上海市虹口区2026届高三二模考试数学试卷（解析版）

高二数学

2026.4

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，

在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1・6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应

在答题纸的相应位置直接填写结果.

X

1.设全集为“={-2T°J23},集合"产~—>0,xeU>

工-2,则4=

【答案】{1,2}

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合4,即可得答案.

【详解】由^20,得1-八，解得x>2或x《O,

x-2（x-2^0

又KGU，所以4={-2,-1,0,3},则彳={1,2}.

2.已知一个直三棱柱的侧棱长为2,底面面积为2,则该三棱柱的体积为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解.

【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为〃=2,底面面积为S=2,则该三棱柱的体积为V=S〃=2x2=4.

（1、

3.已知离散型随机变量X服从二项分布38,-,则。（X）=_________.

\乙）

【答案】2

【解析】

【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.

【详解】因为随机变量X服从二项分布8卜;]

I2）

所以O(X)=8X!X(1-!]=2.

212)

故答案为：2.

4.设二：1〈机，万：,一2|41,若。是尸的必要条件，则实数小的取值范围是.

【答案】｛fn\m>3｝

【解析】

【详解】由卜一2|二1得一1三3一2《1，得1KXK3,

因为a是/的必要条件,所以卜|1"43｝土｛巾《，〃｝,得〃93,

故实数m的取值范围是｛〃幅>3｝.

5.某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了

2x2列联表，设原假设“。：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量

Z2=5.284,已知23.841）*0.05,则在显著性水平a=0.05下，推断的结论为4°.（用

“拒绝”或“接受”填空）

【答案】拒绝

【解析】

【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平a对应的临界值时，样本数据出现的

概率小于a,

属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设〃”,认为两个变量之间存在显著关联，

本题中,2=5.284>3.841,所以拒绝“。，即认为两种操作方法对合格个数有影响.

一一7

6.在VAAC中，=bBC=2,BACA=~,则cosZABC=.

【答案】-1林-0.2

【解析】

【分析】根据数量积公式，可得cosA的值，根据余弦定理，可得〃，代入余弦定理，即可得答案.

（详解】设AB=c=1,BC=。=2,AC=b,

*7r

由题意'C4=|•|C>A|COSA=bcosA=—,所以cosA=的，

b2+c2-a2h2+\-4

又cosA—

2bc2b

.[29

所以/Apr/+c'2—尸+1.

2ac2x2x15

7.将(2-x『二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若

存在，则记随机变量X=l，否则记X=。，则石[X]=

2

【答案】-##0.4

5

【解析】

【详解】二项式(2-耳4的通项公式为=q-24-r-(-x)r,

品然该二项式展开共有5项，

当r=1,3时，即第2,4项系数为负数，

因为各项等可能地随机重新排列，

所以排列数为A；,

系数为负数的项相邻的排列数为A；A：,

所以尸(X=l)=第A2A4=|2,

2?

因此E[X]=lxg+0xP(X=0)=m.

8.在正四棱台ABC。-44GA中，/W=2,AS=4,异面直线与A4所成角为设二面角

A-A8]-R的大小为〃，则lan0=.

【答案】V2

【解析】

【分析】法•在正四棱台中，由异面直线所成角可得N4A旦=60°,再根据面面角定义计算求解即可，法

二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角

三角函数的基本关系求解即可.

【详解】法一：在正四棱台ABCD-AMG。中，CR//AM,

因为AB=2,4禺=4,所以244区为异面直线GA与AA配成的角,

即NAA圈=60°,过点A作平面A4GA的垂线，垂足为G,

作直线44的垂线，垂足为"，连接G",如图所示：

由正四棱台性质可知，点G在线段AG上，\H=\,

所以4"二退，AG=g(AG-4C)=&，GH=y]A.G2-A.H2=b

由一面角定义可知ZAHG即为一面角4-A与一。的平面角，

AQ厂

而1anNA"G=^^=J2,故tan<9=a.

