-'-FG=3-6，

-'-AF=2-(3-V5)=V5-b

故答案为：V5—1.

【分析】(I)由题意知，△ADF^ABAG,得出AF二BG,因为F哈为AG中点，AF=FG,等量代换得

BG二FG,易证△BGF是等腰直角三角形，进而即可求解；

⑵设FG=HG=EF=EH=x,根据△ABF与△FEC的面积相等，可得,F.BG=鼻尸•CE,进而即可求解.

乙乙

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9.如图，在正方形ABC。中，E为龙角线80上一点，DE=AB,过点E作EG_LAE,交CD于点G,AE的延长

线交Z?C于点F,则tana0EG=；若FC=3,则的长等于

【答案】V2-1；孥

【解析】【解答】解：过点E作EH_LAD于点H,

贝JI/EHA=NEHD=90。，

・•・ZABC=ZBCD=ZADC=ZBAD=90°,

ZABD=ZADB=45°,AB=BC=CD=AD,

VDE=AB,

・・・AD;DE,

1

：.ADAE=2LAED=i(180°-45°)=67.S°

.•・ZAEH=90°-67.50=22.5°,

VGE1AE,

・•・ZAEG=90°,

・•・ZDEG=90°-67.50=22.5°,

?.ZAEH=ZDEG,

VZEHD=90°,ZHDE=45°

，EH=DH,

设EH=DH=x,则

AD=DE=7DH2+EH2=岳,

-'-AH=V2x-x，

AU_

**•tanz.DEG=tanz.AEH=引j=A/2—1

VZDHE=ZBAD=90°,

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/.EH//AB,

.*.ZBAF=ZAEII

RF

tanz.BAF=tan/AEH=而=&-1

:.BF=(无一1)48,

设AB=BC=y,则BF=(V2-l)y,

VCF=3,

*,*(V2-l)y4-3=y»

・6+3后

••y=^—

,r)crv6+3、泛3V2

••DBCF=BC—CF=—---3o=—

故答案为：V2-1;挈.

【分析】过点E作EH_LAD于点H,根据正方形的性质得出NABC=NBCD二NADONBAD=90。，

ZABD=ZADB=45°,AB=BC=CD=AD,证明△EDH为等腰直角三角形，得出EH=DH,设EH=DH=x,则

AD=DE=y/DH2+EH2=进而根据直角三角形的边角关系，即可得出答案.

10.如图，在正方形纸片F8CD中，点E是力。的中点.将•△A8E沿BE折叠，使点A落在点F处，连结。凡

(2)若再将△CDG沿。G折叠，此时点。的对应点H恰好落在BE匕若记△8EF和△OGH重叠部分的面积为

Si，正方形48CD的面积为Sz，则知=.

【答案】(1)|

(2)—

25

【解析】【解答】解：⑴设AE=DE=a,则正方形ABCD长为2a,

***BE=y/AE2+AB2=店a，

由折叠可知BE±AF,

/.ZFAF=/AER=9()0

VZABE+ZAEB=90°,

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••・NEAF=/ABE,

又「ZDAE=ZArD=90°,

・•・△ABE^AFAD

・“LAE-ADa-2a2\[S

-DF=^=^=~a

VDF//BE,AD//BC,

・•・四边形BGDE平行四边形，

：-DG=BE=

•DF_竽。_2

故答案为:1.

(2)设DH与EF于点M,GH与BF于点N,如图,

由(1)可知四边形BGDE平行四边形,

；・DE=BG,ZHBG=ZEDF,

•；E是AD中点，AD=BC,

・・・G是BC中点，

.\AE=DE=BG=CG,

由折叠可知AE=EF,EG=CG,

.\DE=EF=GH=BG,

/.ZEDF=ZEFD,ZHBG=ZBHG,

••・ZEDF=ZEFD=ZHBG=ZBHG

在4EDFGBH中，

(^EFD=乙GHB

(EDF=AHBG

ED=BG

・•・△EDF^AGBH(AAS),

；・DF=BH,

AEH=CF,

第9页

・•・四边形EFGH是平行四边形，

.*.EP//GII,

XVBH//DF,

・•・四边形BFDH是平行四边形，

ADH//BF,

・•・四边形MFNH是平行四边形，

由折叠可知/DHG=NC=90。

J四边形MFNH是矩形，

2

设CG=a,则CD=2a,S2=4a,GH=CG=a,

由⑴可知黑=看

UUD

VFM//HG,

.DF_FMDM_DF

，'DG='GH，~DH=DG，

.2_FMDM_2

,,5=-F，^=5

94

AFM=qQ，DM=qQ,

；・MH=2a—

故答案为：言.

【分析】（1）设AE=DE=a,则正方形ABCD长为2a,再证△ABEs^FAD,然后根据相似三角形对应边成比

例求出DF的长度，由AD//BG、DG//BE,得到四边形BGDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得

DG,然后代入计算即可；

（2）先证△EDFgAGBH,可得BH=DF,故EH=FG,进而得到四边形GFEH是平行四边形，四边形BFDH是

平行四边形，故HG//EF,从而可知四边形MFNH是平行四边形.乂根据折叠可知NGHD=NC=90。，所以四

2

边形MFNH是矩形，设CG=a,则CD=2a,S2=4a,再根据平行线等分线段成比例定理，计算出HE、HM,

进而计算出Si最后求比即可.

五、原题16

11.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售.当一家经销商将分配到的n

台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：

・・・・

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n=1n=2n=3n=4n=5n=6

A4060/////

B30557590100105/

C204060708090・・・・

D14386286110134・・・・

（1）如果企业将5台设备分配绐这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备

都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配2台设备（填或“D”）：

（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获

得的总利润的最大值为万元.

【答案】（1）B

（2）157

【解析】【解答］解：（1）当n=2时,

A经销商的利润为60,比n=l时增加60-40=20（万元）

B经销商的利润为55,比n=1时增加55-30=25（万元）

C经俏商的利润为40,比n=l时增第40-20=20（万元）

D经销商的利润为38,比n=l时增加38-14=24（万元）

V25>24>20.

・•・应向经销商B分配2台设备

故答案为：B

（2）当给这叫家经销商中的一家分配时，最大利润为D经销商的134万元

当分配给多家销售时：

当分配四家时，最大利润为40+55+20+38=153（万元），

当分配给三家时，最大利润为40+55+62=157（万元），

当分配给两家时，最大利润为60+90=150（万元）fig40+110=150（万元）,

综上所述；企业可获得的总利涧的最大值为157万元.

故答案为：157

【分析】（1）根据题意分别求出利润，再比较大小即可求出答案.

（2）分别求出一家利润和多家利润，再比较大小即可求出答案.

六、变式1（基础）

12.日常生活中，“老人”是一个模糊概念.可用“老人系数”表示一个人的老年化程度.“老人系数”的计算方

法如下表:

人的年龄X（岁）x<6060<x<80x>80

第11页

x—60

“老人系数”01

20

按照这样的规定，“老人系数”为0.6的人的年龄是岁.

【答案】72

【解析】【解答】解：设人的年龄为x岁，

丁老人系数”为0.6,

・•・由表得60<x<80,

即与黑=0.6,解得，x=72,

故“老人系数''为0.6的人的年龄是72岁.

【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当y=0.6时，在60VxV80之间，所以

将y的值代入对应的函数解析式即可求得函数的值.

13.点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如表：则蜡烛的高度h（厘米）

与燃烧时间t（分）之间的关系式.

c分0246810

h/厘米302928272625

【答案】/i=30-1t

【解析】【解答】由表格数据可知，蜡烛每2分钟燃烧1厘米，

A/i=30-1t

故答案为：h=30—t

【分析】根据蜡烛的高度=原长-燃烧的长度即可求.