GH

法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心。1,上底面中心。，

由题意得AB=2,44=4,则0(-2,2,0),D,(-2,-2,0),4(2,2,0)

4(2,—2,0),则Cl。=(O,T,O),A4,=(1,-1,-/?),

因为异面直线与AA所成角为三，

41

所以4、"+(_1)2+(⑦2=5,解得人£

由题意得面ABR的法向量为n=(0,0,1),

则4（1,—1,后），然二（1,一1,一衣），4用二（0,4,0）,

设面AAA的法向量为m=（x,y,z），

AAin=x-y-V2z=0「

则<.，令x=5/2»解得y=。，z=1»

小片-in=4y=0

|W-H|1=6

得到〃?=（J5,0,l）,由图可知,。是锐角，贝ijcos6=

HU1x73~3

由已知得sin8>0,由同角三角函数的基本关系得sin。=

V6

故tan<9=包2=今=6.

cos。V3

T

9.已知复数z满足z+一是实数，则z—2—：的最小值为________

z2

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】设2=。+勿，代入Z+1中化简，由Z+1是实数，得力=0或"+从=1，利用复数模的几何意

ZZ

义求z-2-g的最小值

1,.1,.a-bi

【详解】设z=»此则z+F="历"为+(,+砌(即码

因为旧是实数，所以七占二"3。,

所以〃=0或〃2+/?2=1，

当〃=0时，Z的轨迹是X轴（除原点外）,

（除原点）和（2,大）的距离，此时Z-2-->—,

此时z-2的几何意义表示x轴上的点

I2）22

当/+。2=1时.，复数Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，如图,

根据复数模的几何意义可知，z-2-i的几何意义是圆上的点到(2,g)的距离,

由图可知，z-2-=的最小值为|。4|一1=

2

因为=姮一1＞』，所以z—2—：的最小值为;.

2222

10.已知焦点为尸的抛物线C:)，2=4x上有两点A和8,且乙4)=150。，E为A和B的中点，过点E作。

的在线的垂线，垂足为〃，则”簿的最小值为________

I乜H\

【答案】2+6

【解析】

【分析】设|AR|=a,|郎卜力，根据中位线定理以及抛物线定义可得|E”|二g(a+〃)，在中,

甘…,即可求得黑的最小值.

由余弦定理以及基本不等式可得|AB|2

【详解】设|4q=。，忸耳="作AQ垂直抛物线的准线于点Q,8P垂直抛物线的准线于点尸.

由抛物线的定义，知|4目=|42|,忸丹=|明，根据中位线定理以及抛物线定义可得怛叫=；(。+9,

7十42

由余弦定理得|人域=々2+力2-2欣0$15（）。=〃2+〃+6"=（々+人）2—（2—百）",乂ab<

•**(〃+0)~-(2-卜力N(〃+/?)"J(〃+/?)2=2+'(〃+')"，当且仅当时，等号成立,

何

=2+6,即空舞的最小值为2+6・

,•耐

；(»)\EH\-

11.某种健身拉力器的手臂固定支架为3E,需运动者将肩关节放置于点8处，手肘放置于点。处，手掌放

置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持8、D、E、C四点共线.将小臂

视为线段。£长度为，，大臂视为线段以九长度为1.3匚在锻炼时要求保持肩关节8和手肘。不动，运

用大臂力量将小臂。E绕着手肘。作圆周运动，始终与6C处于同平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉

伸至CA.已知某位运动者健身时CE=O.lr,当弹力绳拉至最长时，ZABC=3ZACB,则此时NAC8=

度.（结果精确到0.1度〕

【答案】16.7

【解析】

【分析】先由题意得出BC=2Ar,CD=\Ar,且AD=r.再设NACB=x,则ZABC=3x,利

用正弦定理表示出AC的长度，最后在一ACD中由余弦定理列方程求得x的值.

【详解】由题意可得B,D,E,C四点共线，BD=1.3r,DE=r,CE=0Ar,且点A为点E绕点D

旋转后的位置，所以AD=DE=r.

因此3c=3Q+DE+CE=1.3r+r+0.1r=2.4r,CD=DE+CE=r+0.1r=l.lr.

设=则ZABC=3x,所以/BAC=180-4x

,,,十一ACBC2.4rsin3x

在^.ABC中，由正弦理可得.、二.,，所以AC=————.

sin3xsin4xsin4x

在^ACD中，由余弦定理可得ATP=AC2+CO2—2AC-CQCOSX.

,「2.4rsin3x

将AD=r，CD=[.\rAC=--------代入，得

siII4A

<2.4rsin3xY/,.2c2.4rsin3x,,

+(1.1八X-2----------l.lrcosx

<sin4x/')sin4x

2.4sin3x1.21—5.28.皿咨

两边同除以户，得1=

sin4x>sin4jt

化简可得12tan,x-97tan4x+198tan2x-17=0.

令r=tan2x，则12户一97户+198，-17=0.

解得G0.0898,或小3.5588,或小4.4348.