14.一空水池，现需注满水，水池深4.9m,现以均匀的流量注水，如下表:

水的深度h（m）0.71.42.12.8

注水时间t（h）0.511.52

由上表信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是h.

【答案】3.5

【解析】【解答】解：由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m,

・••注水时间每增加1个小时，水的深度就加深1.4m,

4.9-1.4=3.5（小时）

・••推断出注满水池所需的时间是3.5小时；

故答案为：3.5

【分析】由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m,由此得出答案;

第12页

七、变式2（巩固）

15.声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下从表中可知音速y随温

度x的升高而在气温为20c的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟（）.2秒后，听到了枪声，则

由此可知，这个人距发令地点米.

气温(x/℃)05101520

音速y（米/秒）331334337340343

【答案】加快：68.6

【解析】【解答】解：观察表中的数据可知，音速随温度的JI高而加快；

当气温为20C时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声.

则由此可知，这个人距发令地点343x0.2=68.6米.

【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案.

16.据国家统计局统计，新中国成立以来至2000年，我国各项税收收入合计见表.

19501955196019651970197519801985199019952000

份

税48.98127.45203.65204.30281.20402.77571.702040.792821.866038.0412581.51

收

收

入

1

亿

从表中可以得出：新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是,其中，年与5年前相

比，增长百分数最大；年与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长

了倍（保留一位小数）.

【答案】上升；1985；1965；255.9

【解析】【解答】解：（127.45-48.98）+48.9a160.2%；

(203.65-127.45)-127.45-59.8%

(204.30-203.65)+203.65=0.3%；

(281.20-204.30)・204.30=37.6%

(402.77-281.20)-281.20^43.2%

(571.70-402.77)-402.77^41.9%

(2040.79-571.70)-571.70~257.0%；

(2821.86-2040.79)+2040.79=38.3%；

第13页

（6038.04-2821.86）-2821.86=114.0%；

（12581.51-6038.04）-6038.04=108.4%；

（12581.51-48.98）+48.9%255.9（倍）；

新中国成立以来我国的税收收人总体趋势是上升，其中，1985年与5年前相比，增长百分数最大；1965年

与5年前相比，增长百分数最小；2000年与1950年相比，税收收入增长了25587.0倍.

故答案为：上升；1985；1965；255.9.

【分析】由表中的数据，分别算出与5年前相比，增长百分数，进一步比较得出答案即可.

1/.下表所列为某商店薄利多销的情况.某商品原价为560元，随着不同幅度的降价，R销量（单位为件）

500元时，日销量为件.

【答案】两；降价（元）；日销量；30；750；1110

【解析】【解答】解：•・•日销量随降价的改变而改变，

・•・降价（元）是自变量，日销量是因变量.

从表中可：日销量与降价之间的关系为：

日销量=750+（原价・售价）4-5x30：

则可以估计降价之前的日销量为780-30=750件，

售价为500元时，日销量=750+（560-500）+5x30=1110件.

【分析】根据函数的定义即可确定自变量与因变量；从表中可以看出每降价5元，日销量增加30件，则日

销量与降价之间的关系为：日销量=75（）+（原价-售价）-5x3（）；将已知数据代入上式即可求得要求的量.

八、变式3（提高）

18.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，在它们行使的过程中，路程随时间变化的图象如图

所示，则下列说法正确的是（填序号）.

①轮船的平均速度为20km/h：②轮船比快艇先出发2h；③快艇的平均速度为学km/h；④快艇比轮船

早到2h.

第14页

【答案】①②④

【解析】【解答】解：①轮船的速度为骞=20千米，说法止确；

②轮船比快艇先出发2小时，说法正确；

③快艇的速度为苧=40千米时，说法错误；

④快艇比轮船早到2小时，说法正确；

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④

【分析】根据函数的图象结合速度的公式对①②③④逐一分析即可求解。

19.如图1,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最

.(填序号).

①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟.

②小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米.

③报亭到小亮家的