因为0<x<45，所以O<tan-<1，故tan2x«0.0898.

于是x之16.678.故此时NAC8*16.7.

12.在以。为原点的空间直角坐标系中，设i=(l,0,0),J=(0,1,0),A和B是两个点集，设

A=｛。|。0-)=1,(。尸,/)=(1,对任意的。£8,总存在尸eA,使得OP.OQ=2.若TeB,

OT=xi+M(x、)，£1<)且[07-1=2,则07.j的取值范围是.

【答案】[-2,三立]]匚婆，2

2J|_2

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.

【详解】设P(X],y,zJ,因为。p.j=l,OP,j=:,

所以X=1,且Jx：+[+z：-]-=1=>X；+1+z：=2=>xf+z；=1,

即P(%」,zJ,且x；+z；=l,显然一

设。(a,Ac),因为OPOQ=2,所以〃x+"cZ]=2,

因为OT=xi+yj(戈、yeR),

所以OT=(x,y,0),

因为OT-j=2,

所以—=2nY+(y_])2=4,

因为丁cB,所以+y=2=>y=2-X。，>(弋入/+(),一])2=4中,

得.d+(2_»1_l)2=4=>(1+^2)^2-2^^-3=0,

△=4x；+12(l+x；)=i2+i6x；>0,

因此直线犷|+>-2=0与圆/+(>?—1)2=4有两个不同的交点，

因为-1W玉W1,所以直线y=2一⑼的斜率一%的取值范围为-1<-x）<l,

如下图所示:

由卜+()—)-4=>2x2+2x-3=0=>x=-1±V7

F

[y=x+2

直线y=x+2与圆_?+（）,-］『二4的交点坐标为A,0,B,0,

又因为直线y=x+2、直线y=-x+2斜率互为相反数，且过同一点（0,2）,与圆/+（广02=4都是关

因为O7・i=x，

所以07.i的取值范围是一2「；"u,2.

・LB—

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13・14题每题4分，第15・16题每题5分）每题

有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑〉

13.双曲线的渐近线是（）.

A.y=±\/2xB.x=±>j2yC.y=±2xD.x=±2y

【答案】A

【解析】

【详解】双曲线y2-2x2=1的标准形式为旷一了二1,

2

显然该双曲线焦点在y轴上，其中/=i，护=工,即a=i,b=—,

22

j1=E

因为焦点在y轴上的双曲线的渐近线公式是y=±fx,且7一正一，

b

所以双曲线)，2-2f=1的渐近线是y=±宿.

14.已知P(A)和P(B)分别表示事件A和事件〃发生的概率，且O<P(B)<1,则在下列各项中，“A和

8独立”的充分条件是().

A.P(A)=1-P(B)B.尸(A|B)=P(A]7)

C.P(AUB)=*4)+尸(8)D.P(A|B)=P(N|B)

【答案】B

【解析】

【分析】事件A和9独立的定义是P(A8)=P(A)P(3),根据每个选项的条件，结合条件概率公式

P(A|8)=4^以及概率的基本性质，判断是否能推出P(AB)=P(A)P(B).

【详解】选项A,P(A)=1-P(B),则P(A)+P(B)=1,并不能推出尸(AB)=P(4)P(8),所以事件4

和8不一定独立，A错误.

/।、P(AB)/一\P(回

P(AB)_P(AB)

选项B,网4忸)=加可=端,P(4网=P(A历,

F(6)-P(B)

P(AB)P(A)-P(AB)

,・P(AB)=P(A)-P(AB\P(B)=1一P(8),P(B)--l-P(B)

...P(AB)-P(AB)P(B)=P(B)P(A)-P(B)P(AB).

/.P(AB)=P(A)P(B),即A和8独立,B选项正确.

选项c,P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB),又P(AU8)=尸(A)+P(8),尸(AB)=O,,A和8不一

定独立，C错误.

P(AB]—P(AB]—_

选项D,P(A忸)=彳访,P(A忸)二/面，P(A\B)=P(A\B),..P(AB)=P(AB).

-1

又P(AB)=P(B)-P(AB),，P(AB)=P(B)-P(AB),可得P(AB)=-P(B)，也不能推出A和3独立，

D错误.

15.一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列｛q｝,使得().

A.｛sin%｝为严格增数列B.｛COS。/为公差不为零的等差数列.

■r

c.｛cos，｝为等比数列(其中，s〃这q)D.为周期数列

>=«4,

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐•分析是否存在符合条件的无穷等差数列.

【详解】在A选项中，假设｛sin%｝是严格递增的无穷数列，

但且是周期函数，在一个周期内有增有减，

对无穷等差数列｛%｝,当〃一中»,则凡T+8,

所以sin与会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误，

在B选项中，设等差数列｛&｝的首项为％,公差为d(4。0),

则〃〃=4+(〃-1)d，所以cosq+i-cosa,=-2sin%sin"川一""=-2sin羽+⑵sin—,

z*1\/月+i〃2222

rtl于sin2%+(2〃-l)d是关于〃的周期变化的函数，

2

所以cos。.*]-cosq,不是常数，

即｛cos%｝不是公差不为零的等差数列，B错误，

在C选项中，设等差数列｛q｝的首项为4,公差为d(dwO),

rlln(n-\\d

则S=na.+----—,

fnlIn

若｛cosS〃｝为等比数列，则（cosS?『=COSS,COS53,

2x13x2

S]=q,S=2qH----d=2%+d,S=3a+----d=3q+3d,

223t2

cos2（24+d）=cos^cos（34+3d）,

当g=71,d=2兀时，则4=7T+（n-l）2兀=（2n-l）兀，

该数列各项均为正数，且不为常数列，其〃项和为

Stj=="[冗+（；-1问=〃27c,此时数列cosS„=cos（〃2元），

当〃为奇数时，为奇数，COS（/?2Jt）=-l,

当〃为偶数时，/为偶数，COS（7227l）=l,

故｛cosSj为数列｛一1,1,一1,1,一｝,是公比为—1的等比数列，

所以存在这样的无穷等差数列｛4｝使得｛cosSj为等比数列，C正确，

在D选项中，因为｛%｝是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列，

所以lima〃=+8,即lim」-=0,

n-w“TOOa

.1..

所以sin—会趋近于sinO=0,

an

而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项，

所以，sin，,不可能是周期数列，D错误.

16.设y=f（x）和y=g（x）是两个不同的函数,且定义域和值域均为R,设

〃=｛（兄〃）|/（以）%（〃）,凡〃亡1<｝,则对于以下两个结论，说法正确的是（）

结论①：若当（。力）£M,恒有（一,则函数），=/（乃一定是偶函数；

结论②：若当（。力）£加，恒有（一。,一。）£例，则函数），=g（x）可以不是偶函数.

A.①和②都正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②都错误

【答案】B

【解析】

【分析】对于结论①，利用反证法假设存在〃4)>/(一。)，找到屋与满足〃4)>江方)>/(一。)，引

出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足g(o)>/(a)>g(一>)，利用

〃々)>8(-。)推出/(一4)>晨。)>8(-。)，再利用/(-0)>g(4)推出/(〃)>g(b),引出矛盾即可

证明错误.

【详解】对于结论①，若函数y=/(x)不是偶函数，则存在75)£/(—4),

不妨设/(“))/(一。)(否则用一。取代。)，因为)，=/(x)和y=g(x)值域均为R,

则存在8wR使得g(b)=,此时有〃。)>g(力)>/(-«),

2

根据"〃)>g®，依题意有〃-a)>g®，这与矛盾,

故函数y=/(x)一定是偶函数，结论①正确；

对于结论②，若函数y=g(x)不是偶函数，则存在g(匕)wg(—。)，

不妨设g®>g(-b)(否则用山取代b),因为y=/(x)和y=g(x)值域均为R,

则存在awR使得/(〃)=g(")+g(”),此时gS)>“〃)>g(—")，

依题意，由/(a)>g(4)有f(-a)>g(-(-b)),即/(--)>g®，所以/(一。)>g(-A)，

而f(一。)>g(-3可推出/(一(一〃))>g(一(一3)即/(。)>g(0)，与g(3>/(。)矛盾,

故函数y=g(x)一定是偶函数，结论②错误.

【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间

总能找到一个实数这一结论.

17,设/(*=e*YT.

(1)解不等式：/(lnx)<2；

(2)设g(x)=〃x)+sin2j若存在X£-2,2],使得g(x)+g(f+a)>0,求实数a的取值范围.

【答案】(1){x0<x<及+11

(2)(-6,-W)

【解析】

【分析】(1)化简〃lnx)<2,解一元二次不等式即可；

(2)先求证g(x)的奇偶性和单调性，将问题转化为存在xe卜2,2],使得4>一工2一工，求一元二次函数

的最小值即可.

【小问1详解】

因为/(lnx)=elnv-e~lnx=x--<2,x>0,

所以f-2x-lv0，得0<工<拒+1，

故/'(lnx)v2的解集为同()<工<及+1卜

【小问2详解】

g(x)=/(x)4-sin2x=ev-e-A4-sin2x,则g(-x)=e-'-e*-sin2x=—g(%),

因为xc[-2,2]关于原点对称，所以g(x)在x«-2,2]上为奇函数,

v

易得=e+e“+2cos2x,

因为e'+e-x之2je“-eT=2,等号成立时x=0,所以g'(x)N2(l+cos2x)N0,

则g(x)在xt[-2,2]上单调递增,

若存在xw[-2,2],使得g(x)+g(f+a)>0,

则存在xe[-2,2],使得g(f+〃)>一g(x)=g(-x),

则存在[—2,2],使得f+a>—,即a>-x2-x，

因为y=-f—x函数图象关于x=-g对称，其在[-2,2]上的最小值为)，min=-6,则。>-6,

故实数。的取值范围为(-6,+8).

2

18.设椭圆「：工+，=1的左顶点为A.

4-

(1)求「的离心率；

(2)设厂的左焦点为R上顶点为8,若点尸在「上且位于)，轴右侧.AB//FP>求点户的横坐标；

(3)设直线/：x—y+次=0,/与「交于不同的两点。和Q,若点A在以CO为直径的圆外，求实数〃，的

取位范围.

【答案】(1)昱

2

~T~

(3)—\/5,—U(2,\f5)

\?)

【解析】

【小问1详解】

由椭圆方程可得4=2,0=1,c=J/_力2=6,所以e=£=走.

a2

【小问2详解】

由条件可知A(—2,0),8(0,l),网—6,0),

设直线的斜率为心心直线FP的斜率为人口，

3月=鉴=：，因为AB〃尸尸，所以%p=g，

所以直线户尸的方程为)，=；1+6),

乙

X22_1

--+y=1,_

联立椭圆：,=>x2+(x+73)=4=>2x2+2\/3x-1=0,

尸*+@

所以］二非-6或A-73-75,

22

又因为点。位于)，轴右侧，所以P的横坐标为x二正二

2

【小问3详解】

设C(Xi，y),。(々,必)，联立椭圆

X—y+m=02

〈大2。=>—+y2=I=>5y2—2my+zn2—4=0,

——+y-=14

I4.

先确定有两个交点，即△=(-2m)2-4X5X(W2-4)>0,

即4〃『-20m2+80>0=>-16m2+80>0=>nr<5，

所以一6<m〈也.

因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角,

而点4在以CD为直径的圆外，所以NC4O<90。，等价于ACAO>0，

由AC=(X+2,y),AD=(x2+2,y2)»

所以AC-AD=(%+2)(X2+2)+y%>0，

即2yly2—(〃L2)(%+为)+(〃L2尸>0•

将>\+>2=~7~»乂%=-4代入可得，

JJ

2♦————(m-2)•+(m—2)2>0=>2(m2-4)—2m(m—2)+5(/n-2)2>0,

55

2m2-8-2m2+4〃z+5(〃/-4〃1+4)>0=>5m2-16m+12>0=>(5m-6)(〃z—2)>0,

解得(或m>2,结合一石<m<旧,

J

所以-6,■|)52,石).

19.若对于定义在R上的函数），=f（x）,设/是R的一个子集，毛和马是/上任意给定的两个实数，当

工]e占时，恒有了（玉）工）（々）・则称函数y=/（x）在/上具有“性质尸”

（1）分别判断函数y=e,.和）,=）是否在R上具有“性质P”；（无需说明理由）

—x+kx<k

⑵设/=[-2,-1][[2,3],记/（人）=1；"；，若函数y=/（人）在/上具有“性质人.，求实

（x—K））x>k

数七的取值范围；

（3）若函数y=/（x）在R上具有“性质，其图像是连续曲线，且/（/（x））=x，求证：集合

M={X|/（X）=X^GR}是无限集或单元素集.

【答案】（1）y=e'在R上具有“性质P"；）,=j在R上不具有“性质P”.

⑵(一g,-2］U［-l,"”U(7-"2］U［3,+R)

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(3)见解析

【解析】

【分析】(1)根据“性质户”的定义，判断函数y=e•'和y=/在R上是否满足“性质.

(2)分情况讨论函数/(x)在不同区间上的单调性，结合“性质/>”的定义确定％的取值范隹.

(3)先证明集合M